浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》——矩形
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.己知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(??? )
A.?∠A＝∠B?????????????????????????????B.?∠A＝∠C?????????????????????????????C.?AC＝BD?????????????????????????????D.?AB⊥BC
2.下列命题中，真命题是(??? )
A.?对角线互相平分且相等的四边形是矩形???????????????B.?对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C.?对角线互相平分的四边形是矩形?????????????????????????D.?对角线互相垂直的四边形是矩形
3.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是(??? )
A.?一定不是平行四边形???????????????????????????????????????????B.?一定不是中心对称图形 C.?可能是轴对称图形??????????????????????????????????????????????D.?当AC＝BD时，它为矩形
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
4.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 72 ，则点C的坐标是（ ??）
A.?（4，2）????????????????????????B.?（2，4）????????????????????????C.?（ 32 ，3）????????????????????????D.?（3， 32 ）
5.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ?????）
A.?S1＞S2???????????????????????????????B.?S1=S2???????????????????????????????C.?S1＜S2???????????????????????????????D.?3S1=2S2
6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连结BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（?? ）
?43???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
7.已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（?? ）
A.?258?????????????????????????????????????????B.?52?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?2.8
第7题图 第8题图 第9题图
8.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD=（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
9.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E的度数是（?? ）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?15°
10.如图，线段AB的长为20，点D在AB上，△ACD是边长为8的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（ ??）
A.?10???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?8 3???????????????????????????????????????D.?6 3
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________.
12.如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为________．
13.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE。若∠ADB＝30°，则∠E＝________.
第13题图 第14题图
14.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=________．
15.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是________．
第15题图 第16题图
16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD于点Q，连接CQ。取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，则AQ的长________。
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（8分）如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．
18.（8分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．
（8分）如图，矩形 ABCD ， E 为射线 CD 上一点，连接 AE ， F 为 AE 上一点， FC 交 AD 于点 G ， FA=FG ．求证： FE=FC ．
20.（10分）如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
21.（10分）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
22.（10分）如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
23.（12分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=________；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是________；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是________．
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》——矩形
一、单选题
1.【答案】 B
2.【答案】 A
3.【答案】 C
4.【答案】 D
5.【答案】 B
6.【答案】 A
7.【答案】 B
8.【答案】 A
9.【答案】 D
10.【答案】 A
二、填空题
11.【答案】 2.5
12.【答案】 6.5或8或18
13.【答案】 15°
14.【答案】 4.8
15.【答案】3
16.【答案】2
三、解答题
17.【答案】解：过点G作GE⊥BD于E， 根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD=BC=3， ∴AG=EG，ED=3， ∵AB=4，BC=3，∠A=90°， ∴BD=5， 设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x， 在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2 ， 即：x2+4=（4﹣x）2 ， 解得：x= 32 ，故AG= 32 ．
18.【答案】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=60°，即∠E=30°．
