4.4平行四边形的判定定理 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD中有四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
4．如图，AB＝CD，BF＝ED，AE＝CF，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．如图，下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，AD＝BC B．OA＝OD，OB＝OC
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
6．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（ ） （提示：可以构造平行四边形）
A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜16
7．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知
甲的路线为：A→C→B；
乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；
丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．
若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＝乙＝丙 B．甲＜乙＜丙 C．乙＜丙＜甲 D．丙＜乙＜甲
8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
二．填空题（共6小题）
9．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为 秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
11．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据 ．
12．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF
⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是 （填序号）
13．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有 个．
14．在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1＝1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2＝1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为 ．
三．解答题（共4小题）
15．已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
16．如图，将?ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝2，AD＝3，∠A＝60°，求CE的长．
17．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
18．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC；
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图，若∠A＝∠C＝60°，请写出4个面积等于△ABC面积一半的几何图形．
4.4平行四边形的判定定理 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD中有四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD．从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
解：A：①②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
B：①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
C：①④，不能判断四边形ABCD成为平行四边形
D：②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD成为平行四边形
故选：C．
2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
解：由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
4．如图，AB＝CD，BF＝ED，AE＝CF，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
解：由AB＝CD，BF＝ED，AE＝CF可推出△BFC≌△DEA，△ABE≌△DCF，△ABD≌△CDB从而得到图中存在的平行线段有AB∥CD，AE∥CF，AD∥BC，共三组，故选C．
5．如图，下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AC＝BD，AD＝BC B．OA＝OD，OB＝OC
C．AD∥BC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC
解：根据平行四边形的判定，A、B、D均不符合是平行四边形的条件，C则能判定是平行四边形．
故选：C．
6．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（ ） （提示：可以构造平行四边形）
A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜16
解：延长AD至点E，使AD＝ED，连接BE、CE．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴CE＝AB（平行四边形的对边相等），
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
1＜AD＜7．
故选：B．
7．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知
甲的路线为：A→C→B；
乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；
丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．
若符号[→]表示[直线前进]，则根据图（三）、图（四）、图（五）的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲＝乙＝丙 B．甲＜乙＜丙 C．乙＜丙＜甲 D．丙＜乙＜甲
解：根据以上分析：所以图2可得AE＝BE，AD＝EF，DE＝BE，
∵AE＝BE＝AB，
∴AD＝EF＝AC，DE＝BE＝BC．
∴甲＝乙
图3与图1中，三个三角形相似，所以 ＝＝，＝＝，
∵AJ+BJ＝AB，
∴AI+JK＝AC，IJ+BK＝BC
∴甲＝丙．∴甲＝乙＝丙．
故选：A．
8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S?AEPG＝S?HCFP，
∴S?ABHG＝S?BCFE，
同理S?AEFD＝S?HCDG．
即：S?ABHG＝S?BCFE，S?AGPE＝S?HCFP，S?AEFD＝S?HCDG．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝ 7 cm时，四边形ABCD是平行四边形．
解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，
∵OB＝OD时，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：7．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，点E是BC的中点．点P、Q分别是边AD、BC上的两点，其中点P以每秒1个单位长度的速度从点A运动到点D后再返回点A，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发向点B运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t为 2或 秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，
①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t，
∴t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝4﹣t+4，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6，
∴4﹣t+4＝2t﹣6，
解得：t＝，
∴当运动时间t为2或秒时，以点A、P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或
11．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据 两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可） ．
解：∵两块相同的含有30°角的三角尺
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝90°，∠ABD＝∠BDC＝30°
∴AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
依据为：两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）
故答案为两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）
12．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF
⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是 ①②③ （填序号）
解：∵DE＝BF，
∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴FC＝EA，（故①正确）；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵FC＝EA，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，（故②正确）；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，（故③正确）；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）．
故正确的有3个．
故答案为①②③．
13．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有 6 个．
解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况：?ABC2D3、?ABC1D2、?AC1BD1、?AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．
故答案为：6．
14．在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1：BC1＝1：2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2：BC2＝1：2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为 a ．
解：∵A1C1∥AC，A1D1∥BC，
∴四边形A1C1CD1为平行四边形，
∴A1D1＝C1C＝a＝a，
同理，四边形A2C2C1D2为平行四边形，
∴A2D2＝C1C2＝a＝a，
……
∴线段AnDn＝，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
15．已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
16．如图，将?ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝2，AD＝3，∠A＝60°，求CE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，F是BC边的中点，
∴DE＝FC，DE∥FC，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：过点D作DN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∵AB＝2，AD＝3，
∴FC＝1.5，NC＝DC＝1，DN＝，
∴FN＝，则DF＝EC＝＝．
17．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（要求：先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）
已知：如图，四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD，同法可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC；
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图，若∠A＝∠C＝60°，请写出4个面积等于△ABC面积一半的几何图形．
证明：（1）∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∠ABD＝∠BDE，
∴AF＝DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝AF；
（2）∵∠A＝∠C＝60°，
∴AB＝BC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴BD是AC的中线，
∴△ABD的面积＝△BDC的面积＝△ABC的面积的一半，
∵DE∥AB，EF∥AC，
∴AF＝BF，BE＝EC，
∴四边形AFED的面积＝四边形FDCE的面积＝△ABC的面积的一半．
