第4章 平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（3分）下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4．（3分）十边形的外角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．360° D．180°
5．（3分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
6．（3分）用形状，大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．4
8．（3分）在△ABC内取一点O，连接AO、BO、CO，它们的中点是D、E、F．若DE＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
10．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则AB+BC的值为（ ）
A．+ B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在等边三角形、角、平行四边形、圆这些图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ．
12．（4分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 ．
13．（4分）一个四边形截去一个角后所形成的多边形为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
15．（4分）如果正n边形的一个内角等于与其相邻外角的2倍，那么n的值为 ．
16．（4分）如图，在?ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动 秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
18．（6分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）求证：BE∥DF；
（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
20．（8分）在14×9的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A′B′C′的位置如图所示；
（1）请说明△ABC与△A′B′C′的位置关系；
（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为 ；
（3）求线段CC′的长．
21．（8分）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：
（1）△ADF≌△DEC．
（2）BE＝EF．
22．（10分）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
23．（10分）（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成 三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成 三角形，……，则n边形可以分割成 个三角形．
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为
（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成 三角形．
24．（10分）已知：如图，在?ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求四边形DEBF的周长和面积．
第4章 平行四边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：由题意得：n﹣3＝8，解得n＝11，
故选：D．
2．（3分）下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
3．（3分）?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）十边形的外角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．360° D．180°
解：∵n边形的外角和都等于360°（n≥3）
∴十边形的外角和等于360°
故选：C．
5．（3分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（ ）
A．小于60° B．等于60°
C．大于60° D．大于或等于60°
解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
6．（3分）用形状，大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正五边形每个内角是：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．4
解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝3，
∴BF＝＝＝3．
故选：C．
8．（3分）在△ABC内取一点O，连接AO、BO、CO，它们的中点是D、E、F．若DE＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
解：∵AD＝OD，BE＝OE，
∴DE是△OAB的中位线，
∴AB＝2DE＝4，
故选：C．
9．（3分）下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则AB+BC的值为（ ）
A．+ B．3 C．4 D．5
解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴AB＝＝，
过C作CE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（1，2），
∴CE＝1，OE＝2，
∴BE＝1，
∴BC＝＝，
∴AB+BC＝+，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在等边三角形、角、平行四边形、圆这些图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 平行四边形 ．
解：“等边三角形”是轴对称图形也是中心对称图形，
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
圆是轴对称图形也是中心对称图形，
角星轴对称图形，
故答案为：平行四边形．
12．（4分）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 两直线平行，同位角不相等 ．
解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设：两直线平行，同位角不相等．
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
13．（4分）一个四边形截去一个角后所形成的多边形为 三角形或四边形或五边形 ．
解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
，
故答案为：三角形或四边形或五边形．
14．（4分）如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
解：连接PQ．
∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，
∵AQ＝QE，AP＝PC，
∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，
∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，
∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，
故答案为．
15．（4分）如果正n边形的一个内角等于与其相邻外角的2倍，那么n的值为 6 ．
解：设外角是x度，则内角是2x度，根据题意，得
x+2x＝180，
解得x＝60，
所以n＝360÷60＝6．
故答案为：6．
16．（4分）如图，在?ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动 3或5 秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠FBM＝∠CBM，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD＝12cm，
∵AF＝6cm，
∴AD＝18cm，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝AD＝9cm，
要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，
设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，
解得：t＝3或t＝5．
故答案为：3或5．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
证明：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
18．（6分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．
解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∴AF垂直平分CG，
∴AC＝AG，
GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
（1）求证：BE∥DF；
（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．
（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，
∴∠1+∠3＝（∠ABC+∠ADC）＝×180°＝90°，
又∠1+∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB，
∴BE∥DF；
（2）解：∵∠ABC＝56°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF＝∠ADC＝62°．
20．（8分）在14×9的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△A′B′C′的位置如图所示；
（1）请说明△ABC与△A′B′C′的位置关系；
（2）若点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为 （7，﹣2） ；
（3）求线段CC′的长．
解：（1）△ABC与△A′B′C′成中心对称；
（2）根据点C的坐标为（0，0），则点B′的坐标为：（7，﹣2）；
（3）线段CC′的长为：＝2．
21．（8分）在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B＝∠AFE，AB＝AF．求证：
（1）△ADF≌△DEC．
（2）BE＝EF．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠B＝∠AFE，
∴∠AFD＝∠C，
∵AB＝AF，
∴AF＝DC，
在△ADF和△DEC中，
∴△ADF≌△DEC（AAS）；
（2）证明：∵△ADF≌△DEC，
∴AD＝DE，DF＝EC，
又∵AD＝BC，
∴BC＝DE，
∴BC﹣EC＝DE﹣DF，
即BE＝EF．
22．（10分）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形．
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2．
23．（10分）（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成 3 三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成 4 三角形，……，则n边形可以分割成 （n﹣2） 个三角形．
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为 2020
（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成 （n﹣1） 三角形．
解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．
若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．
故答案为：3，4，（n﹣2）；
（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，
那么此多边形的边数为：2018+2＝2020；
故答案为：2020；
（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，
则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．
故答案为：（n﹣1）．
24．（10分）已知：如图，在?ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求四边形DEBF的周长和面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝2，
∴四边形DEBF的周长＝2（BE+DE）＝2（4+2）＝12，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴DG＝ADcos∠A＝4×＝2，
∴四边形DEBF的面积＝BE×DG＝2×2＝4．
