4.2.2 平行四边形及其性质（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第2课时 平行四边形及其性质(2)
【知识清单】
1、夹在两条平行线间的平行线段相等，夹在两条平行线间的垂线段相等.
2、两条平行线中，一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，叫做这两条平行线之间的距离.
【经典例题】
例题1、如图，E，F分别是□ABCD的边CD、AB上的点，且AE∥CF.求证：AF=CE.
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等、对角相等便可求得.
【解答】如图，四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3.
∵AE∥CF，
∴∠1=∠2. ∴∠1=∠3.
在△CBF和△ADE中，
∵
∴△CBF≌△ADE (AAS)，
∴BF=DE，
∵AB=CD，
∴ABBF=CDDE，即AF=CE.
【点评】本题考查了平行四边形的判断方法，平行四边形可以从边、角、对角线三方面进行判定，在选择判断方法时，要根据题目现有的条件，选择合理的判断方法．
例题2、如图，已知□ABCD的周长为12+，∠A∶∠B =3∶1，AB=，则AD与BC之间的距离是 ；□ABCD的面积是________.
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据四边形ABCD平行四边形，
∠A∶∠B =3∶1，∠A+∠B =180°，可以求得
∠B=45°∠A=135°，再根据两条平行线的性质
求解即可．
【解答】过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠BAD +∠B =180°，
∵∠BAD∶∠B =3∶1，
∴解得∠B=45°，∠BAD =135°.
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=，
∴AE2+BE2=AB2，
∴2 AE2=AB2=()2
解得AE=3.
∴AD与BC之间的距离是3.
∵□ABCD的周长为12+，
∴AB+BC=6+
∴BC=6，
∴S□ABCD=BC·AE=6×3=18.
【点评】本题主要考查平行四边形的性质定理，解题的关键是由勾股定理列出方程从而解决问题．
【夯实基础】
1、下列命题正确的是( )
A．两点之间的距离，就是两点之间的线段
B．点到直线的距离，就是点到直线上一点线段长度
C．两条平行线的距离，就是从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
D．两条平行线的距离，就是从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2、如图所示，直线a∥b，另有一条直线l与直线a，b交于点A，B，若将直线l作平移运动则线段AB( )
A．变大 B．变小 C．可能变小也可能变大 D．始终不变
3、如图所示，∥，AD∥BC，GF⊥，AE⊥，点F，E为垂足，则下列说法中错误的是( ?)?
A．GF=AE? B．GFD．直线，间的距离就是线段AE的长

4、如图，在5×5的方格中每个小正方形的边长为均为1，则S四边形GCEF与S四边形ABCD大小关系为 ( )
A. S四边形GCEF =S四边形ABCD B.2S四边形GCEF =S四边形ABCD
C. S四边形GCEF =S四边形ABCD +1 D. S四边形GCEF =S四边形ABCD +2
5、如图，AB∥CD，AB与CD之间的距离为1， ∠CBE=150°，∠1=∠2，则BD的长为 ．
6、如图，已知点P是□ABCD对角线AC上一点，EF∥AD，HG∥AB，若BH=2HC，S△PHC=3，则S□GPFD= .



7、在△ABC中，AB=AC，
(1)如图①，若D是边BC上任意一点.且DE∥AC，DF∥AB，DE，DF分别交AB，AC于点E，F，试说明DE，DF和AB之间的关系；
(2)如图②，若D是边BC的延长线上任意一点.且DE∥AC，DF∥AB，DE，DF分别交BA延长线，AC延长线于点E，F，试说明DE，DF和AB之间的关系.
(3)如图③，若D是边CB的延长线上任意一点.且DE∥AC，DF∥AB，DE，DF分别交AB延长线，CA延长线于点E，F，直接写出DE，DF和AB之间的关系不要证明.
8、如图，在一条笔直的公路上，甲车从A处向南行驶，航速为90千米/时；乙车从 B处向北行驶，航速为75千米/时．两车同时于8：25出发，两车相距115.5千米，求两车距离最近时的时刻.
【提优特训】
9、四边形ABCE和四边形ACEF都是平行四边形，EF经过点D，若□ABCD的面积为S1，□ACEF的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A. S1>S2 B. S1S2
10、如图，已知AB∥CD ，∠1=∠CAB，∠2=∠ACD，PE⊥AC 于点E，若PE=2，则AB与CD的距离为( )
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
11、在□ABCD中，AB=20，AD=16，对角线AC=24，则AD与BC之间的距离为(　　)
A．8 B． C． D．或
12、如图，l1∥l2∥l3，△ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，若l1与l2的距离为2，l2∥l3的距离为6，则AB的长为 .
13、如图，四边形ABCD的平行四边形，直线AD的解析式为y= ， 直线DC的解析式为y=x，BC=2DC，则点的坐标为 .
14、平行四边形两邻边分别为4、7，则它的一条对角线长d的取值范围是 .
15、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
若AB与AD的长度之比为3∶4.求AE∶AE的值.
16、如图在方格纸中每个小正方形边长都是1，□ABCD的四个顶点都在小方格的顶点上，按下列要求画一个面积与□ABCD面积相等的四边形，使他的顶点均在方格的顶点上．(四边形的边用实线表示，顶点上写规定的字母)．
(1)在图甲中画一个长方形EFGH；
(2)在图乙中画一个四条边都相等的□MNPQ.
17．如图(1)，已知：直线a∥b，A，D为直线a上两点，B、C为直线b上两点．
(1)如果A、B、C为三个定点，点D在直线a上移动，那么，无论D点移动到任何位置，总有 与
△ABC的面积相等．理由是：______．
(2)请写出(1)中剩下几对面积相等的三角形：______．
(3)如图(2)，一个五边形ABCDE，你能否过点A作一条直线交CD(或CD的延长线)于点F，使四边形ABCF的面积等于五边形ABCDE的面积？
18．如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
(1)求证：AC=DE；
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC=20°，求∠AED的度数．
【中考链接】
19、(2018?湖南株洲)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD
于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=，
在DB的延长线上取一点P，
满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，
则AP=______．
20、(2018?无锡)如图，平行四边形ABCD中，
E、F分别是边BC、AD的中点，
求证：∠ABF=∠CDE．
21、(2018?益阳)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
　

