4.5三角形的中位线 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ）
A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC
2．如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
3．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．与P点的位置有关
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝16，则HE等于（ ）
A．32 B．16 C．8 D．10
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．4
6．若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
7．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（ ）
A．50° B．25° C．15° D．20
8．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
二．填空题（共6小题）
9．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是 ．
10．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为 ．
11．如图，在△ABC中，AB2﹣BC2＝AC2，点D是边BC上一点，点E、F分别是AB、AD的中点．若AB＝12，AD＝10，EF＝2，则△CEF的周长是 ．
12．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于 cm．
13．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M、N分别是OA、AB的中点，在射线MN上有一动点P．当AP⊥PB时，点P的坐标是 ．
14．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．
16．“过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点”．根据这个结论解决问题：
如图，S△ABC＝32，AC＝8，BC＝10，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求NC的长．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
4.5三角形的中位线 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ）
A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC
解：∵CM＝MA，CNB，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵MN＝18m，
∴AB＝36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：∵AC＝CF，CD⊥AF，
∴D是AF是中点，
∵BC＝10，CF＝AC＝6，
∴BF＝10﹣6＝4，
∵E是AB中点，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED＝BF＝2，
故选：D．
3．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．与P点的位置有关
解：连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF＝AR，
∴当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD＝16，则HE等于（ ）
A．32 B．16 C．8 D．10
解：∵D，F分别为BC，AB边的中点，
∴AC＝2DF＝32，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC＝90°，又E为AC边的中点，
∴HE＝AC＝16，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．4
解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝3，
∴BF＝＝＝3．
故选：C．
6．若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34cm B．30cm C．29cm D．17cm
解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE＝AC＝5，
同理，DF＝BC＝8，FE＝AB＝4，
∴△DEF的周长＝4+5+8＝17（cm），
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（ ）
A．50° B．25° C．15° D．20
解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．
∴AB+AC＝30﹣BC＝18．
延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BN为∠ABC的角平分线，
∴∠CBN＝∠ABN，
∵BN⊥AG，
∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°，
∴∠BAN＝∠AGB，
∴AB＝BG，
∴AN＝GN，
同理AC＝CF，AM＝MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是 1 ．
解：∵DE∥BC，AD＝DB，
∴AE＝EC，
∴DE＝BC＝1，
故答案为1．
10．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为 或 ．
解：取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、MG．
如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，
由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，
在Rt△HNC中，∵HN2＝HC′2+NC′2，
∴（﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝．
如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，
在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，
∴GC′＝，
∵△HNC′∽△GC′M，
∴＝，
∴＝，
∴x＝．
如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．
此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．
综上所述，满足条件的线段CN的长为或．
故答案为为或．
11．如图，在△ABC中，AB2﹣BC2＝AC2，点D是边BC上一点，点E、F分别是AB、AD的中点．若AB＝12，AD＝10，EF＝2，则△CEF的周长是 13 ．
解：∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴∠ACB＝90°，
∵点E、F分别是AB、AD的中点，AB＝12，AD＝10，
∴CE＝AB＝6，CF＝AD＝5，
∵EF＝2，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝13，
故答案为：13．
12．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于 12 cm．
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝2.5cm，
同理，EF∥AB，EF＝AB＝3.5cm，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2×（2.5+3.5）＝12（cm），
故答案为：12．
13．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M、N分别是OA、AB的中点，在射线MN上有一动点P．当AP⊥PB时，点P的坐标是 （4，2）． ．
解：∵点A（0，4），点M是OA的中点，
∴OM＝2，
∵点M、N分别是OA、AB的中点，
∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，
∴PN＝AB＝2.5，
则PM＝PN+MN＝4，
∴点P的坐标是（4，2），
故答案为：（4，2）．
14．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
解：连接PQ．
∵BD＝BC＝3，BE＝BC＝，EC＝，
∵AQ＝QE，AP＝PC，
∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，
∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，
∴△PQG≌△HDE（AAS），
∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，
∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，
故答案为．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数．
解：∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝42°．
又∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝42°．
16．“过三角形一边的中点，且平行于另一边的直线，必过第三边的中点”．根据这个结论解决问题：
如图，S△ABC＝32，AC＝8，BC＝10，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求NC的长．
解：过点B作MN的平行线BD，
∵S△ABC＝32，
∴BD＝8，
∵点M为BC的中点，
∴MN＝4，
∵BC＝10，
∴CM＝5，
在Rt△MNC中，CM＝5，MN＝4，可得：CN＝．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点
∴BD＝EC
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点
∴FG∥BD，GF＝
FH∥EC，FH＝
∴FG＝FH；
（2）证明：由（1）FG∥BD
又∵∠A＝90°
∴FG⊥AC
∵FH∥EC
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A＝80°
∴∠FKC＝∠A＝80°
∵FH∥EC
∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°