19.【答案】证明：∵FA=FG ， ∴∠2=∠1． ∵∠3=∠1， ∴∠2=∠3． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°． ∴∠E=90°-∠2，∠4=90°-∠3． ∴∠E=∠4． ∴FE=FC ．
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=CD，AB∥CD． ∵BE=AB， ∴BE=CD． ∵AB∥CD， ∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF， 在△BEF与△CDF中， ∵ {∠BEF=∠CDFBE=CD∠EBF=∠DCF ， ∴△BEF≌△CDF（ASA） （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB， ∵AB=BE， ∴CD=EB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BF=CF，EF=DF， ∵∠BFD=2∠A， ∴∠BFD=2∠DCF， ∴∠DCF=∠FDC， ∴DF=CF， ∴DE=BC， ∴四边形BECD是矩形．
21.【答案】（1）解：设DE=EG=x，则AE=8-x．在Rt△AEG中，AG2+EG2=AE2 ， ∴16+x2=（8-x）2 ， 解得x=3，∴DE=3． （2）解：过G点作GM⊥AD于M， 则 12 ?AG×GE= 12 ?AE×GM，AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3， ∴GM= 125 ， ∴S△GED= 12 GM×DE= 185 ．
22.【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ?∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ?∴AE=DE，? 在△AEF和△DEC中， ∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ?∵AF=BD， ?∴BD=CD （2）解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形． ?理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ?∴∠ADB=90°， ∴□AFBD是矩形
23.【答案】（1）13；（5，3），（3，5） （2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，
∴∠EAF+∠EBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠EBF=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∴四边形BCEF是准矩形
（3）15+3 ； 39+3 ； 215
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》——矩形
答案与解析
一、单选题
1.己知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(??? )
A.?∠A＝∠B?????????????????????????????B.?∠A＝∠C?????????????????????????????C.?AC＝BD?????????????????????????????D.?AB⊥BC
【答案】 B
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，∵∠A=∠B，∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形； B选项，根据平行四边形的性质可得，∠A=∠C，∴根据∠A=∠C不等判断平行四边形ABCD为矩形； C选项，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD的对角线相等，∴平行四边形ABCD为矩形； D选项，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴平行四边形ABCD为矩形。 故答案为：B。 【分析】根据矩形的判定定理，检验四个条件是否符合题意即可。
2.下列命题中，真命题是(??? )
A.?对角线互相平分且相等的四边形是矩形???????????????B.?对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C.?对角线互相平分的四边形是矩形?????????????????????????D.?对角线互相垂直的四边形是矩形
【答案】 A
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确； B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误； C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误； D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。 故答案为：A。 【分析】判断事物的语句叫做命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，根据四边形的判定方法进行判断即可。
3.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是(??? )
A.?一定不是平行四边形???????????????????????????????????????????B.?一定不是中心对称图形 C.?可能是轴对称图形??????????????????????????????????????????????D.?当AC＝BD时，它为矩形
【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】连接AC，在三角形ACD中，HG为三角形的中位线，AC=2HG；同理可得，在三角形ABC中，AC=2EF，∴HG=EF 同理可得，HE=CF。 ∴四边形ABCD为平行四边形，A选项错误； ∵平行四边形为中心对称图形，∴B选项错误； 当AC=BD时，四边形GHEF的四条边均相等，四边形GHEF为菱形，是轴对称图形，∴C选项正确，D选项错误。 【分析】根据平行四边形，图形的中心对称，矩形以及图形的轴对称的知识即可进行作答。
4.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 72 ，则点C的坐标是（ ??）
A.?（4，2）????????????????????????B.?（2，4）????????????????????????C.?（ 32 ，3）????????????????????????D.?（3， 32 ）
【答案】 D
【考点】坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO，
∴∠AEO∽△COM，
∴ EOAE=CMMO=12 ，
∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在△ABN和△OCM中
{∠BNA=∠CMO∠BAN=∠COMAB=OC
∴△ABN≌△OCM(AAS)，
∴BN=CM，
∵点A(?1,2),点B的纵坐标是 72 ，
∴BN= 32 ，
∴CM= 32 ，
∴MO==2CM=3，
∴点C的坐标是：(3, 32 ).
故选：D.
【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
5.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ?????）
A.?S1＞S2???????????????????????????????B.?S1=S2???????????????????????????????C.?S1＜S2???????????????????????????????D.?3S1=2S2
