第五章 特殊平行四边形解答题精选（1）（含解析）

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浙教新版八年级下学期《第5章 特殊平行四边形》解答题精选
解答题（共46小题）
1．已知：（x﹣2）2+（5﹣x）2＝．若把x﹣2与5﹣x看成一个长方形的长和宽，求这个长方形的周长和面积．
2．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2．若G为AE中点，延长DG至N，使DG＝NG，连接EN，且∠EDG＝∠ENG．求证：BF+DF＝AF．

3．已知菱形ABCD，E为AD上一点，且BA＝BE，连接BD．
（1）如图1，过B作BF⊥AD，垂足为F，若BD＝2，DE＝1，求菱形ABCD的边长．
（2）如图2，点M为边CD上一点，连接BM，且∠CBM＝∠DBE，过E作EG⊥BM，垂足为G点，O为BD中点，连接GO并延长交BE于H点，交AD于N点，求证AN＝EN．

4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝　 　S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

5．如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．

6．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．
（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．

7．已知：在平行四边形ABCD中，点O是边AD的中点，连接CO并延长交BA延长线于点E，连接ED、AC．
（1）如图1，求证：四边形AEDC是平行四边形；
（2）如图2，若四边形AEDC是矩形，请探究∠COD与∠B的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明．

8．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．
小明同学的想法是：不妨设PA＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝　 　度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝　 　度．请写出推理过程．

9．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．
（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．

10．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．

11．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），求证：AM2+MF2＝AF2．

12．如图，DE是平行四边形ABCD中∠ADC的角平分线，EF∥AD交DC于F．

（1）如图1，求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如图2，连接FB，FB⊥AB，若∠DAB＝60°，FC＝2，请直接写出所有长度为4的线段．
13．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．
（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案　 　．

14．在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．

（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝　 　，∠1+∠2＝　 　．
（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？
（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．
（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；
（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．

16．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

17．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．

18．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．

19．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

20．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．

21．如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE＝DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．
（1）求证：∠ADG＝∠DCF；
（2）联结HO，试证明HO平分∠CHG．

22．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．

23．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G．
（1）BE与AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由；
（2）求AF的长．

24．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

25．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．
（1）求证：AE＝DE
（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm，求DF的长．

26．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，求证：∠AEF＝90°．

27．如图①，正方形ABCD中，点E、F都在AD边上，且AE＝FD，分别连接BE、FC，对角线BD交FC于点P，连接AP，交BE于点G；
（1）试判断AP与BE的位置关系；
（2）如图②，再过点P作PH⊥AP，交BC于点H，连接AH，分别交BE、BD于点N，M，请直接写出图②中有哪些等腰三角形．

28．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF；
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．

29．（1）如图，已知等边△ABC的边长为10，点E是AB上一点，过点E作ED⊥AC于点D，过点D作DF⊥BC于点F．
①若AE＝7，求BF的长；
②连接EF，若EF⊥AB，求AE的长；
（2）已知正方形ABCD的边长为10，点E是边AB上一点，过点E作∠AEF＝60°交边AD于点F，再过点F作∠DFG＝60°交边CD于点G，继续过点G作∠CGH＝60°交边BC于点H，连接EH，若∠BHE＝60°，请直接写出AE的长．

30．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；
②求证：四边形ADEG是平行四边形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

31．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG＝5，CF＝，求四边形BDFG的周长．

32．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（0，6），C（b，6），且满足a＝+8．
（1）请直接写出A、C、D三个点的坐标，A　 　，C　 　，D　 　；
（2）连接线段BD、OD，试求三角形BOD的面积；
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度匀速向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，三角形BOD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

33．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．

34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG是菱形；
（2）若AG＝11，CF＝8，求四边形BDFG的周长．

35．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．
（1）求证：FG∥DE；
（2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．

36．（1）如图（1），已知：正方形ABCD的对角线交于点O，E是AC上的一动点，过点A作AG⊥BE于G，交BD于F．求证：OE＝OF．
（2）在（1）的条件下，若E点在AC的延长线上，以上结论是否成立，为什么？

37．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．

38．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．
（1）求证：AF＝BE；
（2）求点E到BC边的距离．

39．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．
（1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积；
（2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．

40．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE、CE，作DM⊥AG于M．
（1）求证：DM＝AG；
（2）若△BCE是等边三角形，连DE，△ADE的面积为25，求BG长．

