第四章 平行四边形单元检测卷A（含解析）

第4章平行四边形单元检测卷A
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（10小题，每题3分，共30分)
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是?（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．若平行四边形两对角线分别长10cm和20cm，那么下列可能是平行四边形边长度的是（　　）
A．3cm B．5cm C．6cm D．16cm
4．如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
5．用反证法证明“a1,a2,a3,a4,a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于”时，应先假设（　　）
A．这五个数都大于 B．这五个数都等于
C．这五个数都小于 D．这五个数中至少有一个大于或等于
6．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ）
A．42条 B．54条 C．66条 D．78条
7．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴．若点A坐标为(-1，2)，则点C的坐标为（ ）
A．(1，-2) B．(2，-1) C．(1，-3) D．(2，-3)
8．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（?? ）
A．3n??? B．3n（n+1）?? C．6n?? D．6n（n+1）
9．如图，平行四边形 ABCD 中， E为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG，若 ，，则 的度数是
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
二、填空题（8小题，每题3分，共24分)
11．11．已知一个多边形的内角和与外角和之比是3:2，则这个多边形的边数为_________．
12．用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正_______边形．
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
14．如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是____________
15．如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为_________cm．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC，DE∥BF，则图共有________个平行四边形．
17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD＝6cm，BD＝8cm，BC＝16cm，则DE的长为_____cm．
18．如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有_________个
三、解答题（8小题，共66分)
19．两个正多边形，它们的边数之比是1：2，内角之比是3：4．求它们的边数．
20．如图，AC∥DB，AC=2DB，E是AC的中点，求证：BC=DE．
21．如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P，
求证：PA＝PC．
22．已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，求四边形DEFG的周长.
24．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
（1）构造一个真命题，画图并给出证明；
（2）构造一个假命题，举反例加以说明．
25．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=　　　　　　．
26．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点（E不与A、D重合），且点E由A向D运动，速度为1cm/s，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE、DF，设点E运动时间为t．
（1）求证：无论t为何值，四边形CEDF都是平行四边形；
（2）①当t等于多少s时，CE⊥AD；
②当t等于多少s时，平行四边形CEDF的两条邻边相等．
参考答案
1．【考点】中心对称图形和轴对称图形的定义
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项进行分析判断即可得出答案．
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.
故选：A.
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义.根据中心对称图形和轴对称图形的定义熟练辨析出这两种图形是解题的关键.
2．【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，得到AO=OC，然后根据线段垂直平分线的性质得到AE=EC，由此可求得△CDE的周长.
解：根据平行四边形的性质知：AB=CD，AD=BC，AO=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，即：AE=EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD=3+4=7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是利用线段垂直平分线的性质，把要求的问题转化为已知的问题..
3．【考点】平行四边形的性质，三角形三边的关系
【分析】根据平行四边形的性质及三角形三边的关系进行判断即可.
解：如图,
平行四边形ABCD, AC=10cm,BD=20cm,
由平行四边形的性质,对角线相交且互相平分, OA=OC=AC=5cm,
OB=OD=BD=10cm,
由三角形性质: 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边,
即OB-OA边长的取值范围5cm故边长的值可能是6cm,
故选C.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系.
4．【考点】平行四边形的性质
解：∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在△AOE和△COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∴S△FCO＝S△OAE.
∵面积为12的□ABCD，
∴S△DAB＝6.
过点D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O为中点,
∴OH＝DG.
∴S阴影＝SOAB＝ S△DAB＝3.
故选A.
【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
5．【考点】反证法
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
解：根据反证法的步骤，则
应先假设这五个数都小于．
故选C．
【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．【考点】正多边形内角与外角
【分析】根据正多边形内角与外角的性质，求出此多边形边数，从而求出这个多边形所有对角线的条数．
解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°-150°=30°，
∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°=12，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n-3）÷2=12×（12-3）÷2=54．
故选B．
【点评】此题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，题目综合性较强，同学们应熟练掌握相关公式
7．【考点】平行四边形的性质
【分析】平行四边形的对角线互相平分；根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据关于原点对称的图形的特点求出即可。
解：∵四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
又∵平行四边形ABCD的对角线交点在坐标原点，
∴A和C关于O对称，
∵点A的坐标为（-1，2），
∴点C的坐标为（1，-2），
故选A。
【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，解题关键是熟练掌握性质》
8．【考点】探索规律
【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．
解：从图中我们发现
(1)中有6个平行四边形，
(2)中有18个平行四边形,
(3)中有36个平行四边形,
∴第n个中有3n(n+1)个平行四边形.
故选B.