【答案】 B
【考点】三角形的面积，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2 ∴S2=AC·AE S1=2△ABC=2·12AC·AE=AC·AE ∴S1=S2 故答案为：B
【分析】根据矩形ABCD的面积=AC·AE，而矩形AEFC的面积=AC·AE，即可得出答案。
6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连结BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（?? ）
A.?43???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 A
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作EH⊥BD于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，∠C=90°，
∴BD= BC2+CD2 ?=5，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC=∠EBH，
在△EBH和△EBC中，
{∠EHB=∠C=90°∠EBH=∠EBCBE=BE ，
∴△EBH≌△EBC，
∴BC=BH=4，EC=EH，设EC=EH=x，
在Rt△DEH中，∵DE2=DH2+EH2 ，
∴（3﹣x）2=12+x2 ，
∴x= 43 ，
∴CE= 43 ，
故选A．
【分析】作EH⊥BD于H．思想利用勾股定理求出BD，再证明△EBH≌△EBC，可得BC=BH=4，EC=EH，设EC=EH=x，在Rt△DEH中，根据DE2=DH2+EH2 ， 列出方程即可解决问题．
7.已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是（?? ）
A.?258?????????????????????????????????????????B.?52?????????????????????????????????????????C.?3?????????????????????????????????????????D.?2.8
【答案】 B
【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
Rt△ABC中，AC= AB2+BC2=32+42 =5，
∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X，
∴（4﹣x）2=x2+22 ，
解得x= 32 ．
所以CE=4﹣ 32=52 ，
故选B．
【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
8.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD=（?? ）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】 A
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∵E为BC中点，BC=8，
∴BE=4，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：AE=5，
∴AF=AE=5，
∴DF=AD﹣AF=8﹣5=3，
故选A．
【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE=∠AEF，进而推出AE=AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．
9.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E的度数是（?? ）
A.?45°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?20°???????????????????????????????????????D.?15°
【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，
∴∠E=15°，
故选：D．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数
10.如图，线段AB的长为20，点D在AB上，△ACD是边长为8的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（ ??）
A.?10???????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????C.?8 3???????????????????????????????????????D.?6 3
【答案】 A
【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：如果，作射线MO⊥CD，
则点M为CD的中点，由题意可得，点O为矩形CDGH的中点，所以无论G在射线DP上如何变化，O点的运动轨迹在CD的中垂线上，即O点在射线MO上．
∵DP⊥CD，∴MO∥DP，线段BO的最小值为B到射线MO的最小距离，所以当BO⊥DP时，BO取得最小值．
∵△ACD是边长为8的等边三角形，四边形CDGH是矩形， ∴∠PDB=180°﹣60°﹣90°=30°，线段AB的长为20， ∴BD=AB﹣AD=20-8=12， ∴BO的最小值是：BD?sin30°+ 82 ?=12× 12 +4=10． 故答案为：A．
【分析】作射线MO⊥CD，得出点M为CD的中点，由题意可得，点O为矩形CDGH的中点，所以无论G在射线DP上如何变化，O点的运动轨迹在CD的中垂线上，即O点在射线MO上，根据题意可知线段BO的最小值为B到射线MO的最小距离，所以当BO⊥DP时，BO取得最小值，根据等边三角形的性质及矩形的性质，可得出∠PDB=30°，求出BD的长=12.即可求出BO的最小值。
二、填空题
11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________.
【答案】 2.5
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴AC=BD=10，BO=OD=5 又∵P点和Q点分别为AO和AD的中点 ∴PQ=12OD=2.5. 故答案为：2.5。 【分析】根据矩形的性质得出OD的长度，利用三角形的中位线定理即可求得PQ的长度。
12.如图：长方形ABCD中，AD＝26，AB＝12，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为________．
【答案】 6.5或8或18
【考点】等腰三角形的判定，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，且AD＝26，点Q是BC的中点，
∴BQ＝13，
当BP＝QP时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1，
则BM＝MQ＝6.5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝6.5，
当QP＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2，
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝5，
则AR＝8，AS＝18，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝8或18，
综上可知，AP的长为6.5或8或18．
故答案为：6.5或8或18
【分析】以QP为腰，可分成BP=QP或BQ=QP分别进行讨论。若BP=QP，则P在BQ的中垂线上；若BQ=QP，则P在以Q为圆心，BQ为半径的圆上。
13.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE。若∠ADB＝30°，则∠E＝________.
