浙教版九年级数学下第一章解直角三角形同步练习
3 解直角三角形（一）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．设圆心角的余弦值为，则同弧上的圆周角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，则tan∠BAD′等于（ ）
A．1 B． C． D．
3. 等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．
A. B. C. D.
4．以下不能构成三角形三边长的数组是 ( )
A.（1，，2） B.（，，） C.（3，4，5） D.（32，42，52）
5．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝，且, AB ＝ 4, 则AD的长为（ ）．
A.3 B. C. D.
6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )
A．2 B．8 C．2 D．4
7．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为( )
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
8．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为( )
A．1 B. C．3 D.
9．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角α，那么重叠部分(阴影部分)的面积是( )
A．1 B. C. D.
10．如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tanB＝，AC上有一点E，满足AE∶CE＝2∶3，则tan∠ADE的值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，c＝8，则∠B＝______，a＝____，b＝______.
12. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)．AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米．
13．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝ .
14．校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米.
15．已知一个正三边形和一个正六边形的面积相等，则它们的边长比_______.
16．设圆心角的余弦值为，则同弧上的圆周角的正切值为__________.
17．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC=____________．
18. 如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB为_______m．(结果保留根号)
评卷人
得 分
三．解答题（共7小题， 46分）
19.(6分) 根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°；
20．(6分) 如图，在一次课外实践活动中，同学们要测某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC＝30 m，BC＝70 m，∠CAB＝120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．
21. (6分) 某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走了10米，则他现在站在了多少米的高处？
22．(6分) 已知圆O的内接正九边形的边长为2，求这个正九边形的面积（用三角函数式表示）
23. (6分) 已知海上的甲船在乙船的正南方向，甲船的40海里/时的速度向北偏东60°方向航行，同时乙船沿正东方向以25海里/时的速度航行，问两船在航行途中会否相撞？为什么？
24．(8分)小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
25. (8分) 如图所示，港口A的北偏东60°方向有一个灯塔B，一船上午11时从A出发向正南方向航行，正午12时到达点C处，此时B处恰位于船的北偏东45°方向，则下午什么时间灯塔B位于船的北偏东30°方向？
参考答案
1-5 BBADB
6-10 AADBB
11. 60°，4, 4
12. 40
13.
14. 13
15.
16. ，
17.
18. 30
19. 解：(1)∵sinA＝＝，∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.∴∠A＝∠B＝45°，b＝a＝5
(2)∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.∵sinA＝，∴a＝c·sinA＝4·sin60°＝6.∴b＝＝2
20. 解：50 m 提示：延长BA，过点C作CD⊥BA于D，则CD＝15 m，BD＝65 m
21. 解：设他现在站在h米高处，则
∵，∴
∴，∴（米）
22. 解：显然，，其中，n=9
故只需求出即可，但
∴应先求出圆O的半径R，注意到cos20°是个近似值
故计算的中间步骤尽可能用原始数据，只在最后结果中取近似值，以使结果的精确度较高一些。
∵
∴
又
∴
∴
23. 解：显然，若两船相撞，则它们的航线有交点，不妨设交点为C，则两船从出发地到达点C的时间应相等。
设甲、乙两船同时从B、A出发，到达点C的时间分别为t1，t2
则，，
又
∴
但，∴
∴甲船比乙船先到达点C
∴两船不会在航行中相撞
24. 解：延长OA交BC于点D，∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°，∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180－60°－30°＝90°，在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝×＝米，∴CD＝2AD＝3米，又△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5米，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米
25. 解：设EB=b，EA=a，则AB=2a，EC=BE=b
AC长恰为船1小时的行程，设为船速v，则CD长为船行t小时的行程
∴AB=2a，
又
∴解得
但 ① 且
∴解得 ②
∴由①，②解得
代入中，得（小时）≈1点44分
浙教版九年级数学下第一章解直角三角形同步练习
3 解直角三角形（三）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知A，B两点，若A对B的仰角为α，则B对A的俯角为( )
A．α B．90°－α C．180°－α D．90°＋α
2. 等腰三角形的底角为15°，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（? ? ）
A.?????B.???????C.???????D.? a
3. 小明同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明同学离A地 ( )
A．150 m B．50 m C．100 m D．100 m
4．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/h的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是( )
A．7 km B．14 km C．7 km D．14 km
5．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为( )
A．500m B．2000m C．1000m D．1000m
6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )
A. B. C. D．h·cosα
7．如图，斜坡AB与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )
A．斜坡AB的坡角为α B．斜坡AB的坡度为
C．斜坡AB的坡度为tanα D．斜坡AB的坡度为
8．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，由此可知，B，C两地相距( )m.
