4.1 多边形同步练习

中小学教育资源及组卷应用平台


绝密★启用前
浙教版八下同步练习第四章平行四边形
4.1 多边形
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
2．过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，这个正多边形的每一个内角的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
3．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（　　）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正三角形
5．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．260° C．180° D．140°
6．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（　　）

A．115° B．105° C．95° D．85°
7．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线条数为（　　）

A．77 B．90 C．65 D．104
8．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则++的值为（　　）
A．1 B． C． D．



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
10．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝　 　度．

11．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的内角和的度数是　 　．
12．要计算一个n边形的内角和，我们只须从此多边形的一个顶点出发画出所有的对角线将其分割为　 　个三角形，所以，如果某一多边形的内角和为1260°，这个多边形的边数是　 　．
13．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：　 　．（请用序号表示，只需写出两种即可）
14．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
16．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在，求出边数；如果不存在，请说明理由．
17．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　 　
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②　 　
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　 　；②　 　；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
18．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

19．已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝　 　（用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

20．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，∠BAM＝∠NBC，猜想∠BQM等于多少度，并证明你的猜想．
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…X，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　 　





参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°＝40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
【点评】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．
2．过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，这个正多边形的每一个内角的度数是（　　）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据过多边形的一个顶点作对角线分成的三角形的个数公式（n﹣2）求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，
∴这个多边形的边数为4+2＝6，
∴这个正多边形的每一个内角的度数＝×（6﹣2）×180°＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记公式并求出多边形的边数是解题的关键．
3．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和是2×360＝720度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）?180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）?180°＝360°×2，
解得n＝6．
∴此多边形的边数为6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．
4．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（　　）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正三角形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360即可作出判断．
【解答】解：正方形的每个内角是90°，正六边形每个内角是180°﹣360°÷6＝120°，
正十二边形每个内角是180°﹣360°÷12＝150°，
90°+120°+150°＝360°，
故选：A．
【点评】本题考查一种正多边形的镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
5．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．360° B．260° C．180° D．140°
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°．
故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
6．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（　　）

A．115° B．105° C．95° D．85°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，
∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．
7．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线条数为（　　）

A．77 B．90 C．65 D．104
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°＝2340°，
解得n＝15，
15﹣1＝14，
×14×（14﹣3）＝77．
故原多边形的对角线条数为77．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．同时考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）
8．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则++的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为：++＝360，
两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣＝2，
两边都除以2得，++＝．
故选：C．
【点评】解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．
二．填空题（共6小题）
9．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　八　．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）?180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝　36　度．

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
11．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的内角和的度数是　1080°　．
【分析】根据n边形对角线公式，求得n，再根据多边形内角和公式求得答案．
【解答】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得
n﹣2＝6．
解得n＝8，
∴这个多边形的内角和的度数为：（8﹣2）×180°＝1080°，
故答案为：1080°．
【点评】本题考查了多边形对角线和多边形内角和公式，n边形过一个顶点的所有对角线公式是（n﹣2）条．
12．要计算一个n边形的内角和，我们只须从此多边形的一个顶点出发画出所有的对角线将其分割为　n﹣2　个三角形，所以，如果某一多边形的内角和为1260°，这个多边形的边数是　9　．
【分析】设它的边数是n，根据多边形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：从此多边形的一个顶点出发画出所有的对角线将其分割为（n﹣2）个三角形
设它的边数是n，
由题意得，（n﹣2）×180°＝1260°，
解得n＝9．
故答案为：n﹣2，9．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）?180°是解题的关键．
13．用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360°．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：　①②③；②③⑥　．（请用序号表示，只需写出两种即可）
【分析】分别求得这七种不同的正多边形的内角，再判断用哪三种不同的正多边形能镶嵌平面即可．
【解答】解：①正三角形：180°÷3＝60°；
②正方形：（4﹣2）×180°÷4＝90°；
③正六边形：（6﹣2）×180°÷6＝120°；
④正八边形：（8﹣2）×180°÷8＝135°；
⑤正十边形：（10﹣2）×180°÷10＝144°；
⑥正十二边形：（12﹣2）×180°÷12＝150°；
⑦正十五边形：（15﹣2）×180°÷15＝156°；
∴这三种正多边形可以是正三角形、正六边形各一个，正方形2个，故①②③；正方形、正六边形和正十二边形各一个，故②③⑥．
故答案为：①②③；②③⑥．
【点评】本题考查了平面镶嵌的内容，还涉及了多边形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B＝200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是　175°　．