【答案】 15°
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD∥BE，AC=BD ∴∠E=∠DAE ∵BD=CE，BD=AC ∴CE=CA，∠E=∠CAE，∠CAD=∠ADB=30° ∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=∠E+∠E=30° ∴∠E=15°。 【分析】根据图中矩形的性质可得∠E=∠DAE，BD=AC=CE，根据∠E=∠CAE求出∠E的度数即可。
14.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=________．
【答案】 4.8
【考点】三角形的面积，勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD= AD2+AD2 =10，
∵△ABD的面积S= 12 AB?AD= 12 BD?AE，
∴AE= AB?ADBD =4.8．
故答案为 4.8
【分析】根据 矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
15.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是________．
【答案】3
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：设 CD=x ， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ? AB=CD ， AD=BC ， ∠A=∠D=90° ， ∵ ? EF⊥EC ， ∴ ? ∠FEC=90° ， ∴ ? ∠AFE+∠AEF=90° ， ∠AEF+∠DEC=90° ， ∴ ? ∠AFE=∠DEC ， 在 △AFE 和 △DCE 中， {∠AFE=∠DEC∠A=∠DEF=EC ， ∴ ? △AFE?△DCE ? (AAS) ， ∴ ? AE=DC=x ， ∵ ? DE=2 ， ∴ ? AD=BC=x+2 ， ∵ 矩形 ABCD 的周长为 16 ， ∴ 2(x+x+2)=16 ， x=3 ， 即 AE=3 . 故答案为： 3 . 【分析】设 CD=x，根据矩形性质可得，AB=CD，AD=BC ，∠A=∠D = 90 °，再根据∠ AFE+∠AEF=90 ° ， ∠ AEF+∠DEC=90 °由同角的余角相等可得∠ AFE = ∠DEC，再根据AAS判定△ AFE ? △ DCE，由全等三角形性质可得AE=DC=x ，AD=BC=x+2，最后根据等量关系“矩形的周长为16”列方程求解即可。
16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD于点Q，连接CQ。取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，则AQ的长________。
【答案】2
【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质，梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图 过点M作EF⊥DC于点E，交AB于点F ∵矩形ABCD ∴AB∥CD ∴EF⊥AB ∴∠DEM=∠MFP=90° ∴∠EDM+∠DME=90° ∵MD⊥MP， ∠DMP=90° ∴∠DME+∠PMF=90° ∴∠EDM=∠PMF ∵PQ⊥CP ∴∠QPC=90° 在Rt△QPC和Rt△QDC中，点M是QC的中点， ∴DM=QM=12QC 在△DEM和△PMF中 ∠DEM=∠MFP∠EDM=∠PMFDM=PM ∴△DEM≌△PMF（AAS） ∴DE=MF ∵EM∥EF，点M是QC的中点, ∴点E、F分别是DC和AB的中点。 ∴DE=CE=52?? ∴MF=52 ∵MF是梯形ABCQ的中位线 ∴MF=12（AQ+BC） ∴2×52=AQ+3 ∴AQ=2 故答案为：2 【分析】过点M作EF⊥DC于点E，交AB于点F，根据已知条件先证明△DEM≌△PMF，得出DE=MF，再根据证明DE=CE，从而可求出MF的长，然后证明MF是梯形ABCQ的中位线，根据梯形中位线定理，就可求出AQ的长。
三、解答题
17.如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．
【答案】解：过点G作GE⊥BD于E， 根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD=BC=3， ∴AG=EG，ED=3， ∵AB=4，BC=3，∠A=90°， ∴BD=5， 设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x， 在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2 ， 即：x2+4=（4﹣x）2 ， 解得：x= 32 ，故AG= 32 ．
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】过点G作GE⊥BD于E，利用折叠的性质，可证得∠GDA=∠GDB，AD=ED，AG=EG，利用矩形的性质，可求出AD、DE的长，∠A=90°，再利用勾股定理求出BD的长，就可得出BE的长，设AG=x，则GE=x，BG=4﹣x，然后在Rt△BEG中，利用勾股定理求出x的值即可。
18.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=60°，求∠E的度数．
【答案】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=60°，即∠E=30°．
【考点】矩形的性质
【解析】【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=60°，可得∠E度数．
19.如图，矩形 ABCD ， E 为射线 CD 上一点，连接 AE ， F 为 AE 上一点， FC 交 AD 于点 G ， FA=FG ． 求证： FE=FC ．
【答案】证明：∵FA=FG ， ∴∠2=∠1． ∵∠3=∠1， ∴∠2=∠3． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°． ∴∠E=90°-∠2，∠4=90°-∠3． ∴∠E=∠4． ∴FE=FC ．
【考点】余角和补角，等腰三角形的性质，矩形的性质
【解析】【分析】已知FA=FG，根据等腰三角形的性质可得∠2=∠1． 再由∠E=90°-∠2，∠4=90°-∠3，可得∠E=∠4，所以FE=FC．
