第5章 特殊平行四边形单元测试题（含解析）

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第5章 特殊平行四边形单元试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列命题错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
2．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28° B．52° C．62° D．72°
7．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH＝AB；②∠ABG＝∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD＝S四边形GHCE；⑤CF＝BD．正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM＝CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE＝3：2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长是　 　．

12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　 　．

13．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为　 　cm2．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是　 　．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝　 　．

16．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，“等积线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如圆的直径就是它的“等积线段”）． 已知正方形的边长为2，则它的“等积线段”长x的取值范围是　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　．

18．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF； ③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．其中正确结论的序号是　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共7小题，66分）
19．（8分）如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．
（1）DE和BF相等吗？请说明理由．
（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．

20．（8分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

21．（8分）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积．

22．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO＝，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

23．（10分）已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
求证：（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH．

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

25．（12分）如图，已知菱形ABCD，点P、Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ．
（1）如图1，当∠ABC＝90°，点P、Q在线段BD上时，求证：BP+BQ＝BA；
（2）如图2，当∠ABC＝60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP、BQ、BA之间的数量关系，并说明理由．




参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列命题错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．
【解答】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；
平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
2．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD＝，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2，
∴OD＝，
∴直线l∥AC并且到D的距离为，
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．
3．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．
【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．
则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，
∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°，
∴∠PAF＝∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选：B．

【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝是解此题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28° B．52° C．62° D．72°
【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
7．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH＝AB；②∠ABG＝∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD＝S四边形GHCE；⑤CF＝BD．正确的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据BC＝2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE＝BH＝HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD＝90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．
【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，∴BC＝2EH，又BC＝2AB，∴EH＝AB，正确；
②由①可知，BH＝HE∴∠EBH＝∠BEH，又∠ABG+∠EBH＝∠BEH+∠HEC＝90°，∴∠ABG＝∠HEC，正确；
③由AB＝BH，∠ABH＝90°，得∠BAG＝45°，同理：∠DHC＝45°，∴∠EHC＞∠DHC＝45°，∴△ABG≌△HEC，错误；
④作AM⊥BD，则AM＝CE，△AMD≌△CEB，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HGB，
∴＝2，
即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，
根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，
即S△GAD≠S四边形GHCE，∴④错误
⑤∠ECH＝∠CHF+∠F＝45°+∠F，又∠ECH＝∠CDE＝∠BAO，∠BAO＝∠BAH+∠HAC，∴∠F＝∠HAC，∴CF＝BD，正确．
正确的有三个．
故选：B．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．本题综合性较强，难度比较大．
8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM＝CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE＝3：2．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④根据三角函数求得MB＝，OF＝，根据OE＝OF即可求得MB：OE＝3：2．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中

∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM；
∴①正确，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，
∴MB＝，OF＝，
∵OE＝OF，
∴MB：OE＝3：2，
∴④正确；
故选：C．

【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
9．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB＝∠APD＝135°，然后求出∠BEP＝90°，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE列式计算即可判断出④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF＝45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为，判断出②错误．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP＝90°，
又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE＝AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；

∵AE＝AP＝1，
∴PE＝AE＝，
在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，
∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，
＝×1×1+××2，
＝0.5+，故④正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝×2＝，
即点B到直线AE的距离为，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：A．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解题的关键，也是本题的难点．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长是　8　．

【分析】根据矩形的性质求出OA＝OB，得到等边三角形AOB，求出OA，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝BD＝2×4＝8，
故答案为：8
【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能求出OA＝OB＝AB是解此题的关键．
12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为　20　．

【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
13．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为　24　cm2．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半
即：6×8÷2＝24cm2．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是　3　．

【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE＝EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE＝CD×AF，∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴AE＝AF，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵AB＝4，
∴AE＝AB×sin60°＝2，
∴EF＝AE＝2，
过A作AM⊥EF，
∴AM＝AE?sin60°＝3，
∴△AEF的面积是：EF?AM＝×2×3＝3．
故答案为：3．

【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则CE＝　4　．

【分析】根据正方形的性质得到∠ACD＝45°，求出∠E，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠E＝∠ACD﹣∠CAE＝30°，
∴AE＝2AD＝8，
∴DE＝＝4，
∴CE＝DE﹣DC＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理，掌握正方形的对角线平分一组对角是解题的关键．
16．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，“等积线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如圆的直径就是它的“等积线段”）． 已知正方形的边长为2，则它的“等积线段”长x的取值范围是　2≤x≤2　．
【分析】由题目所提供的材料信息可知当正方形的“等积线段”和边平行时最小，当“等积线段”为正方形的对角线时最大，由此可得问题答案．
【解答】解：由“等积线段”的定义可知：当正方形的“等积线段”和边平行时最小，当“等积线段”为正方形的对角线时最大，
所以2≤x≤2，
故答案为：2≤x≤2．
【点评】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，读懂题意，弄明白”等积线段”的定义，并准确判断出最短与最长的“等积线段”是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　（2，4）或（3，4）或（8，4）　．

【分析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．
【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；

（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；

（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
【点评】本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．
18．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF； ③△APD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC．其中正确结论的序号是　①②④⑤　．

