4.2.1 平行四边形及其性质（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形及其性质(1)
【知识清单】
1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD可记做“□ABCD”.
3、平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等.
【经典例题】
例题1、如图，在周长为36cm的□ABCD 中，AB≠AD，点O为对角线BD的中点，OE⊥BD交AD于E，连结BE，求△ABE的周长．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为36cm
∴AB+AD=18cm
∵O是BD的中点，OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE=DE．
∴△ABE的周长=AB+AE+BE，
=AB+AE+DE=AB+AD．
∴△ABE的周长为18cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．
例题2、如图，在□ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE， 求证：AE∥CF.
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，即得∠ABE=∠CDF，再结合BF=DE，即可证得△ABE≌△CDF，从而证得结论.
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF
∵BF=DE，
∴BF+FE=DE+FE，
即BE=DF.
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线及三角形全等的知识.平行四边形对应元素是解题的关键.
【夯实基础】
1、□ABCD的四个内角度数的比∠A︰∠B︰∠C︰∠D可能是(　　)
A．3︰4︰3︰4 B．3︰4︰4︰3 C．4︰4︰3︰2 D．3︰4︰5︰6
2、电动伸缩门是依据平行四边形的( )
A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性
3、已知□ABCD中，∠A+∠C=70°，则∠B的度数为( )
A．125° B．135° C．145° C．155°
4、如图，在□ABCD 中，AC=5cm，若△ABC的周长为12cm，则□ABCD的周长为( )
A．24 cm B．19 cm C．14 cm C．7 cm
5、已知□ABCD中，连接AC，∠B=∠CAD=45°，AB=4，则AD的长为 .
6、如图，点P是□ABCD内任意一点，若S□ABCD=16，则阴影部分的面积为 .
7、如图，在□ABCD中，点O的BD的中点，经过点O的直线分别交AD和BC于点E
和点F. 求证：AE=CF.

8、如图，在□ABCD中，点E是AB的中点，连结DE，并延长DE交CB的延长线于点F，
(1)求证：点B是FC的中点；
(2)若CE⊥FD，垂足为点E，试探究CD与AD的大小关系？
【提优特训】
9、如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，若AE=a，则□ABCD的周长为 ( )
A．3a B．6a C．9a C．12a
10、在□ABCD中，BD是对角线，AE⊥AD交BD于点E，若∠1=22°，则∠2的度数为( )
A．102° B．112° C．122° D．132°
11、如图，在□ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点P，则图中共有平行四边形(?????? )个.
A．5 B．7 C．9 D．11
12、如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，使点B落在得处，若∠1=40°，∠2=36°，则∠C的度数为 .
13、用一根长36m的篱笆围成一个平行四边形的花园，使其两边的比为5:4，则长边为 m，短边为 m.
14、已知□ABCD中，点A，B，C的坐标分别是A(0，4)，B(2，2)，C(3，2)，则点D的坐标是 .
15、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
求证：AF=DE.
16、在□ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC垂足F在AC的延长线上，
求证：ED=FB，ED∥BF.
17、如图所示，四边形ACED是平行四边形，点B是边EC延长线上一点，连结DB、AB，使AC=DB，
(1)求证：△ABD≌△CDE；
(2)若∠E=30°，∠DCB=45°，CE=2，求四边形ABCD的面积.
18、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)若∠EAF=50° ，求∠FAD的度数；
(2)BP是∠ABC的平分线，分别交AE、AF、AD于点M、N、P，
求证：AM=AN；
(3)若□ABCD的周长为48，AE=6，AF=10，求BC的长.
【中考链接】
19、(2018?临沂)(3分)如图，在□ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　 　．

20、(2018?浙江台州) 8．(4.00分)如图，在□ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(　　)
A． B．1 C． D．
21、(2018?浙江衢州) 18．(6分)如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
22、(2018?杭州临安) 25．(6分)已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF．
参考答案
1、A 2、D 3、C 4、C 5、4 6、8 9、B 10、B 11、C 12、124°
13、10，8 14、(5，4) 19、4 20、B
7、如图，在□ABCD中，点O的BD的中点，经过点O的直线分别交AD和BC于点E
和点F. 求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠FBO =∠EDO，
∵点O的BD的中点，
∴BO=DO，
∵∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，.
