第4章 平行四边形单元试卷题（含解析）

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第4章 平行四边形单元试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人 得 分

一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（　　）

A．AD＝BC B．OA＝OC
C．AB＝CD D．∠ABC+∠BCD＝180°
2．如图所示，AB、CD、EF互相平行，AE、GI、BF互相平行，则图形中有（　　）个平行四边形．

A．5 B．7 C．8 D．9
3．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法：
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．
正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
4．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点，E、F分别是、BC、AD的中点，连接PE、PC、PD、PF．设平行四边形ABCD的面积为m，则S△PCE+S△PDF＝（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB＝6，AD＝4，则AE：EF：BE为（　　）

A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：2
6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH，其中正确的结论个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（　　）
A．11+ B．11﹣
C．11+或11﹣ D．11+或1+
8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
9．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③



第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人 得 分

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝　 　．
12．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则?ABCD的周长是　 　．

13．如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．

14．如图，在直角坐标系中，?OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过　 　秒该直线可将?OABC的面积平分．

15．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为　 　．

16．如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：
（1）∠DCF+∠D＝90°；（2）∠AEF+∠ECF＝90°；（3）S△BEC＝2S△CEF；（4）若∠B＝80°，则∠AEF＝50°．
其中一定成立的是　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上）

17．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣，1），则点C的坐标是　 　．

18．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动　 　秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

评卷人 得 分

三．解答题（共7小题，66分）
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：
（1）四边形AECF是平行四边形．
（2）EF与GH互相平分．

20．（8分）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．

21．（8分）证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．
求证：　 　．
证明：　 　．

22．（8分）如图，?ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

23．（10分）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝　 　．

25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．




参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（　　）

A．AD＝BC B．OA＝OC
C．AB＝CD D．∠ABC+∠BCD＝180°
【分析】根据平行四边形的判定可判断A；根据平行四边形的判定定理判断B即可；根据等腰梯形的等腰可以判断C；根据平行线的判定可判断D．
【解答】解：∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；
D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BAD＝180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，平行线的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
2．如图所示，AB、CD、EF互相平行，AE、GI、BF互相平行，则图形中有（　　）个平行四边形．

A．5 B．7 C．8 D．9
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出图中共有9个平行四边形．
【解答】解：图中有9个平行四边形，有四边形ACHG，四边形ECHI，四边形IHDF，四边形HGBD，四边形ACDB，四边形GIFB，四边形DCEF，四边形AEIG，四边形ABCD，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，题目主要用了平行四边形的判定定理之一：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
3．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法：
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．
正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．
中心对称的性质有①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，根据以上内容即可判断①②③，根据关于中心对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形即可判断④．
【解答】解：∵关于中心对称的两个图形是全等形，∴①正确；
∵关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴②正确；
∵如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，对称点与旋转中心的连线所成的角是一个平角，正好是旋转角，∴③正确；
∵关于中心对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形，∴④错误；
即正确的有①②③，
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．
（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．
4．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点，E、F分别是、BC、AD的中点，连接PE、PC、PD、PF．设平行四边形ABCD的面积为m，则S△PCE+S△PDF＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质可得出S△ADP+S△PBC＝m，再由S△PDF＝S△ADP，S△PCE＝S△PBC，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，S△DPC＝S△ADP+S△PBC＝m，
又∵E、F分别是、BC、AD的中点，
∴S△PDF＝S△ADP，S△PCE＝S△PBC，
故可得：S△PCE+S△PDF＝（S△ADP+S△PBC）＝m．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，解答本题要求我们能得出S△ADP+S△PBC＝m，S△PDF＝S△ADP，S△PCE＝S△PBC，这是解答本题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB＝6，AD＝4，则AE：EF：BE为（　　）

A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：2
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件进行求解．
【解答】解：∵平行四边形
∴∠CDE＝∠DEA
∵DE是∠ADC的平分线
∴∠CDE＝∠ADE
∴∠DEA＝∠ADE
∴AE＝AD＝4
∵F是AB的中点
∴AF＝AB＝3
∴EF＝AE﹣AF＝1，BE＝AB﹣AE＝2
∴AE：EF：BE＝4：1：2．
故选：A．
【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用以及角的等量代换、线段之间的关系解题．
6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH，其中正确的结论个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由题意可得，△BDE是等腰直角三角形，则DB＝BE；还可用AAS证明△BHE≌△DCE，则∠BHE＝∠C＝∠A，BH＝CD＝AB．故三个结论都正确．
【解答】解：①正确，
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴DB＝BE．
②③正确，
∵AD∥BC，
∴∠AGB＝∠HBE，
∴∠BHE＝∠DCE，
又∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴DE＝BE，
∴△BHE≌△DCE，
∴DC＝BH，
∴AB＝BH．
故选：D．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定，综合利用了勾股定理和直角三角形的性质．
7．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为（　　）
A．11+ B．11﹣
C．11+或11﹣ D．11+或1+
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：过点A作AE⊥BC垂足为E，过点A作AF⊥DC垂足为F，
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），
∴CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
即CE+CF＝1+，
②如图：过点A作AF⊥DC垂足为F，过点A作AE⊥BC垂足为E，
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，
由①知：CE＝6+，CF＝5+3，
∴CE+CF＝11+．
故选：D．


【点评】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论啊．
8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB?AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠EAD＝60°推出△ABE是等边三角形，由于AB＝BC，得到AE＝BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD＝30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S?ABCD＝AB?AC，故②正确，根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE＝AB，于是得到OE＝BC，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD＝AB?AC，故②正确，
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，
∴OE＝AB，
∴OE＝BC，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
10．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l＝2（a+2b+c），a＝b+d，b＝c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
【解答】解：如图1，，
设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，
则l＝2（a+2b+c），
根据图示，可得

