第3章
3.1__投影__
第1课时 平行投影
1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( A )
【解析】 在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．故选A.
2．如图3－1－1，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是( B )
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
图3－1－1 图3－1－2
3．[2016·南宁]把一个正六棱柱如图3－1－2摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的投影是( A )
A B C D
4．[2017·贺州]小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是( B )
A B C D
【解析】 竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
5．如图3－1－3是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是( C )
图3－1－3
A．③①④② B．③②①④
C．③④①② D．②④①③
【解析】 在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是西→西北→北→东北→东，影子由长变短，再变长．西为③，西北为④，东北为①，东为②，∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故选C.
6．小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为__上午8时__．
7．如图3－1－4，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝__30°__．
图3－1－4
8．如图3－1－5，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6 m的小明落在地面上的影长为BC＝2.4 m.
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG＝16 m，请求出旗杆DE的高度．
图3－1－5
解：(1)影子EG如答图所示；
第8题答图
(2)∵DG∥AC，∴∠G＝∠C，
∴Rt△ABC∽Rt△DEG，
∴＝，即＝，解得DE＝.
∴旗杆DE的高度为 m.
9．如图3－1－6，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10 cm，则皮球的直径是( B )
A．5 cm B．15 cm
C．10 cm D．8 cm
图3－1－6 第9题答图
【解析】 如答图，由题意，得DE＝10 cm，∠CED＝60°，∠DCE＝∠BAE＝90°，∴DC＝DEsin60°＝15(cm)，即皮球的直径是15 cm.故选B.
10．[2016·河南模拟]如图3－1－7，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝14.5 m，NF＝0.2 m．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由(参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50)．
图3－1－7 第10题答图
解：(1)当α＝56.3°时，在Rt△ABE中，
tan56.3°＝≈1.50，AB＝10·tan56.3°＝15(m)，
即楼房的高度约为15 m；
(2)当α＝45°时，小猫不能再晒到太阳．
理由：如答图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD交于点P，此时的影长AP＝AB≈15 m，设MN的延长线交AD于点H，
∵AC＝14.5 m，NF＝0.2 m，
∴PH＝AP－AC－CH≈0.3(m)，
设直线MN与BP交于点Q，则HQ＝PH≈0.3 m，
∴点Q在MN上，
∴大楼的影子落在MN这个侧面上，
∴小猫不能晒到太阳．
11. 在阳光下，小东测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m.
(1)求同一时刻2 m的竹竿的影长；
(2)同一时刻小东在测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在操场的第一级台阶上，如图3－1－8，测得落在第一级台阶上的影子长为0.1 m，第一级台阶的高为0.3 m，落在地面上的影子长为4.3 m，求树的高度．
图3－1－8 第11题答图
解：(1)设同一时刻2 m的竹竿的影长为x m.
由题意，得＝，解得x＝0.8；
答：同一时刻2 m的竹竿的影长为0.8 m.
(2)如答图，设除台阶高度以外的大树的高度为y(m)，此部分大树的影长为4.3＋0.1＝4.4(m)．
由题意，得＝，解得y＝11，
∴树的高度为11＋0.3＝11.3(m)．
12．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图3－1－9①，已测出树AB的影长AC为12 m，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
(1)求出树AB的高；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长(用图②解答)．
① ②
图3－1－9
解：(1)AB＝ACtan30°＝12×＝4(m)．
答：树AB的高约为4 m；
(2)如答图，当树与地面成60°角时影长最大为AC2(或树与光线垂直时影长最大，或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大)，AC2＝2AB2＝8(m)．
第12题答图
第2课时 中心投影
1．如图3－1－10，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( C )
图3－1－10
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
图3－1－11
2．某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图3－1－11所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( D )
A B
C D
【解析】 由图知两根木棒在同一平面内的影子长短几乎相等，分析可得这是中心投影，且光源在中间一根附近，那么第三根木棒的影子应与其他的两根反向．故选D.
3．下列四幅图中，灯光与影子的位置合理的是( B )
A B C D
【解析】 连结物体和它影子的对应点所形成的直线必定经过光源．故选B.
4．如图3－1－12，在一间屋子里的屋顶上挂着一盏白炽灯，在它的正下方有一个球，下列说法：①球在地面上的影子是圆；②当球向上移动时，它的影子会增大；③当球向下移动时，它的影子会增大；④当球向上或向下移动时，它的影子大小不变，其中正确的有( C )
图3－1－12
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．[2017·昌平区期末]一幢4层楼房只有一个房间亮着灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图3－1－13所示，则亮着灯的房间是( B )
A．1号房间 B．2号房间
C．3号房间 D．4号房间
图3－1－13 第5题答图
【解析】 如答图，连结树梢和树影顶点并延长与电线杆顶及其影子顶部的连线相交于2号房间的位置．
6．[2016·北京]如图3－1－14，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为__3__m.
图3－1－14 第6题答图
【解析】 如答图，∵小军、小珠的身高与影长相等，
∴∠E＝∠F＝45°，∴AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为x m，则BD＝(x－1.5)m，BC＝(x－1.8)m，
又∵CD＝2.7 m，∴x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得x＝3.
7．如图3－1－15，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD.
(1)请在图中画出路灯灯泡所在的位置(用点P表示)；
(2)画出小华此时在路灯下的影子(用线段EF表示)．
图3－1－15 第7题答图
解：(1)如答图，点P就是路灯灯泡所在的位置；
(2)如答图，EF就是小华此时在路灯下的影子．
8．如图3－1－16，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝1.5 m，CD＝4.5 m，点P到CD的距离为2.7 m，则AB与CD间的距离是__1.8__m.
图3－1－16
【解析】 ∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD.
假设CD到AB距离为x(m)，
则＝，＝，解得x＝1.8，
∴AB与CD间的距离是1.8 m.
9．如图3－1－17，身高1.6 m的小明从距路灯的底部(点O)20 m的点A沿AO方向行走14 m到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．
(1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置；
(2)若路灯(点P)距地面8 m，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
图3－1－17 第9题答图
解：(1)如答图所示；
(2)设在A处时影长AM为x m，在C处时影长CN为y m.
由＝，解得x＝5，由＝，解得y＝1.5，∴x－y＝5－1.5＝3.5.
答：身影的长度变短了，变短了3.5 m.
10．晚上，一个身高1.6 m的人站在路灯下，发现自己的影子刚好是4块地砖的长(地砖是边长为0.5 m的正方形)，当他沿着影子的方向走了4块地砖时，发现自己的影子刚好是5块地砖的长，根据他的发现，你能不能计算出路灯的高度？
第10题答图
解：如答图，AC＝4×0.5＝2(m)，CE＝5×0.5＝2.5(m)，AB＝CD＝1.6 m，∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴＝，
即＝，①
∵CD∥OP，∴△ECD∽△EOP，
∴＝，即＝，②
由①②，得＝，解得AO＝8，
∴＝，解得OP＝8.
答：路灯的高度为8 m.
11．如图3－1－18，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为( A )
图3－1－18
A B
C D
【解析】 如答图，设身高GE＝h，CF＝l，AF＝a.
当x≤a时，在△OEG和△OFC中，
∠GOE＝∠COF，∠AEG＝∠AFC＝90°，
∴△OEG∽△OFC，
第11题答图
∴＝，
∴＝，
∴y＝－x＋.
∵a，h，l都是固定的常数，
∴自变量x的系数是固定值，
∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线，
∴影长将随着小亮离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，然后随着离灯光越来越远而影长将越来越长．故选A.