41．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）F为AB的中点，则线段OF与线段AE有什么位置关系和数量关系？直接写出结论，不必证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，OF＝4，求PQ的长．

42．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．

43．在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE，点M是线段DE的中点．
（1）如图1，连接CM，若AC＝16，CD＝10，求DE的长；
（2）如图2，点F在菱形的外部，DF＝DM，且∠CDA＝∠FDE，连接FM交AD于点G，FM的延长线交AC于点N，求证：CN＝AG．

44．在菱形ABCD中，∠C＝60°，E为CD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若E为CD的中点且BE＝3，求菱形ABCD的面积．
（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．

45．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

46．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．
（1）若点F在边BC上（如图）；
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．




浙教新版八年级下学期《第5章 特殊平行四边形》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共46小题）
1．已知：（x﹣2）2+（5﹣x）2＝．若把x﹣2与5﹣x看成一个长方形的长和宽，求这个长方形的周长和面积．
【分析】根据矩形的周长公式和矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：周长＝2（x﹣2+5﹣x）＝6．
由2（x﹣2）（5﹣x）＝[（x﹣2）+（5﹣x）]2﹣[（x﹣2）2+（5﹣x）2]＝知，
面积＝（x﹣2）（5﹣x）＝．
【点评】考查了矩形的性质，求矩形的面积时，需要利用完全平方公式的变形公式，难度不大．
2．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
（2）如图2．若G为AE中点，延长DG至N，使DG＝NG，连接EN，且∠EDG＝∠ENG．求证：BF+DF＝AF．

【分析】（1）设BM＝x，则MC＝2x，由此得到AB＝BC＝3x，在Rt△ABM中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求AM长，再利用勾股定理可求AB长；
（2）要证明的三条线段没有组成一个三角形或一条线段，所以延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，证明△ABF≌△ADH，把BF转化到DH，从而三条线段放在了等腰直角三角形中便解决了问题．
【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
（2）∵∠EDG＝∠ENG，
∴DE＝EN，
∵DG＝NG，
∴AE⊥DN，
∵G为AE中点，
∴DA＝DE，延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DG⊥AF，
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFG＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH（SAS）．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质、勾股定理，综合性较强，正确作出辅助线，把三条线段转化到一个等腰直角三角形是解题的关键．
3．已知菱形ABCD，E为AD上一点，且BA＝BE，连接BD．
（1）如图1，过B作BF⊥AD，垂足为F，若BD＝2，DE＝1，求菱形ABCD的边长．
（2）如图2，点M为边CD上一点，连接BM，且∠CBM＝∠DBE，过E作EG⊥BM，垂足为G点，O为BD中点，连接GO并延长交BE于H点，交AD于N点，求证AN＝EN．

【分析】（1）由条件给的两条线段长度并不能直接求出菱形边长，故需要设未知数列方程间接求解．由BA＝BE，BF⊥AD可得AF＝EF，设菱形边长为x，则AF＝EF＝，DF＝．观察Rt△BEF与Rt△BDF根据勾股定理列出两等式，再以BF为等量关系列方程，即能求出x．
（2）由∠CBM＝∠DBE易得∠CBD＝∠EBM，且∠CBD与∠EBM有一边相等，考虑到一边一角相等的情况，把BM延长到P使BP＝BD即得到全等的△BEP与△BCD，所以BE＝EP即△BEP是等腰三角形，加上EG⊥BM即有G未BP中点．又O为BD中点，根据中位线定理有OG∥DP，所以有同位角相等，进而证得BG＝BO．证明△BGH≌△DON得BH＝DN即EH＝AN，再根据全等三角形对应角相等和对顶角相等证得EN＝EH，最后得证AN＝EN．
【解答】解：（1）设菱形ABCD边长为x
∴AD＝AB＝BE＝x
∵DE＝1
∴AE＝AD﹣DE＝x﹣1
∵BF⊥AD于F，AB＝BE
∴∠BFE＝90°，AF＝EF＝AE＝
∴DF＝AD﹣AF＝x﹣＝
∵BF2+EF2＝BE2，BF2+DF2＝BD2
∴BF2＝BE2﹣EF2＝BD2﹣DF2
∵BD＝2
∴
解得：x1＝﹣4（舍去），x2＝3
∴菱形ABCD 的边长等于3