22、(2018?黄冈)如图，在□ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，
求证BF⊥BC.
(3)要证BF⊥BC，须证∠FBC=90°，
通过AF⊥AE挖掘角的量的关系.
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、A 5、 6、12 9、C 10、B 11、C
12、 13、(6，) 14、3 7、(1)解：AB= DF+DE.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE∥AC，∴∠1=∠C，
∴∠1=∠B，∴BE=DE.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DF=AE，
∴AB=AE+EB=DF+DE.
(2)解：AB= DEDF.
∵AB=AC，∴∠B=∠1.
∵DE∥AC，∴∠1=∠2，
∴∠2=∠B.
∴BE=DE.
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DF=AE，
∴AB=BEAE=DEDF.
(3)AB= DFDE.
8、 解：设x分钟后两车距离最近，
如图在直线AC上取点E，
过点E作EF⊥BD，
当AE=DF时，两车距离最近，
根据题意得出：90x=115.575x，
解得：x=0.7，
0.7小时=0.7×60分钟=42(分钟)，
则两车距离最近时的时刻为：9：07．
15、解：∵AB∶AD=3∶4，
∴CD∶BC=3∶4.
∴根据平行四边形的面积可得，
BC·AE=CD·AF
∴AF∶AE = BC∶CD =4∶3.
16、 (1)在图甲中画一个长方形EFGH；
(2)在图乙中画一个四条边都相等的□MNPQ.
17． 解：(1)△DBC.
∵a∥b，∴点A，D到直线b的距离是相等的，?
∴△ABC与△DBC的公共边BC上的高相等，?
∴总有S△DBC与S△ABC的面积相等．?
故答案为△DBC.同底等高的三角形的面积相等；
(2)S△AOB= S△DOC，S△BAD= S△CAD，
(3)如图(3)，连结AD，过点E作EF∥AD，交CD的延长线于点F，
连结AF，线段AF所在的直线即为所求的直线．
则四边形ABCF的面积等于五边形ABCDE的面积.
∵EF∥AD，
∴△AED的面积S△AED等于△AFD的面积S△AFD，
∵S四边形ABCF= S四边形ABCD+S△AED，
S五边形ABCDE= S四边形ABCD+ S△AFD，
∴S四边形ABCF= S五边形ABCDE.
18．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
∵，
∴△ABC≌△EAD．
∴AC=DE；
(2)∵AE平分∠DAB(已知)，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=20°，
∴∠BAC=80°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=80°．
20、(2018?无锡)如图，平行四边形ABCD中，
E、F分别是边BC、AD的中点，
求证：∠ABF=∠CDE．
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质
即可求出答案．
【解答】解：在□ABCD中，
AD=BC，∠A=∠C，
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF与△CDE中，
∵，
∴△ABF≌△CDE(SAS)
∴∠ABF=∠CDE
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型
21．(2018?益阳)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
∴AE=CF，[来源:学科网]
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
　 22. (2018?黄冈)如图，在□ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
【考点】平行四边形、全等三角形，等腰三角形.
【分析】(1)先证明∠ABF＝∠ADE，再利用SAS证明△ABF≌△EDA；
(2)要证BF⊥BC，须证∠FBC=90°，通过AF⊥AE挖掘角的量的关系。
【解答】(1)证：∵□ABCD，
∴AB=CD=DE，BF=BC=AD
又∠ABC=∠ADC，∠CBF=∠CDE，
∴∠ABF=∠ADE；
在△ABF与△EDA中，
∵，
∴△ABF≌△EDA.
(2)由(1)知∠EAD=∠AFB，∠GBF=∠AFB+∠BAF，
由□ABCD可得：AD∥BC，
∴∠DAG=∠CBG，
∴∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°，
∴BF⊥BC.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质.