20.如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=CD，AB∥CD． ∵BE=AB， ∴BE=CD． ∵AB∥CD， ∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF， 在△BEF与△CDF中， ∵ {∠BEF=∠CDFBE=CD∠EBF=∠DCF ， ∴△BEF≌△CDF（ASA） （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB， ∵AB=BE， ∴CD=EB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BF=CF，EF=DF， ∵∠BFD=2∠A， ∴∠BFD=2∠DCF， ∴∠DCF=∠FDC， ∴DF=CF， ∴DE=BC， ∴四边形BECD是矩形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，即AB=CD，AB∥CD；再由BE=AB，根据ASA得到△BEF≌△CDF；（2）由（1）知四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到BF=CF，EF=DF，根据等角对等边得到DF=CF，得到对角线DE=BC，由对角线相等的平行四边形是矩形，得到四边形BECD是矩形．
21.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
【答案】（1）解：设DE=EG=x，则AE=8-x．在Rt△AEG中，AG2+EG2=AE2 ， ∴16+x2=（8-x）2 ， 解得x=3，∴DE=3． （2）解：过G点作GM⊥AD于M， 则 12 ?AG×GE= 12 ?AE×GM，AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3， ∴GM= 125 ， ∴S△GED= 12 GM×DE= 185 ．
【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质设DE=EG=x，则AE=8-x，在Rt△AEG中运用勾股定理列出勾股方程求出DE=3；（2)先过G点作GM⊥AD于M，由DE=3得，AE＝５，GE=DE=3，运用三角形的等面积法求出GM＝125，再求得S△GED=185。
22.如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC， ?∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ?∴AE=DE，? 在△AEF和△DEC中， ∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ?∵AF=BD， ?∴BD=CD （2）解：当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形． ?理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ?∴∠ADB=90°， ∴□AFBD是矩形
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
23.定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=________；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是________；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是________．
【答案】（1）13；（5，3），（3，5） （2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC∠A=∠ABC=90°，
∴∠EAF+∠EBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠EBF=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
∴四边形BCEF是准矩形
（3）15+3 ； 39+3 ； 215
【考点】矩形的判定，矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）①∵∠ABC=90，
∴BD= AB2+BC2=4+9=13 ，
故答案为 13 ，
②∵A（0，3），B（5，0），
∴AB= 52+32 =33，
设点P（m，n），A（0，0），
∴OP= m2+n2 =33，
∵m，n都为整数，
∴点P（3，5）或（5，3）；
故答案为P（3，5）或（5，3）；
（ 3 ） 15+3 ； 39+3 ； 215
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，
∴BC=2 3 ，AC=4，
准矩形ABCD中，BD=AC=4，
①当AC=AD时，如图1，作DE⊥AB，
∴AE=BE 12 AB=1，
∴DE= AD2?AE2=16?1=15 ，
∴S准矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE
= 12 DE×AE+ 12 （BC+DE）×BE
= 12 × 15 + 12 （2 3 + 15 ）×1
= 15 + 3 ；
②当AC=CD时，如图2，
作DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴BF=CF= 12 BC= 3 ，
∴DF= CD2?CF2=16?3=13 ，
∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD
= 12 FC×DF+ 12 （AB+DF）×BF
= 12 × 3 × 13 + 12 （2+ 13 ）× 3
= 39 + 3 ；
③当AD=CD，如图3，
连接AC中点和D并延长，连接BG，过B作BH⊥DG，
∴BD=CD=AC=4，
∴AG= 12 AC=2，
∵AB=2，
∴AB=AG，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABG=60°，
∴∠CBG=30°
在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，
∴BH=1，
在Rt△BHM中，BH=1，∠CBH=30°，
∴BM= 233 ，HM= 33 ，
∴CM= 433 ，
在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，
∴DH= 15 ，∴DM=DH﹣MH= 15 ﹣ 33 ，
∴S准矩形ABCD=S△DCF+S四边形AMCD
= 12 BM×AB+ 12 AC×DM
= 12 × 233 ×2+ 12 ×4×（ 15 ﹣ 33 ）
=2 15 ；
故答案为 15+3 ； 39+3 ； 215 ．
【分析】（1）①中易由勾股定理可得AC=13，再由准矩形定义易得BD=AC=13 ②中由勾股定理可得AB=33，所以OP=33，又m,n为整数，可得P点只能为（3，5）或（5，3）。 （2）由准矩形定义只需证有一个直角以及对角线相等即可，由于有正方形ABCD可得∠FBC=90°；所以只需证对角线相等，由正方形性质易得△ABE≌△BCF，证得BE=CF，准矩形得证。 （3）由准矩形ABCD中，∠ABC=90°可知，只需证明对角线相等即可，又由△ADC为等腰三角形时所以需要分情况讨论，即AD=AC；CD=CA；DA=DC三种情况，又∠BAC=60°，AB=2；所以由割补法，可计算得到共有三种结果。
