4.2 平行四边形及其性质同步练习

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浙教版八下同步练习第四章平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图，在?ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝40°，则∠MCN＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
4．在?ABCD中，∠ACB＝25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（　　）

A．135° B．120° C．115° D．100°
5．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（　　）
A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两只等腰直角三角形纸片的面积都为m，另两张直角三角形纸片的面积都为n，中间一张正方形纸片的面积为1，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4m B．4n C．4n+1 D．3m+4
7．如图，在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（　　）

A．4 B． C． D．30
8．如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝2、S2＝12、S3＝3，则S4的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是　 　．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，BE平分∠ABC，则DE＝　 　．

11．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　 　．

12．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为8，AB＝10，AC＝4，则平行四边形ABCD的周长等于　 　．
13．如图，已知?OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为　 　．

14．如图，在?ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB＝AE，连接DE并延长与AB的延长线交于点F，连接CF，若AB＝1cm，则△CEF面积是　 　cm2．

评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．

16．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，线段CE垂直对角线AC，连接AE，点F为AE中点，连接DF并延长至点G，使FG＝DF，连按BG．
（1）猜想BG与CE的关系，并证明你的猜想；
（2）求证：BG⊥AC．

17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．

18．如图，在?ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN．

19．（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1＝S2＝S3＝S4．请你说明理由；
（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　 　；
（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　 　．请你说明理由．

20．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个点位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．




参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【解答】解：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C、平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D、平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
2．如图，在?ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝40°，则∠MCN＝（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据平行四边形的性质得∠B＝∠D＝40°，∠BCD＝180°﹣∠B＝140°，再利用互余关系可求∠BCN＝∠DCM＝90°﹣∠B，用角的和差关系求∠MCN．
【解答】解：∵在?ABCD中，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°，
∵CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，
∴∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．
故选：A．
【点评】主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义．四边形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，△BCD的面积＝△ABD的面积，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴CF∥AE，△BCD的面积＝BD?CF，△ABD的面积＝BD?AE，
∴CF＝AE，①正确；
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，（故②正确）；
∵OB＝OD，
∴DE＝BF，③正确；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．（故④错误）．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形CFAE是平行四边形是解题关键．
4．在?ABCD中，∠ACB＝25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（　　）

A．135° B．120° C．115° D．100°
【分析】首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE＝115°，进而可得答案．
【解答】解：由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．
5．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（　　）
A．4＜x＜6 B．2＜x＜8 C．0＜x＜10 D．0＜x＜6
【分析】平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足，解得即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5
∴在△AOB中，OB﹣OA＜x＜OB+OA
即：2＜x＜8
故选：B．

【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，确定所求边所在三角形其他两边的长度，进而应用三边关系确定范围是解题的关键．
6．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两只等腰直角三角形纸片的面积都为m，另两张直角三角形纸片的面积都为n，中间一张正方形纸片的面积为1，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　）

A．4m B．4n C．4n+1 D．3m+4
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴S2＝S1﹣S3，
∴S3＝2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1＝4m，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
7．如图，在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（　　）

A．4 B． C． D．30
【分析】设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB＝5a，BC＝3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S＝5a?3x＝3b?5y．即ax＝by＝．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝b，B2C边上的高是 ?5y＝4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by＝s．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是 ．
则四边形A4B2C4D2的面积是S﹣﹣﹣﹣＝，即 ＝2，
解得S＝．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
8．如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1＝2、S2＝12、S3＝3，则S4的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．
【解答】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDF＝S，
由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积
∴S＝S△CBE+S△CDF+2+S4+3﹣12，
即S＝S+S+2+S4+3﹣12，
解得S4＝7，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积＝△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2．
二．填空题（共6小题）
9．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x﹣4）和16，则这个四边形的周长是　50　．
【分析】根据平行四边形的对边相等可解出x的值，继而可得出四边的长度，也就得出了这个四边形的周长．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴x+3＝16，x＝13，
∴AB＝16，BC＝9，CD＝16，DA＝9，
这个四边形的周长是16+16+9+9＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握平行四边形的对边相等，从而解出x的值．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，BE平分∠ABC，则DE＝　2　．

【分析】根据平行四边形性质求出AD∥BC，推出∠AEB＝∠CBE，然后由角平分线的定义知∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE即可求出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3，
∴DE＝5﹣3＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了平行四边形性质、三角形的角平分线性质，平行线的性质的应用，关键是推出AB＝AE，题目比较好，难度也不大．
11．如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是　14　．

【分析】首先过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I，则HI是平行四边形的高，求得平行四边形的面积，然后根据平行线的性质，以及角平分线的定义证得∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB，同理求得CF的长，则EF即可求得，根据△ADG∽△EFG，相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得HG和GI，求得△ADG和△EFG的面积，根据S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG求解．
【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．
则HI＝AB?sinB＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
同理，CF＝CD＝AB＝6，
∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△EFG，
∴＝＝＝2，
∴HG＝2，GI＝，
则S△ADG＝AD?HG＝×8×2＝8，
S△EFG＝EF?GI＝×4×＝2，
∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．
故答案是：14．

