4.6反证法 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
2．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
3．下列各数中．说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．16
4．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
5．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
6．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝0，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣1
7．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
8．设a、b、c是互不相等的任意正数，，，，则x、y、z这三个数（ ）
A．都不大于2 B．至少有一个大于2
C．都不小于2 D．至少有一个小于2
二．填空题（共6小题）
9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设 成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
10．为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是 ．
11．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，证明过程大致分 步，第一步是假设 ．
12．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
13．写出命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题 ．
14．用反证法证明命题“已知：如图，L1与L2不平行，求证：∠1≠∠2”．证明时应假设 ．
三．解答题（共4小题）
15．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1 l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
18．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
4.6反证法 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
2．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
3．下列各数中．说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．16
解：A.9，
∵9不是偶数，∴不能作为假命题的反例；
故答案A错误；
B.12，
∵12是偶数，12是6的倍数，
∴不可以用来说明命题“任何偶数都是6的倍数”是假命题的反例，
故答案B错误；
C.18，
∵18是偶数，且是6的倍数，∴不能作为假命题的反例；
故答案C错误；
D.16，
∵16是偶数，不是6的倍数，∴能作为假命题的反例；
故答案D正确；
故选：D．
4．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
5．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c至多有一个是偶数
C．假设a、b、c都不是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
解：∵用反证法证明：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，
∴假设a、b、c都不是偶数．
故选：C．
6．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝0，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣1
解：∵a＝1，b＝﹣2时，a＝0，b＝﹣1时，a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，则a2＜b2，
∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，
只有a＝2，b＝﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．
故选：D．
7．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④①② B．③④②① C．①②③④ D．④③①②
解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；
所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：假设∠B≥90°；
那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°
所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；
所以因此假设不成立．∴∠B＜90°；
原题正确顺序为：③④①②．
故选：A．
8．设a、b、c是互不相等的任意正数，，，，则x、y、z这三个数（ ）
A．都不大于2 B．至少有一个大于2
C．都不小于2 D．至少有一个小于2
解：a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0，
x＝≥＝2×，
y＝≥＝2×，
z＝≥＝2×．
∵a＞b＞c＞0，
∴0＜＜1，0＜＜1，＞1，
∴z一定大于2，而x，y不确定．
故至少有一个大于2．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设 平行于同一条直线的两条直线相交 成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
解：根据反证法的第一步：从结论的反面出发假设命题不成立，
故用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，
第一个步骤是：先假设平行于同一条直线的两条直线相交．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线相交．
10．为说明命题“如果a＞b，那么”是假命题，你举出的反例是 如：当a＝2，b＝1时，a＞b，但 ．
解：当a＝2，b＝1时，满足命题的题设a＞b的要求，
而＝，＝1，显然，不支持原命题的结论，
故填当a＝2，b＝1时，a＞b，但．
11．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，证明过程大致分 3 步，第一步是假设 在一个三角形中，没有一个内角小于或等于60° ．
解：∵用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，
证明过程大致分3步，第一步是假设在一个三角形中，没有一个内角小于或等于60°．
故答案为：3，在一个三角形中，没有一个内角小于或等于60°．
12．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 三角形的三个内角都大于60° ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．
13．写出命题“等边三角形有一个角等于60°”的逆命题 有一个角等于60°的三角形是等边三角形 ．
解：逆命题为有一个角等于60°的三角形是等边三角形，
故答案为：有一个角等于60°的三角形是等边三角形．
14．用反证法证明命题“已知：如图，L1与L2不平行，求证：∠1≠∠2”．证明时应假设 ∠1＝∠2 ．
解：根据反证法的步骤，则可假设∠1＝∠2，
故答案为：∠1＝∠2．
三．解答题（共4小题）
15．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1 ∥ l2
证明：假设l1 不平行 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P ＝ 180° （三角形内角和定理）
所以∠1+∠2 ＜ 180°，这与 已知 矛盾，故 假设 不成立．
所以 l1∥l2 ．
证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
证明：假设PB≥PC．
把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，
∵PB≥PC，PB＝CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP＝AD，
∴∠APD＝∠ADP，
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB＝∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．
17．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．
证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；
那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；
这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．
18．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
证明：假设x1＝x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4a2b2﹣8a﹣8b＝4a2b2﹣4（2a+2b）＝0，
则a2b2＝2a+2b，a2b2＝2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2＝2（a+b），
∴＝a+b，＝，
＝+．
∵a、b是偶数，
∴位正偶数，
∴+为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a＝b＝2，
此时，a2b2＝16，而2（a+b）＝8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．
