4.2.3 平行四边形及其性质(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)

文档属性

名称 4.2.3 平行四边形及其性质(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
格式 zip
文件大小 392.4KB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2019-04-11 14:27:08

图片预览

文档简介

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第3课时 平行四边形及其性质(3)
【知识清单】
1.平行四边形的对角线 ,同时将这个平行四边形分成 个面积相等的三角形.
2.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
则有AO= ,BO= .
【经典例题】
例题1、如图所示,□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若BN:CN=3:1,S△CON+ S△AOM=2,则□ABCD的面积为______.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形,所以∠CAD=∠ACB,OA=OC,由此可以证明△CON≌△AOM,可以求出S△CON= S△AOM=1,进而求出S△BOC,再根据平行四边形的对角线互相平分,同时将这个平行四边形分成 4个面积相等的三角形即可解决.
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠CAD=∠ACB,OA=OC,
在△AOM与△CON中,
∵,
∴△AOM≌△CON(ASA).
∴S△CON= S△AOM=1.
∵BN:CN=3:1,
∴S△BON= 3S△NOC =3,
∴S△BOC= S△BON+S△NOC=4.
∴S□ABCD =4S△BOC =16.
故答案为16.
【点评】本题主要平行四边形的性质、两个三角形全等,证明S△CON= S△AOM是解决该题的关键.
例题2、如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接AF、CE.
求证:AF=CE.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】四边形AFCE为平行四边形;可证明△AOE≌△COF,得出OE=OF,再证明△AOF≌△COE(△ACF≌△CAE)问题即刻解决.
【解答】∵四边形AFCE为平行四边形;
∴OA=OC,
∵AF⊥BD,CE⊥BD,
∴∠AFO=∠CEO=90°,
在△AEO与△CFO中,
∵,
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴EO=FO.
在△AOF与△COE中,
∵,
∴△AOF≌△COE(SAS).
∴AF=CE.
【点评】证明线段相等的常用方法是证明它们所在的两个三角形全等.
【夯实基础】
1、平行四边形具备而一般四边形不具备的性质是( )
A. 内角和等于360° B. 对角线互相平分 C. 外角和等于360° D. 不稳定性
2、如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,图中全等三角形有( )
A. 2对 B. 3对 C. 5对 D. 5对
3、如图,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=10,AB=7,则△COD的周长为( )
A. 32 B. 25 C. 16 D. 无法确定
4、如图,□ABCD中,对角线AC和BD交于点O,若AB=3,AO=4,则边AD长的取值范围是( )
A. 1<AD<7 B. 5<AD<11 C. 6<AD<8 D. 3<AD<4
5、在□ABCD中,两条对角线交于点O,若AO=4cm,△ABC的周长为19cm,则□ABCD的周长为 cm.
6、已知□ABCD的周长为52,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长小8,则AB=________,BC=_______.
7、如图,已知□ABCD的顶点A、C与□EBFD的顶点E、F在同一条直线上,
求证:AE=CF.
8、如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC于点E, 若AB=,AC=4,BD=6,求AE的长.
【提优特训】
9、若平行四边形的一边长为12cm,则下列四组数据可以作为平行四边形两条对角线长度的是 ( )
A. 6 cm,18 cm B. 8 cm,16 cm C. 10 cm,14 cm D. 12 cm,14 cm
10、两条对角线AC与BD相交于点O,AB=6,△OCD的周长为23,则对角线AC+BD= (  ).
A.17 B.23 C.34 D.46
11、如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AC=,∠ABD=30°,∠AOD:∠AOB=3:1.
则□ABCD的面积为( ).
A. B. C. D.
12、如图,在□ABCD中,E在CD上,以BE为折痕把△BCE向上翻折,使点C落在AD上的点F处. 若△DEF的周长为10,△ABF的周长为28,则AF= .
13、如图,已知□ABCD的面积为56,则如图阴影部分的面积是 .
14、O为□ABCD的对角线交点,下列结论:①OA=AC;②OA+OB>2DC;③AC⊥BD;
④∠BAD=∠CDA;⑤ ABC+BAC=180°.正确的是 填上序号即可.
15、如图,已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O任作一直线分别交BA、DC的延长线于E、F,EF交BC于G,连接DG.
(1)求证:OE=OF;
(2)若EF⊥BD于点O,△DGC的周长为16,求□ABCD的周长.
16、在□ABCD中,对角线AC⊥BC于点C,∠B=30°,AE是∠BAD的平分线,交BC的延长线于点E,连接DE.
(1)求证:CD=EB;
(2)若AB=4,连接BD交AC于O.画出图形,并求BD的长.
17.先阅读下列材料,再解决问题:
在直角坐标系中,若点A,B的坐标分别为(x?,y?),(x?,y?),则线段AB的中点C的坐标为
(x0,y0),则有x0=,y0 =,此公式为线段AB的中点坐标公式.
应用:
例如点A,B的坐标分别为(2,3),(6,5),则有线段AB的中点C的坐标为( ).
∵x1=2,y1=3;x2=6,y2=5,
∴x0=,y0 =,
∴线段AB的中点C的坐标为(2,1).
解决问题:
(1)在图①,图②,图③中,给出□ABCD的顶点A,B,C,D的坐标(如图所示),写出图①,图②,图③中的顶点C的坐标,它们分别是(____,____),(____,____),(__,___);
(2)在图④中,给出□ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(___,____)
(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示)
(3)通过对图①,图②,图③,图④的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f),(如图4)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为______; 纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为______(不必证明).
18.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.连接DF交AC于点M.
求证:(1)DF=;
(2)DF⊥AC.
【中考链接】
19、(2018?衡阳)如图,□ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么□ABCD的周长是   .
20、(2018?十堰、随州)如图,已知□ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为   .
21、(2018?临沂)如图,在□ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则BD=   .
22、(2018?淮安)已知:如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F.求证:AE=CF.
参考答案
1、B 2、C 3、C 4、B 5、22 6、9,17 9、D 10、C 11、C
12、9 13、28 14、① ,② ,④ ,⑤ 19、6 20、14 21、
7、证明:连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
∵四边形EBFD是平行四边形,
∴OE=OF(平行四边形的对角线互相平分).
∴OAOE=OCOF,
即AE=CF.
8、解:∵四边形是ABCD平行四边形,AC=4,BD=6,
∴AO=AC=2,BO=BD=3.
∵AB=,∴AB2+AO2=BO2,
∴△ABO是直角三角形,∠BAO=90°.