【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP＝EF；④∠PFE＝∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得⑤DP＝EC．
【解答】证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP＝EP，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP，
同理，得
PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP＝EF；
∠PFE＝∠GAP
∴④∠PFE＝∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴⑤DP＝EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选B．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
三．解答题（共7小题）
19．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．
（1）DE和BF相等吗？请说明理由．
（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．

【分析】（1）设AB、EF相交于G，连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得BD⊥AC，然后求出EG∥BD，判断出EG是△ABD的中位线，从而求出AG＝BG，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AEG＝∠BFG，利用“角角边”证明△AEG和△BFG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，从而求出DE＝BF；
（2）根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形解答．
【解答】解：（1）DE＝BF．
理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EG∥BD，
∵E是AD中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴AG＝BG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
在△AEG和△BFG中，，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE＝BF，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∴DE＝BF；

（2）四边形AFBE是平行四边形．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
又∵AE＝BF，
∴四边形AFBE是平行四边形．

【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，作辅助线构造出全等三角形的是解题的关键，也是本题的难点．
20．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE＝180×＝45°，易得∠ABE＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
21．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积．

【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
（2）首先证明AD＝DF，求出AD即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝3，DE＝4，
∴AD＝＝5，
∴矩形的面积为20．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
22．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO＝，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得AC的长，再证得EO是△AFC的中位线，从而得EO、AC的长，知道AC的长后可求BC；
（2）连接FN，根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF＝∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出BF＝BN，进而证得△CFN∽△EOM，根据相似三角形的性质，可得EM与CN的数量关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CA＝＝BC．
∵CF＝CA，CE是∠ACF的角平分线，
∴E是AF的中点．
∵E、O分别是AF、AC的中点，
∴EO∥BC，且EO＝CF，
∵EO＝，
∴CA＝CF＝2，
∴BC＝2．
∴正方形ABCD的边长为2；

（2）EM＝CN．
证明：连接FN，
∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN＝∠CBN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNB，
∴∠BAF＝∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴BF＝BN，
∴∠CFN＝∠FNB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∵EO∥BC，
∴∠EOM＝∠DBC＝45°，∠OEM＝∠FCN，
∴∠CFN＝∠EOM，
∴△CFN∽△EOM，
∴，
∵EO＝CF，
∴EM＝CN．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
求证：（1）∠DAG＝∠DCG；
（2）GC⊥CH．

【分析】（1）要证明∠DAG＝∠DCG，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ADG与△CDG全等得到，全等的方法是：由ABCD为正方形，得到AD与DC相等，∠ADB与∠CDB相等，再加上公共边DG，利用“SAS”得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；
（2）要证明GC与CH垂直，需证∠GCH＝90°，即∠FCH+∠DCG＝90°，方法是：由正方形的对边AD与BE平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF与∠E相等，由（1）得到的∠DAG与∠DCG相等，等量代换得到∠E与∠DCG相等，再由CH为直角三角形ECF斜边上的中线，得到CH与HE相等都等于斜边EF的一半，根据“等边对等角”得到∠E与∠HCE相等，又∠FCH+∠DCG等于90°，等量代换得到∠FCH+∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°，得证．
【解答】证明：（1）∵ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
又DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG；

（2）∵ABCD为正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAG＝∠E，又∠DAG＝∠DCG，
∴∠E＝∠DCG，
∵H为直角三角形CEF斜边EF边的中点，
∴CH＝HE＝EF，
∴∠HCE＝∠E，
∴∠DCG＝∠HCE，
又∠FCH+∠HCE＝90°，
∴∠FCH+∠DCG＝90°，即∠GCH＝90°，
∴GC⊥CH．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，是一道证明题．要求学生熟练掌握正方形的性质：四条边都相等，四个角相等都为直角，对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．

（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，已知菱形ABCD，点P、Q在直线BD上，点P在点Q左侧，AP∥CQ．
（1）如图1，当∠ABC＝90°，点P、Q在线段BD上时，求证：BP+BQ＝BA；
（2）如图2，当∠ABC＝60°，点P在线段DB的延长线上时，试探究BP、BQ、BA之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABP≌CDQ即可，证明菱形ABCD为正方形，得到BD＝BA，得到答案；
（2）连接AC交BD于点H，证明BH＝BA，又BP＝DQ，得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABP＝∠CDQ．
∵AP∥CQ，
∴∠APD＝∠CQB．
∴∠APB＝∠CQD．
在△ABP和CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（AAS）．
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°．
∴在Rt△ABD中，BD＝＝BA，
由△ABP≌△CDQ，则BP＝DQ，
∴BP+BQ＝DQ+BQ＝BD．
∴BP+BQ＝BA．

（2）BP、BQ、BA之间的数量关系是BQ﹣BP＝BA．
理由如下：如图2，连接AC交BD于点H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝30°，∠AHB＝90°，BD＝2BH．
∴BH＝AB?cos∠ABH＝BA，
由（1）得 BP＝DQ，
∴BQ﹣BP＝BQ﹣DQ＝BD＝BA．

【点评】本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直和锐角三角函数的概念是解题的关键，注意确定三角形的性质和判定的灵活运用．
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