∴BF=DE
∴ADDE=BCBF
∴AE=CF.
8、如图，在□ABCD中，点E是AB的中点，连结DE，并延长DE交CB的延长线于点F，
(1)求证：点B是FC的中点；
(2)若CE⊥FD，垂足为点E，试探究CD与AD的大小关系？
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠FBE，∠ADE=∠F，AD=BC，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴△AED≌△BEF(SAS)，
∴AD=BF，
∴ BF=BC，
∴点B是FC的中点；
(2)由(1) 可知△AED≌△BEF，
∴DE=FE，点E为DF的中点，
∵CE⊥FD，
∴DC=FC=2BC，
∴DC=2AD.
15、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
求证：AF=DE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∵BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠AEB，
∴∠1=∠AEB
∴AB=AE，
同理DF=DC，
∴AE=DF
∴AF=DE.
16、在□ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC垂足F在AC的延长线上，
求证：ED=FB，ED∥BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠2，AB=CD，
∵∠BAE=180°∠1，∠DCF=180°∠2
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°.
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF
∴CA+AE=AC+CF，
即CE=AF.
在△ECD和△FAB中，
∵
∴△ECD≌△FAB(SAS)，
∴ED=FB，
∴∠CED=∠AFB，
∴ED∥BF.
17、如图所示，四边形ACED是平行四边形，点B是边EC延长线上一点，连结DB、AB，使AC=DB，
(1)求证：△ABD≌△CDE；
(2)若∠E=30°，∠DCB=45°，CE=2，求四边形ABCD的面积.
(1)证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，∠DAC=∠E，AD∥BE，
∵AC=DB，
∴DB=ED，
∴∠DBE=∠E.
∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBE=∠E.
在△ABD和△CDE中，
∵，
∴△ABD≌△CDE(SAS)，
(2)过点D作DG⊥BE于G，
∵BD=ED
∴BG=EG
设DG=x，
在Rt△DGE中，∠E=30°，
∴DE=2x，
根据勾股定理，得GE==.
在Rt△DGC中，∠DCB=45°，
∴GC=GD=x，
∵CE=2，
∴ GEGC=2，
∴x=2
解得，x=.
即DG=CG=.
∴GE=GC+CE=+2=3+.
∴BE=2GE=2(3+).
由(1)四边形ABCD的面积=△DBE的面积
=
=6+4.
18、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)若∠EAF=50° ，求∠FAD的度数；
(2)BP是∠ABC的平分线，分别交AE、AF、AD于点M、N、P，
求证：AM=AN；
(3)若□ABCD的周长为48，AE=6，AF=10，求BC的长.
(1)解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=50° ，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴∠DAF+∠C=180°.
∴∠C=130°.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=50°
∴∠FAD=40；
(2)证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠D，
∴∠3=∠1，
∴∠BAE=∠FAD.
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠AMN=∠2+∠BAE，∠ANM=∠3+∠FAE，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN；
(3) ∵□ABCD的周长为48，AE=6，AF=10，
∴BC+CD=24，
设BC=x，则CD=24x，
由平行四边形的面积得BC·AE=CD·AF，
∴6x=10(24x)，
解得x=15，∴BC=15.
21、(2018?浙江衢州) 18．(6分)如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，
则对应边相等：AE=CF．
【解答】证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
22、(2018?杭州临安) 25．(6分)已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF．
【分析】(1)要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，
得到AF=CE，又因为四边形ABCD是平行四边形，得出AD=CB，
∠DAF=∠BCE，
从而根据SAS推出两三角形全等；
(2)由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．
【解答】证明：(1)∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC．
∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF与△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE(SAS)．
(2)∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC．
∴DF∥EB．