【分析】先根据∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，得出∠O1DC+∠O1CD＝（∠ADC+∠DCB），再根据∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，得出∠O2DC+∠O2CD＝（∠ADC+∠DCB），根据规律可得到∠O5DC+∠O5CD＝（∠ADC+∠DCB），最后将∠ADC+∠DCB＝160°代入计算即可．
【解答】解：如图所示，∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD＝（∠ADC+∠DCB），
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD＝（∠O1DC+∠O1CD）＝（∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O3DC+∠O3CD＝（∠O2DC+∠O2CD）＝（∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O5DC+∠O5CD＝（∠O4DC+∠O4CD）＝（∠ADC+∠DCB），
∴△CO5D中，∠CO5D＝180°﹣（∠O5DC+∠O5CD）＝180°﹣（∠ADC+∠DCB），
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC＝200°，
∴∠ADC+∠DCB＝160°，
∴∠CO5D＝180°﹣×160°＝180°﹣5°＝175°，
故答案为：175°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到∠CO5D与∠ADC+∠DCB之间的关系．
三．解答题（共6小题）
15．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
（n﹣2）＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．
16．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在，求出边数；如果不存在，请说明理由．
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷18°＝20，
因为360°，不是整数，
所以不存在一个内角度数为100度的正多边形．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
17．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：

多边形的顶点数 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①　n﹣3　
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②　n（n﹣3）　
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①　n﹣3　；②　n（n﹣3）　；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话，据此进行判断．
【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；

（2）∵3×6＝18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18﹣3）＝135（个）；

（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×（18﹣3）＝135．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）．
18．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）

【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2））∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180×5+180＝1080°．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
19．已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝　360°﹣x﹣y　（用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x＝y＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB＝y﹣x＝20°，解方程组即可得出x，y的值；②当x＝y时，可得∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，∠C＝y，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y．
故答案为：360°﹣x﹣y．

（2）DE⊥BF．
理由：如图1，∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠DGC＝∠BGE，
∴∠BEG＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF＝（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，
∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+（x+y）＝180°﹣y+x，
∴∠DFB＝y﹣x＝20°，
解方程组：，
可得：；
②当x＝y时，∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+x＝180°，
∴∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，
此时，∠DFB不存在．


【点评】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为360°，正确利用角平分线的定义是解题关键．
20．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，∠BAM＝∠NBC，猜想∠BQM等于多少度，并证明你的猜想．
（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…X，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 　90°　 　108°　 　120°　 … 　　


【分析】（1）从图中不难得出△ABM≌△BCN，利用对应角相等，外角和定理可求∠BQM＝60°；
（2）本题是变式拓展题，需要从证明△ABM≌△BCN中寻找解题方法．
【解答】解：（1）∠BQM＝60°．
证明：在△ABM和△BCN中．
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM＝∠CBN．
∴∠BQM＝∠BAM+∠ABN＝∠CBN+∠ABN＝∠ABC＝60°．

（2）理由同（1）：正方形∠BQM＝90°，正五边形∠BQM＝108°，正六边形∠BQM＝120°，正n边形∠BQM＝．
【点评】本题综合考查全等三角形、等边三角形和正多边形的有关知识．注意对三角形全等性质的运用及学会对问题的拓展．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/2/3 10:08:58；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261
















21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)