在直角△ABC中
∵S△ABC=AB·AC=BC·AE,
∴×4=AE,
∴AE=.
15、(1)证明:∵□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠E=∠F.
在△AOE与△COF中,
∵,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF.
(2)∵EF⊥BD于点O,
∴直线EF是线段BD的垂直平分线.
∴BG=DG,
∵△DGC的周长为16
∴△DGC的周长=DC+CG+DG=DC+CG+BG=BC+CD=16,
∴□ABCD的周长=2(BC+CD)=32.
16、(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠B+∠BAD=180°,∠DAE=∠BEA,
∴∠BAD=150°
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
∴CD=BE;
(2)在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=4,
∴AC=2,BC=.
∵AC=2,
∴OC=AC=1,
在Rt△OBC中,
BO=.
BD=2BO=2.
17.解决问题:
解:(1)利用平行四边形的性质:对角线互相平.
即对角线BD的中点坐标也是对角线AC的中点坐标,得出图①,图②,图③中顶点C的坐标分别是:(7,3)、(e+c,d),(c+ea,d).
(2)连接AC与BD交于M,
根据平行四边形的对角线互相平分,点M是AC的中点,也是BD的中点,
由B(c,d),D(e,f).
则点M的坐标为
设点C的坐标为(x0,y0),
由中点坐标公式得,, x0=e+ca.
,y0=f+db.
∴C(e+ca,f+db).
(3)m=c+ea,n=d+fb或m+a=c+e,n+b=d+f.
18.证明:(1)∵四边形BCDE是平行四边形,
∴BE∥CD,BE=CD.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴BE=AE=CE=,
∴AE=CE=CD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∴在△DFB与△DCB中,
∵,
∴△DFB≌△DCB(SAS),
∴DF=DC,∴DF=;
(2)∵BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB.
∵BE∥CD,
∴∠BEC=∠DCE,
∴∠EBC+∠DCB=180°
∵由(1)知,△DFB≌△DCB,
∴∠DFB=∠DCB.
∵∠DFB +∠DFA=180°
∴∠DFA=∠EBC=∠ACB.
∵∠A+∠ACB=90°,
∴∠A+∠AFD=90°
∴DF⊥AC.
22、证明:∵□ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠EAC=∠FCO,
在△AOE和△COF中
∵,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF.