4.3 中心对称（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.3 中心对称
【知识清单】
一、中心对称：
1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.
2. 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；
(2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
(3)若两个图形成中心对称，则对称中心在一组对应点所连线段的中点或两组对应点连线的交点.
二、中心对称图形:
1.定义：如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
2. 中心对称图形性质：
(1)对称中心平分连结两个对称点的线段，过中心对称图形对称中心的直线将图形分成全等的两部分.
(2)在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(x ，y)关于原点成中心对称.
(3)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【经典例题】
例题1、如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点O，点D的坐标为(4，2)，则点B的坐标为(　　)
A．(4，2) B．(2，4)
C．(4，2) D．(2，4)
【考点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点B
与点D关于原点对称，所以D的坐标为(4，2)．
【解答】∵在□ABCD中，平行四边形是中心对称图形，
∴B点与D点关于原点对称，
∴D点坐标为(4，2)．故选C．
【点评】主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系．理解掌握平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心是解题的关键．
例题2、如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连结AE，BD.
(1)线段AE，BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由；
(2)如果△ABC的面积为acm2，求四边形ABDE的面积．
【考点】中心对称，平行四边形的性质 .
【分析】(1)根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACE=∠DCB，则△ABC≌△DEC，AE与BD平行且相等；(2)根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答即可.
【解答】(1)∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=DC，BC=EC，
在△ACE与△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB (SAS)，
∴AE=DB，∠EAC=∠BDC.
∵∠EAC=∠BDC，
∴AE∥DB.
∴AE与BD平行且相等；
(2)∵点C是对称中心，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为acm2，∴四边形ABDE的面积=4acm2.
【点评】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
【夯实基础】
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、下列说法中，错误的是(　　)
A．成中心对称的两个图形对称中心在一组对称点所连线段的中点上
B．关于中心对称的两个图形必是全等图形
C．两个全等三角形一定成中心对称
D．中心对称图形的对称中心一定在这个图形的内部
3、4张扑克牌如图1所示放在桌子上，有人将其中一张旋转180°后得到如图2所示，那么他所旋转的牌从左起是(　　)
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
4、如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①AC∥A1C1，AC = A1C1②AB∥A1B1，AB=A1B1；③∠ACB=∠A1C1B1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、在中，∠A=30°，∠C=90°，以边BC的中点P为中心，作出与成中心对称的，则的长为 .
6、如图，直线EF经过□ABCD的对角线的交点O，若□ABCD面积为32cm2，四边形ABOE的面积为10cm2，则△DOE的面积为 .
7、如图所示是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中阴影部分是一个中心对称图形.
8、(1)下课后，数学老师留下如图所示的图形ABCDEF，让每个学习小组的同学只用一条直线将其分成面积相等的两部分，若你是小组成员，请你在图中给出分割方法.
(2)如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1成中心对称图形，
求出其对称中心O.
【提优特训】
9、在平面直角坐标系中，若点M(a+8，82b)与点N(3b，3a6)关于原点对称，则点a+b的值为( )
A． B． C． D．4
10、在平面直角坐标系中，若点P(m，mn)与点Q(2，3)关于点A(3，2)对称，则
点B(m，n)在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△ABC和，在方格纸中将△ABC经过怎样的变换后可以与成中心对称图形，则下列变换不正确的是( )．
A. 把△ABC绕点C逆时针旋转90°
B. 把△ABC绕点C顺时针旋转90°， 向下平移2单位
C. 把△ABC绕边AB的中点逆时针旋转90°，向上平移1单位
D. 把△ABC绕点C逆时针旋转90°，向下平移2单位
12、若△ABC的三边长为a，b，c，且点A与点B关于原点对称，
若有意义，则△ABC的形状是 .
13、已知□ABCD 中，点E为BC边的中点，若AB=5，AE=3，则对角线AC的取值范围是 .
14、在平面直角坐标系中有三个点A(1，1)、B(1，1)、C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2019的坐标是 .
15、如图，已知△ABC和点O.
