4.4.1 平行四边形的判定定理（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册4.4平行四边形的判定定理
第1课时 平行四边形的判定定理(1）
【知识清单】
1.基本概念：平行四边形的定义既是性质又是判断方法(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
2. 平行四边形的判定定理：
(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【经典例题】
例题1、如图，已知E，F是□ABCD的BC，AD两边上的点，BE=DF，M，N分别为AE和CF的中点，求证：EN=FM.
【考点】平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AD=CB，
AD∥CB，∠B=∠D.由BE=DF，△ABE≌△CDF，
可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，因为AD∥CB，∠AEB=∠EAD，
所以∠EAD=∠CFD，所以AE∥CF，
由M，N分别为ED和BF的中点，ME=FN，
ME∥FN，进而推出四边形MENF的平行四边形，EN=FM.
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，AD∥CB，∠B=∠D.
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
又∵AD∥CB，
∴∠AEB=∠EAD，
∴∠EAD=∠CFD，
∴AE∥CF，
∵M，N分别为ED和BF的中点，AE=CF，
∴ME=FN，ME∥FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴EN=FM.
【点评】主要考查了平行四边形的判定定理，理解掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判断方法是解题的关键．
例题2、如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，连接DE，EF，求证：四边形ADEF是什么四边形.
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.
【分析】四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．
【解答】∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，
∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
∵，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：△FEC≌△ABC．
∴EF = AD，
∴四边形ADEF平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，熟记相关性质与判定方法是解题的关键．
【夯实基础】
1、在四边形ABCD中，AB=DC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A+∠C=180° B．∠B+∠D=180°
C．∠A+∠B=180° D．∠B+∠C=180°
2、由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数
是( )????
A.4 个? B.3 个 ?C.2 个?? D.1 个
3、根据下列条件，能作出平行四边形的是(　　)
A、两组对边长分别是4cm和8cm
B、相邻两边的边长分别是4cm和6cm，一条对角线长是12cm
C、一条边长为5cm，另一条对角线长为11cm，一条边长为6cm
D、一条边长为9cm，两条对角线长为6cm和10cm
4、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△AOB平移至△CDP的位置，连结OP，
则图中平行四边形的个数为( )
A．1　　　B．2 C．3　　 　D．4

5、如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD.若∠B＝48°，则∠ADC的大小为_______．
6、如图，在直角坐标系中，已知A，B，C正方形的格点上，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是_________．(填序号)
① (9，3)；②(4，4)；③(1，1)；④(5，5)．
7、如图所示，四边形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，BE=DF，AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.

8、如图，在□ABCD中，M，N分别在AD和BC上，且AM=，CN=，连结BM，AN交于点G，连结CM，DN交于点H.求证：四边形MGNH是平行四边形．
【提优特训】
9、在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，如果点E，F分别是由下列情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是( )
A．AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD B．∠BEA＝∠CFA
C．E，F分别是BC，AD的中点 D．BE＝BC，AF＝AD
10、请从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC＝AD.这四个条件中选取两个，使四边形ABCD
成为平行四边形．这样的选法一共有( )种．
A．3 B．4 C．5 D．6
11、有人不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( ).
A. ①，② B. ②，③
C. ③，④ D. ①，③
12、在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（x1，y2），点P2的坐标为(x2，y2)，设P1P2两点的距离为d，则d=，若A（2，3），B（2，1），C（3，4），
D（1，2），则以ABCD为顶点的四边形为 .
13、一个四边形的边长分别为a、b、c、d，其中a，c为对边，且满足a+b+c+d=2+2，则这个四边形的对角线 .
14、给出下列结论：①两组对边分别平行；②一组对角相等，另一组对边相等；③两组对角分别相等；④一组对边平行，另一组对边相等；⑤两组对边分别相等.能够判定四边形ABCD是平行四边形的是 (填上序号即可）.
15、如图，已知AD是△ABC的角平分线， EF是AD的垂直平分线交AC于F，过点F作FG∥BC，求证：BG=AF.