（2）证明：延长BM到P，使BP＝BD，连接DP、EP
∴∠BPD＝∠BDP
∵菱形ABCD中，AB＝BE
∴BE＝AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC
∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD
∵∠CBM＝∠DBE
∴∠CBM+∠MBD＝∠DBE+∠MBD
即∠CBD＝∠EBP
在△BEP与△BCD中

∴△BEP≌△BCD（SAS）
∴PE＝CD
∴PE＝BE
∵EG⊥BM
∴G为BP中点
∵O为BD中点
∴OG为△BDP中位线，OG∥PD
∴∠BGO＝∠BPD，∠BOG＝∠BDP
∴∠BGO＝∠BOG
∴∠DON＝∠BGO＝∠BOG，BG＝OB
∴DO＝BO＝BG
在△BGH与△DON中，

∴△BGH≌△DON（ASA）
∴BH＝DN，∠BHG＝∠DNO
∴BE﹣BH＝AD﹣DN
即EH＝AN
∵∠EHN＝∠BHG
∴∠EHN＝∠DNO
∴EN＝EH
∴AN＝EN

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，中位线定理．第（1）题的解题关键是在不能直接求得线段时，利用设未知数列方程的方法间接求，利用勾股定理作为等量关系，是勾股定理应用的常见题型．第（2）题的解题关键是如何发现给出条件之间的联系和使用，注意角度和线段长度的等量代换，层层推进解题思路．
4．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．
【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝　　S正方形ABCD；
【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；
【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG?a，于是得到结论；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：【感知】如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，
在△AOG与△BOE中，，
∴△AOG≌△BOE，
∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；
故答案为：；
【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，
∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OM＝mb＝mb，S△AOG＝AG?ON＝AG?a＝AG?a，
∴mb＝AG?a，
∴AG＝；
【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，
则KL＝2OK，PQ＝2OQ，
∵S平行四边形ABCD＝AB?KL＝AD?PQ，
∴3×2OK＝5×2OQ，
∴＝，
∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，
∴S△AOB＝S四边形AEOG，
∴S△BOE＝S△AOG，
∵S△BOE＝BE?OK＝×1×OK，S△AOG＝AG?OQ，
∴×1×OK＝AG?OQ，∴＝AG＝，
∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．
5．如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCF，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA，
∴∠FCB＝∠EDA，
在△ADE与△BCF中
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）∵DE∥AC，且DE＝AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DC＝EF，且DC∥EF，
又∵AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵△ADE≌△BCF，
∴∠AED＝∠BFC，
∵∠BAF+∠AED＝180°，
∴∠BAF+∠BFC＝180°，
又∠BFA+∠BFC＝180°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∴四边形ABFE为菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答．
6．菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连接BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．
（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；
（2）如图2，点G在AC上，连接FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．

【分析】（1）首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，由CE⊥AD，推出AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE中，根据BE2＝CE2+BC2，构建方程求出m即可解决问题；
（2）作CK∥AH交BE于点K．想办法证明FH＝FK，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，
在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，
∴4m2+3m2＝63，
∴m＝±3，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴BC＝6，EC＝3，
∴S菱形ABCD＝BC?CE＝18．

（2）作CK∥AH交BE于点K．

∵△AFH是等边三角形，
∴∠AHF＝∠AFH＝60°，
∵AH∥CK，
∴∠AHF＝∠CKE＝60°，
∴∠AFB＝∠BKC＝120°，
∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，
∴∠ABF＝∠BCK，
∵AB＝BC，
∴△ABF≌△BCK（AAS），
∴BK＝AF，
∵∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAF＝∠CAH，
∵BA＝AC，AF＝AH，
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴BF＝CH，
∵CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，
∴BK＝FK＝FH，
∵AH∥FG∥CK，FH＝FK，
∴AG＝CG．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知：在平行四边形ABCD中，点O是边AD的中点，连接CO并延长交BA延长线于点E，连接ED、AC．
（1）如图1，求证：四边形AEDC是平行四边形；
（2）如图2，若四边形AEDC是矩形，请探究∠COD与∠B的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明．