(1)画出△ABC关于点O的对称图形△A1B1C1；
(2)过点O任意画一条直线a，画△ABC关于
直线a的对称图形△A2B2C2；
(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2，这两个图形对称吗？如果对称，
它们属于什么对称？画出它们的对称轴或对称中心，
并写出你的发现.
16、如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探究线段BE，EF，FC之间的数量关系．
?
17．如图，AE是△ABC的角平分线，交BC于E，延长EC到D，使ED=BE，过D作DF∥AB交AC的延长线于点F．
(1)画出△ABE关于点E成中心对称图形；
(2)探究线段AB，AF，FD之间的数量关系，并证明你的结论.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)写出A，B，C的三个顶点的坐标( ， )，( ， )，( ， )；
(2)请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1个单位，
得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，
画出△A2B2C2；
(3)在(2)所得的△A1B1C1与△A2B2C2与关于点P成中
心对称，求出对称中心P点的坐标.

【中考链接】
19、(2018?天津)4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )

20、(2018?日照)2．在下列图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是(　　)
21、(2018?湖北恩施)3．(3分)在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
22、(2018?湖北宜昌)11．(3分)如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(﹣5，2)，
(﹣2，﹣2)，(5，﹣2)，则点D的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(2，﹣2) C．(2，5) D．(﹣2，5)
参考答案
1、C 2、C 3、D 4、D 5、 6、6cm2 9、D 10、C 11、B
12、等腰三角形 13、17、如图所示是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中阴影部分是一个中心对称图形.
8、解：(1)作法①延长DE交AB于G，
则这个图形可以看成由□AGEF和□GBCD组成；
②连接AE，GF交于点M，连接GC，BD交于点N，
则点M和点N分别是□AGEF和□GBCD的对称中心；
③过点M和点N作直线l，
则直线l将图形ABCDEF，分成面积相等的两部分.
(2)解：作法：如图连接C与，B与，
与相交于点O，
点O就是要求的对称中心.
15、解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示；
(3)如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2成轴对称，
对称轴为过点P垂直于a的直线b．
16、解：BE2+CF2=EF2；
理由：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
作△EBD关于点D为中心的对称图形，
将△EBD绕着点D顺时针旋转180°，
则点C与点B重合，点F落在点G的位置，
连接EG，
∴BE=CG，ED=GD，∠B=∠GCD，
∵∠A=90°，
∴∠ACG=∠ACB+∠GCD =∠ACB+∠B=180°-90°=90°，
∵DE⊥DF，ED=GD，
∴EF=GF(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2=EF2，
即：BE2+CF2=EF2．
17．解：(1)解：如图，延长AC到，使AC=C，
∵点C为BD边的中点，
∴点B与点D关于点C成中心对称.
连接D，△即为所求图形；
(2)AB= AF+ FD.理由如下：
由(1)可得AB=D，∠1=∠，∠B=∠，
又∵DF∥AB，
∴∠FDC=∠B，
∴，F，D三点在一条直线上.
∴=+FD.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2=∠，
∴AF=，
∴AB=D=+FD= AF+ FD.
18． 解：(1)A，B，C的三个顶点的坐标( 4 ， 2 )，
( 2 ， 1 )，( 1 ， 4 )；
(2)如图所示；
(3)由作图可知A1，B1，C1的三个顶点的坐标(1 ，3)，
(3 ，2)，(4 ，5)；
由作图可知A2，B2，C2的三个顶点的坐标(4 ，2)，
(2 ，1)，(1 ，4)；
∵△A1B1C1与△A2B2C2与关于点P成中心对称，
∴点P为直线A1 A2与B1 B2的交点.
设直线A1 A2的解析式为y=mx+n，
将点A1(1 ，3)，A2(4 ，2)代入y=mx+n得，
，解得，
∴直线A1 A2的解析式为，
设直线B1 B2的解析式为y=kx+b，
将点B1(3 ，2)，B2(2 ，1)代入y=kx+b得，
，解得，
∴直线B1 B2的解析式为y=3x7，
解二元一次方程组，
解得，
∴对称中心P点的坐标为.