16、在□ABCD中，分别以AB，BC，CD，DA为边向外作等边三角形ABE，等边三角形BCF，等边三角形CDG，等边三角形DAH，连结EF，FG，GH，AE.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
17、如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连结GE，EH，HF，FG.求证：GH与EF互相平分.
18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=9 cm，BC=12cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1厘米/s的速度由A向D运动，Q以2厘米/s的速度由C向B运动，(1)几秒后四边形ABQP是平行四边形？(2) 几秒后四边形PQCD是平行四边形？
【中考链接】
19、(2018?安徽）9. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( ）
A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF
20、(2018?内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB//CD，
②BC=AD，③∠A =∠C，④∠B =∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( ）
A.5种 B.4种 C.3种 D.1种
21、(2018?安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
求证：AF=DC.
22、(2018湖南岳阳）如图，在□中，，
求证：四边形是平行四边形.
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、D 5、48° 6、①、③、④ 9、B 10、B 11、D
12、平行四边形 13、互相平分 14、①、③、⑤ 19、B 20、C
7、证明：∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+FE.
∴BF=DE
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°.
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
∵
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL）.
∴AD=CB，∠1=∠2，
∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.
8、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M，N分别在AD和BC上，且AM=，CN=，
∴AM=CN，MD=BN，
∴AM∥CN ，MD∥BN，
∴四边形ANCF和四边形BNDM都是平行四边形，
∴AN∥MC，BM∥DM，即GN∥MH，MG∥HN，
∴四边形MGNH是平行四边形．
15、证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠FDA.
∴AB∥DF.
∵FG∥BC，
∴四边形BCFG为平行四边形.
∴BG=DF，
∴BG=AF.
16、证明：在□ABCD中，
∴AB=DC，AD=CB，∠ABC=∠CDA，∠DAB=∠BCD，
∵△ABE，△CDG，△BCF，△DAH均为等边三角形，
∴AB=EB，DC=DG，AD=HD，BF=BC，
∠ADH=∠ABE=∠FBC=∠CDG=60°.
∵∠EBF=360°∠ABC60°60°=240°∠ABC，
∠GDH=360°∠CDA60°60°=240°∠CDA，
∴∠EBF=∠GDH.
在△EBF和△GDH中，
∵
∴△EBF≌△GDH(SAS）.
∴EF=GH.
同理可证△AEH≌△CGF
∴EH=GF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
17、 解:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠GBE=∠HDF.
又∵AG=CH，
∴BG＝DH.
又∵BE=DF，
∴△GBE≌△HDF(SAS)．
∴GE=HF，∠GEB=∠HFD.
∴∠GEF=∠HFE.
∴GE∥HF.
∴四边形GEHF是平行四边形．
故GH与EF互相平分.
18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=9 cm，BC=12cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1厘米/s的速度由A向D运动，Q以2厘米/s的速度由C向B运动，(1)几秒后四边形ABQP是平行四边形？(2) 几秒后四边形PQCD是平行四边形？
解：(1)设t秒后四边形PQCD是平行四边形，则PD=QC，即ADAP= CQ，
∴9t=2t，
解得t=3(秒).
答：3秒后四边形PQCD是平行四边形；
(2) (1)设t秒后四边形ABQP是平行四边形，
则AP=BQ，即AP=CBCQ
?????? ?∴t=122t，? t=4秒?
答：4秒后四边形ABQP是平行四边形.
21、【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】55：几何图形．
【分析】连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
【解答】证明：连接DF，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
∵，
∴△AFE≌△DBE(AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴BD=AF，
∵AD为中线，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形、矩形、正方形的判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质；本题综合性强，由一定难度，利于培养学生的推理能力．
22、【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，
∠A=∠C，AB=CD，然后根据AE=CF可得△ADE≌△CBF，
进而得出DE=BF，进而证明出结论.
【解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，AB=CD.
∵AE=CF，
∴BE=DF.
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF(SAS）
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.