A. 100 B. 150 C.200 D. 400
9．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝( )米(结果可保留根号)．
A. (7＋21) B. (6＋21) C. (21＋4) D. (21＋6)
10．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为( )
A．4km B．2km C．2km D．(＋1)km
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．
12. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为 ____ .
13. 如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC＝120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是 ____ m
14. 如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角，则该山坡的高BC的长为_________米.
15．如图，甲从A点出发向北偏东60°方向走到点C，乙从点A出发向南偏西25°方向走到点B，则∠BAC的度数是________．
16．如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受西风的影响，以每分钟30米的速度沿与地面成60°角的方向飞行，20分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则A、B两点间的距离为______________米．
17. 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________________m（结果保留根号）．
18. 如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B的俯角为30°，则A，B两点间的距离为____________米．
评卷人
得 分
三．解答题（共7小题， 46分）
19.(6分) .如图，某兴趣小组用高为1.6米的仪器测量塔CD的高度．由距塔CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α．测得A，B之间的距离为10米，tanα=1.6，tanβ=1.2，试求塔CD的大约高度．
20．(6分) 如图，小明在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请你求出旗杆AB的高度．(保留根式)
21. (6分) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达所在的B处距离灯塔P有多远？(结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可)
22．(6分) 科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地之间的距离．
23. (6分) 南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
24．(8分) 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
25. (8分) 如图1－3－17所示，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100 m．当气球沿与BA平行地方向飘移10 s后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°.
(1)求气球的高度(保留根式)；
(2)求气球飘移的平均速度(保留根式)．
参考答案
1-5 ADDAD
6-10 CBCAD
11. cm2
12. 12
13.
14.100
15. 145°
16. 600
17. 10
18. 750
19. 解：延长EF与CD交于点M，
设DM=x米
由题意知，EF=EM﹣FM=AB=10，
在Rt△DMF中， ?=tanα=1.6，
在Rt△DME中， ?=tanβ=1.2，
∴FM= ，EM= ，
∴EM﹣FM= ﹣ =10
解得：x=48，
∴CD=DM+1.6=49.6米，
答：塔CD的高度大约是49.6米
20. 解：设BE为x米，在Rt△BED中，tan∠BDE＝，即＝，∴DE＝BE，在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，即＝，∴CE＝BE，∵CD＝ED－EC，∴BE－BE＝10，∴EB＝5，∴AB＝BE＋AE＝5＋1，∴旗杆AB的高度为(5＋1)米
21. 解：过点P作PD⊥AB于点D，由题意知∠DPB＝45°，在Rt△PBD中，sin45°＝，∴PB＝PD.∵点A在P的北偏东65°方向，∠APD＝25°，在Rt△PAD中，cos25°＝，∴PD＝PAcos25°＝80cos25°，∴PB＝80cos25°
22. 解：如图，由题意知：AB＝4千米，∠CAB＝60°，∠CBD＝45°，AC∥BD，
过点B作BE⊥AC于点E，
∴∠CEB＝90°，∠EBA＝90°－∠CAB＝30°，∠CBE＝90°－∠CBD＝45°，
∴BE＝AB·cos30°＝4×＝2 (千米)，
∴BC＝BE＝×2 ＝2 (千米)，
即B，C两地之间的距离为2 千米．
23. 解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°.设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝x，又∵BC＝20(1＋)，CD＋BD＝BC，即x＋x＝20(1＋)，解得：x＝20，∴AC＝x＝20(海里)．答：A、C之间的距离为20海里．
24. 解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度即为A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
设AD＝x千米，则CD＝AD＝x千米．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
由tan∠ABD＝，即tan60°＝，
∴BD＝＝x(千米)．
又BC＝4千米，即BD＋CD＝4千米，
∴x＋x＝4，解得x＝6－2 .
25. 解：(1)如答图所示，作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E.
∵CD＝BD·tan60°，CD＝(100＋BD)·tan30°，
∴(100＋BD)·tan30°＝BD·tan60°，
∴BD＝50(m)，CD＝50 m，
∴气球的高度约为CD＝50 m.
(2)∵BD＝50 m，AB＝100 m，∴AD＝150 m，
又∵AE＝C′E＝50 m，∴DE＝（150－50）m，
（150－50）÷10＝（15－5）(m/s)．
∴气球飘移的平均速度约为（15－5） m/s.