（1）﹣（2），可得：a﹣b＝b﹣c，
∴2b＝a+c，
∴l＝2（a+2b+c）＝2×2（a+c）＝4（a+c），或l＝2（a+2b+c）＝2×4b＝8b，
∴2（a+c）＝，4b＝，
∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，的值一定，
∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
二．填空题（共8小题）
11．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝　100°　．
【分析】根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故答案是：100°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．
12．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则?ABCD的周长是　20　．

【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出?ABCD的周长．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵在?ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴?ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
13．如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为　41　cm2．

【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCQ，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
【解答】解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，
∴S四边形EPFQ＝41cm2，
故答案为：41．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
14．如图，在直角坐标系中，?OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向右平移，经过　3　秒该直线可将?OABC的面积平分．

【分析】若该直线可将?OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设M为平行四边形ABCD的对称中心，利用O和B的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且点B（6，2），
∴平行四边形ABCD的对称中心M的坐标为（3，1），
∵直线的表达式为y＝2x+1，
设直线平移后将?OABC平分时的直线方程为y＝2x+b，
将（3，1）带入y＝2x+b得b＝﹣5，即平分时的直线方程为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x﹣5和x轴的交点坐标为（，0），
∵直线y＝2x+1和x轴交点坐标为（﹣，0），
∴直线运动的距离为+＝3，
∴经过3秒的时间直线可将?OABC的面积平分．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将?OABC的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心．
15．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则阴影部分的面积为　3　．

【分析】可由S△PAB+S△PCD＝S?ABCD＝S△ACD，再通过面积之间的转化，进而得出结论．
【解答】解：∵S△PAB+S△PCD＝S?ABCD＝S△ACD，
∴S△ACD﹣S△PCD＝S△PAB，
则S△PAC＝S△ACD﹣S△PCD﹣S△PAD，
＝S△PAB﹣S△PAD，
＝5﹣2，
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平行四边形内三角形面积的求解问题，应熟练掌握此类问题．
16．如图，在?ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：
（1）∠DCF+∠D＝90°；（2）∠AEF+∠ECF＝90°；（3）S△BEC＝2S△CEF；（4）若∠B＝80°，则∠AEF＝50°．
其中一定成立的是　（1）（2）（4）　（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF＝MF，∠AEF＝∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF＝EM＝EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC＝∠ECF，得出（2）正确；
证出S△EFC＝S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．
【解答】解：（1）∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，∠BCD+∠D＝180°，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，
∴∠DCF+∠D＝90°，
故（1）正确；
（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EM＝EF，
∴∠FEC＝∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF＝∠AEF+∠FEC＝∠AEC＝90°，
故（2）正确；
（3）∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故（3）错误；
（4）∵∠B＝80°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BCF＝∠BCD＝50°，
∴∠FEC＝∠ECF＝50°﹣10°＝40°，
∴∠AEF＝90°﹣40°＝50°，
故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．
17．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣，1），则点C的坐标是　（，﹣1）　．

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知点A、C关于点O对称，再根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于坐标原点O，
∴点A、C关于原点O对称，
∵点A的坐标为（﹣，1），
∴点C的坐标为（，﹣1）．
故答案为：（，﹣1）．
【点评】本题考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，关于原点对称的点的坐标特征，比较简单．
18．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动　3或5　秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，又由∠FBM＝∠CBM，即可证得FB＝FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠FBM＝∠CBM，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD＝12cm，
∵AF＝6cm，
∴AD＝18cm，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝AD＝9cm，
要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，
设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，
解得：t＝3或t＝5．
故答案为：3或5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：
（1）四边形AECF是平行四边形．
（2）EF与GH互相平分．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由AE＝CF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AF∥CE，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BF∥DE，证出四边形EGFH是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
20．如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．

【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；
（2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．

（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，

∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝，
∴，DF＝2DE．
在Rt△EMB中，EM＝BE?sin∠ABC＝2，
在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，
∴DE＝2EM＝4，
∴DF＝2DE＝8．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．
求证：　OA＝OF，OD＝OE　．
证明：　连接DF、EF，
∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF∥AC，
同理可得：EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，
即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分　．

【分析】利用文字说明转化为几何图形证明，结合平行四边形的判定与性质得出答案．
【解答】求证：OA＝OF，OD＝OE，
证明：连接DF、EF，
∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF∥AC，
同理可得：EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴OA＝OF，OD＝OE，
即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，正确应用三角形中位线定理是解题关键．
22．如图，?ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【分析】只要证明OE＝OF，OB＝OD即可解决问题．
【解答】证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即 EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形．

【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝3，
∴EF＝2OM＝6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG＝EF＝6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
24．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝　2或10　．

【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FDB＝∠B
∴DF＝BF
∴DE+DF＝AB＝AC；

（2）图②中：AC+DE＝DF．
图③中：AC+DF＝DE．

（3）当如图①的情况，DF＝AC﹣DE＝6﹣4＝2；
当如图②的情况，DF＝AC+DE＝6+4＝10．
故答案是：2或10．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）先根据题意用t表示出CQ，AP，AD的长，再根据勾股定理得出PD的长，由S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD即可得出t的值；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝t，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．
又∵PD⊥AC，
∴PD＝＝t．
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD，
∴24﹣（×2t×（6﹣t）+t×t）＝12，（t﹣9）2＝45，解得t＝9±3，
t＝9+3（不合题意，舍去），
∴当t＝9﹣3时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；

（2）存在，t＝2.4（秒）．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：t＝8﹣2t，
解得t＝2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t＝2.4秒．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的对边平行且相等是解答此题的关键．
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