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定方法，等角对等边，以及相似三角形的判定与性质，求得HG和GI的长是关键．
12．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为8，AB＝10，AC＝4，则平行四边形ABCD的周长等于　40或24　．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图1所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为8，AB＝10，AC＝4，
∴EC＝＝4，AB＝CD＝10，
BE＝＝6，
∴AD＝BC＝10，
∴?ABCD的周长等于：40，
如图2所示：
∵在?ABCD中，BC边上的高为8，AB＝10，AC＝4，
∴EC＝＝4，AB＝CD＝10，
BE＝＝6，
∴BC＝6﹣4＝2，
∴?ABCD的周长等于：2+2+10+10＝12，
则?ABCD的周长等于40或24．
故答案为：40或24．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
13．如图，已知?OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为　5　．

【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故答案为：5．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
14．如图，在?ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAD，且AB＝AE，连接DE并延长与AB的延长线交于点F，连接CF，若AB＝1cm，则△CEF面积是　　cm2．

【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE＝AE，所以△ABE是等边三角形，由AB的长，可求出△ABE的面积，再根据△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），可得S△FCD＝S△ABC，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC＝S△DEC，即S△ABE＝S△CEF问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∵AB＝1cm，
∴△ABE的面积＝×1×＝cm2，
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF＝cm2．
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的面积关系，解题的关键是首先证明△ABE是等边三角形，求△CEF的面积转化为求△ABE的面积．
三．解答题（共6小题）
15．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．

【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE＝CF，则两边同时加上EF，得到AF＝CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；
（2）由全等可得到∠DFA＝∠BEC，所以得到DF∥EB．
【解答】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE．
又ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC．
∴∠DAF＝∠BCE．
在△ADF与△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．

（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA＝∠BEC．
∴DF∥EB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，线段CE垂直对角线AC，连接AE，点F为AE中点，连接DF并延长至点G，使FG＝DF，连按BG．
（1）猜想BG与CE的关系，并证明你的猜想；
（2）求证：BG⊥AC．

【分析】（1）结论：BG＝CE，BG∥CE．连接AG、DF、EG．易证四边形ADEG是平行四边形，推出AD＝EG，AD∥EG，由四边形ABCD是平行四边形，推出AD∥BC，AD＝BC，推出BC＝EG，BC∥EG，推出四边形BCEG是平行四边形，即可解决问题；
（2）由四边形BCEG是平行四边形，推出BG∥EC，由CE⊥AC，即可推出BG⊥AC；
【解答】（1）解：结论：BG＝CE，BG∥CE．
理由：连接AG、DF、EG．
∵DF＝FG，AF＝FE，
∴四边形ADEG是平行四边形，
∴AD＝EG，AD∥EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴BC＝EG，BC∥EG，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∴BG＝CE，BG∥CE．

（2）证明：∵四边形BCEG是平行四边形，
∴BG∥EC，
∵CE⊥AC，
∴BG⊥AC．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、两直线的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．

【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠1＝∠2，DF＝BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
∵BF＝DE，
∴BF+BD＝DE+BD，
即DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，在?ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN．

【分析】连接BD、MD、BN，根据平行四边形的性质证明OM＝ON，然后再证明四边形BNDM是平行四边形，从而可得BM∥DN．
【解答】证明：连接BD、MD、BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AM＝CN，
∴OA﹣AM＝OC﹣CN，
即OM＝ON，
∴四边形BNDM是平行四边形．
∴BM∥DN．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分得四边形是平行四边形．
19．（1）如图1，点P是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4则S1、S2、S3、S4的关系为S1＝S2＝S3＝S4．请你说明理由；
（2）变式1：如图2，点P是平行四边形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD．若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　S1+S3＝S2+S4　；
（3）变式2：如图3，点P是四边形ABCD对角线AC、BD的交点若S△PAB＝S1，S△PBC＝S2，S△PCD＝S3，S△PAD＝S4，则S1、S2、S3、S4的关系为　S1?S3＝S2?S4　．请你说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的对角相互相平分与如果三角形等底等高面积相同，得解；
（2）可以根据△ABD≌△CDB求得；
（3）由△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同与△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，可得即，即，所以，即S1?S3＝S2?S4．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AP＝CP，
又∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，
∴S△PAB＝S△PBC，
即S1＝S2，
同理可证S2＝S3S3＝S4，
∴S1＝S2＝S3＝S4；

（2）S1+S3＝S2+S4；

（3）S1?S3＝S2?S4；
理由：
∵△ABP中AP边上的高与△BCP中CP边上的高相同，
∴即，
∵△PAD中AP边上的高与△PCD中CP边上的高相同，
∴即，
∴，
∴S1?S3＝S2?S4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意：等底等高的三角形面积相等，等底的三角形的面积比等于高的比，等高的三角形面积的比等于底的比．
20．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，）．
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个点位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
（3）根据（2）中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO＝BC＝14，
∵点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，），
∴点C的坐标为（4，4），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2）．

（2）根据题意得：S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD，
∴×14×＝×t×4+（14﹣t）×t+×14×（4﹣t）
化简得：t2﹣2t＝0，
解得：t＝4，
即当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．

（3）由（2）知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，

根据平行四边形的性质，可知点M1的坐标为M1（18，0），M2（﹣10，0），M3（18，8）．
【点评】本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据S△PQC＝S?ABCD﹣S△OPC﹣S△APQ﹣S△BCQ＝S?ABCD准确列出方程式，求出满足题意的t值，有一定的难度，同时要注意细心运算．
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日期：2019/2/3 10:34:23；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261



















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