浙教版九年级数学下第一章解直角三角形同步练习
3 解直角三角形（二）
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得 分
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知:Rt△ABC中,∠C＝90°,cosA＝,AB＝15,那么AC的长是( ).
A.3 B.6 C.9 D.12
2. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( )
A．15 m B．20 m C．20 m D．10 m
3. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 m B．6 m C．12 m D．24 m
4．铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).
A.18m B.15m C.12m D.10m
5．如图，一河坝的横断面为梯形ABCD，BC∥AD，AB＝DC，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡比i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
6．河堤的横断面如图所示，堤高BC是5 m，迎水坡AB的长是13 m，那么斜坡AB的坡比i是( )
A．1∶3 B．1∶2.6 C．1∶2.4 D．1∶2
7．已知一坡面的坡比为1∶，则坡角α为( )
A．15° B．20° C．30° D．45°
8．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为( )
A．4 m B. m C. m D．4 m
9．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
10．如图所示，△ABC中，D在AC上，DE⊥BC于E，若，AB=4DE，则sinB的值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=2，求c边的长度为___________。
12. 已知sinα，cosα为方程的两根，则p、q应满足的关系式为_______。
13．某山路的路面坡度i＝1:,沿此山路向上前进200m,升高了_______m.
14．如图,△ABC中,∠C＝90°,点D在BC上,BD＝6,AD＝BC,cos∠ADC＝,则DC的长为_________.
15．等腰三角形底边长为20，三角形的面积为，则三个内角分别为 __ 、______、_______.
16．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_________．
17．如图是市民广场到地下通道的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是5 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是__________m.
18. 某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡比i＝1∶，坝外斜坡的坡比i＝1∶1，则两个坡角的和为_____________．
评卷人
得 分
三．解答题（共7小题， 46分）
19.(6分) 平行四边形的边长分别为，一个内角为120°，求它的两条高线的长。
20．(6分) 如图所示，四边形ABCD是面积为1的正方形，P为形内一点，△BPC为等边三角形，求。
21. (6分) 某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走了10米，则他现在站在了多少米的高处？
22．(6分) 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB＝cos∠DAC.
(1)求证:AC＝BD;(2)若sinC＝,BC＝12,求AD的长.
23. (6分) 某校教室A位于一地O的正西方向，OA=200米，一部拖拉机从O出发，以5米/秒的速度沿北偏西60°方向行驶，设拖拉机噪音污染半径为125米，试问：教室A是否在噪音污染范围内？若不在，说明理由，若在，求教室A受污染的时间。
24．(8分) 如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
25. (8分) 设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图所示(单位：米)．设路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h＝2，α＝45°，tanβ＝，CD＝10.
(1)求路基底部AB的宽；
(2)修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？
参考答案
1-5 CCBAD
6-10 CCCAD
11.
12.
13. 10
14. 9
15. 30°；30°；120°
16.
17. 5
18. 75°
19. 解：如图，平行四边形的两条高线长分别为
20. 解：可用“割补法”来求这个面积。
∵
又，，
∴
21. 解：设EF与AB交于点G，在Rt△BEG中，∠EBG＝∠AFG＝90°，∠EGB＝∠FGA，∴∠BEG＝∠BAF＝30°，∴EG＝＝＝2，BG＝1.又AB＝3，∴AG＝2，∴GF＝1，∴EF＝EG＋FG＝3(m)
22. (1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB＝,cos∠DAC＝,
又tanB＝cos∠DAC,
∴ ＝,
∴AC＝BD.
(2)解:在Rt△ADC中,由sinC＝,
可设AD＝12k,则AC＝13k,由勾股定理,得CD＝5k,
又由(1)知BD＝AC＝13k,
∴13k＋5k＝12,解得k＝,
∴AD＝8.
23. 解：作于N， ∴ 受到污染
在上取点P，使
∴ 在中，
∴
24. 解：设EF与AB交于点G，在Rt△BEG中，∠EBG＝∠AFG＝90°，∠EGB＝∠FGA，∴∠BEG＝∠BAF＝30°，∴EG＝＝＝2，BG＝1.又AB＝3，∴AG＝2，∴GF＝1，∴EF＝EG＋FG＝3(m)
25. 解：(1)过点D，C分别作DG⊥AB，CE⊥AB，垂足为点G，E，∵α＝45°，∴∠ADG＝45°，∴DG＝AG＝2，在Rt△CEB中，BE＝＝4，DC＝GE＝10，∴AB＝AG＋GE＋EB＝16(m) (2)S梯形ABCD＝(AB＋CD)·h＝26(m2)，∴26×1000＝26000(m3)