【点睛】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第个图中平行四边形的个数．
9．【考点】平行四边形的性质、三角形内角和定理
【分析】首先求出∠AEB，再利用三角形内角和定理求出∠B，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，
∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．【考点】平行四边形的判定．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．
11．【考点】多边形的内角与外角
【分析】先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
解：设多边形的一个内角为7x度，则一个外角为2x度，依题意得：3x+2x=180°，解得x=36°，360°÷（2×36°）=5．
【点睛】解题的关键是记住多边形的一个内角与外角互补、及外角和的特征．
12．【考点】平面镶嵌
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
解：∵正三角形的内角是60°，正八边形的内角是135°，
∴另一个正多边形的内角是165°，
∴另一个正多边形是24边形；
故答案为：24．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．【考点】多边形外角
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
【点睛】主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
14．【考点】平行四边形的判定
【分析】要使四边形AECF也是平行四边形，可增加一个条件：BE=DF．
解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，如果BE=DF，则有：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
∵AD=BC，BE=DF，
∴△ADF≌△BCE，
∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质，通过证△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF，CF=AE利用两组对边分别相等来判定平行四边形．
15．【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．
【点评】运用了平行四边形的对角线互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，平行四边形的对边相等．
16．【考点】平行四边形的判定及性质
【分析】根据平行四边形的判定及性质进行分析，从而可得到共有3个平行四边形，分别是：?AEFD，?EFCB，?BEDF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵EF∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形．
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
综上所述，平行四边形的个数共有3个（平行四边形ABCD除外）．
故答案是：3．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定及性质的理解及运用，注意运用“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”的性质．
17．【考点】三角形的中位线
【分析】延长AD交BC于F，利用“角边角”证明△BDF和△BDA全等，根据全等三角形对应边相等可得DF＝AD，FB＝AB＝10cm，再求出CF并判断出DE是△ACF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF．
解：如图，延长AD交BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠BDA＝∠BDF＝90°，AB＝（cm），
在△BDF和△BDA中，
，
∴△BDF≌△BDA（ASA），
∴DF＝AD，FB＝AB＝10cm，
∴CF＝BC﹣FB＝16﹣10＝6cm，
又∵点E为AC的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE＝CF＝3cm．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
18．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
解：在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1CA1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
【点评】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．由特殊到一般，善于从中找出规律是关键．
19．【考点】多边形的内角和定理
【分析】设一个正多边形的边数为x，则另一个正多边形的边数为2x，由多边形的内角和公式结合两个正多边形的内角度数为3：4，列出方程求解即可．
解：设一个正多边形的边数为x，则另一个正多边形的边数为2x，依题意有
[180（x-2）]：[180（2x-2）]=3x：（4×2x），
解得x=5，
2x=10．
答：这两个正多边形边数分别是5和10．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是熟练掌握多边形的内角和定理．
20．【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】由题中条件AC=2BD，E是AC的中点，可得EC=BD，即四边形BDEC是平行四边形，故可得出结论．
证明：∵AC=2BD，E是AC的中点，
∴EC=BD，
又AC∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∴BC=DE
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定问题，应掌握平行四边形的性质，能够熟练解决此类问题．
21．【考点】平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定
【分析】由已知易得AB=CD，AB∥CD，结合BE=DF可得AE=CF，∠AEP=∠CFP，结合∠APE=∠CPF易证△AEP≌△CFP，由此可得PA＝PC．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AEP＝∠CFP，
∵BE＝DF，
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF，
在△AEP和△CFP中， ，
∴△AEP≌△CFP，
∴PA＝PC．
【点睛】熟悉“平行四边形的性质”和“全等三角形的性质和判定”是解答本题的关键.
22．【考点】反证法
【分析】首先假设∠B，∠C都等于90°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可．
证明：假设∠B，∠C都等于90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，
∴假设不成立，即∠B，∠C不可能等于90°．
【点睛】此题主要考查了反证法，熟练应用等腰三角形的性质是解题关键．
23．【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】依据AB=BC=3DE=12，即可求得DE、AB、BC的长，利用三角形的中位线定理即可求得GF和EF的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得DG的长，则四边形的周长即可求解．
解：∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6，
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6，
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等，解题的关键是结合图形灵活应用相关的定理与性质．
24．【考点】平行四边形的判定
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
解：（1）①④为条件时：
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC，
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）②④为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，真命题与假命题，熟知举出符合条件不符合结论的例子来说明一个命题是假命题是关键；本题中用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的论断．
25．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；
（2）图②中：AC+DE=DF．
图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；
当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．
26．【考点】平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED＝∠AMB＝90°，即可得出答案；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，即可得出答案．
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
又∠CGF＝∠EGD．
G是CD的中点，
CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∵，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当t＝3.5s时，CE⊥AD，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴BM＝1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∵AE＝3.5，
∴DE＝1.5＝BM，
在△MBA和△EDC中，
∵，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
即CE⊥AD；
②当t＝2s时，平行四边形CEDF的两条邻边相等，
理由是：∵AD＝5，AE＝2，
∴DE＝3，
∵CD＝3，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
即平行四边形CEDF的两条邻边相等
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．