【分析】（1）由题意可证△AEO≌△DCO，可得AE＝CD，且AE∥CD，则四边形AEDC是平行四边形；
（2）由矩形的性质可得OC＝OD＝OA＝OE，可得∠ADC＝∠OCD，根据三角形内角和为180°，可得∠COD与∠B的数量关系．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BEC＝∠DCE
∵点O是边AD的中点
∴AO＝DO，且∠BEC＝∠DCE，∠AOE＝∠DOC
∴△AEO≌△DCO（AAS）
∴AE＝CD
∵AE∥DC，AE＝CD
∴四边形AEDC是平行四边形
（2）∠COD＝180°﹣2∠B
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠ADC
∵四边形AEDC是矩形
∴AO＝EO＝CO＝DO
∴∠ADC＝∠OCD
∵∠ADC+∠OCD+∠COD＝180°
∴∠COD＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣2∠B
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．
小明同学的想法是：不妨设PA＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝　135　度．
请你参考小明同学的方法，解答下列问题．
如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝　150　度．请写出推理过程．

【分析】图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE＝∠BEP＝45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE＝90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB＝135°；
如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，根据旋转的性质知∠PBM＝60°，△BCP≌△BMA．推出△PBM是等边三角形，得到∠BPM═∠PBM＝60°，根据勾股定理的逆定理得到∠APM＝90°，于是得到结论．
【解答】解：如图2．
∵根据旋转的性质知∠PBE＝90°，△BCP≌△BAE，
∴BP＝BE，PC＝AE，
∴∠BPE＝∠BEP＝45°，PE＝PB，
又PA：PB：PC＝1：2：3，
设PA＝x，PB＝2x，PC＝3x，
∴AE＝PC＝3x，AP＝x，PE＝2x，
∴AE2＝AP2+PE2，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝90°+45°＝135°，
即图2中∠APB的度数为135°．
故答案是：135；

如图3，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ABM，然后连接PM，
∵根据旋转的性质知∠PBM＝60°，△BCP≌△BMA．
∴PB＝BM，
∴△PBM是等边三角形，
∴∠BPM═∠PBM＝60°，
∵PA：PB：PC＝3：4：5，
∴PA＝3x，PB＝4x，PC＝5x，
∴AM＝PC＝5x，BM＝PB＝PM＝4x，PA＝3x，
∴AM2＝PA2+PM2，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°
∴PA：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝150度，
故答案是：150．


【点评】本题综合考查了旋转的性质，等边三角形和正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．
9．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．
（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．

【分析】（1）作辅助线，证明△AMC≌△ANF（AAS），得CM＝FN根据三角形面积公式可得结论；
（2）同理得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，设BO＝x，则CO＝4﹣x，根据勾股定理列方程得：17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，根据面积和可得S六边形DEFGHI．
【解答】证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，
∴∠CMA＝∠ANF＝90°，
∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠CAM+∠CAN＝∠FAN+∠CAN＝90°，
∴∠CAM＝∠FAN，
在△AMC和△ANF中，
∵，
∴△AMC≌△ANF（AAS），
∴CM＝FN，
∴AE?FN＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，
由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，
过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，
即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，
解得：x＝1，
∴AO＝4，
S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，
＝17+25+16+4××4×4，
＝90．


【点评】本题考查正方形的性质，三角形和多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，恰当作辅助线，学会利用面积和求六边形面积，属于中考常考题型．
10．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．

【分析】（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题；
（2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；
【解答】（1）解：过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，
∴∠MEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，
∴∠MEF＝∠ECB，
∵EC＝EF，
∴△EBC≌△FME（AAS）
∴FM＝BE
∴EM＝BC
∵BC＝AB，
∴EM＝AB，
∴EM﹣AE＝AB﹣AE
∴AM＝BE，
∴FM＝AM，
∵FM⊥AB，
∴∠MAF＝45°，
∴∠EAF＝135°．

（2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．
由（1）可知∠EAF＝135°，
∵∠ABD＝45°
∴∠EAF＝135°+∠ABD＝180°，
∴AF∥BG，
∵FG∥AB，
∴四边形ABGF为平行四边形，
AF＝BG，FG＝AB，
∵AB＝CD，
∴FG＝CD，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠FGM＝∠CDM，
∵∠FMG＝∠CMD
∴△FGM≌△DMC（AAS），
∴GM＝DM，
∴DG＝2DM，
∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．如图（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．
（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），求证：AM2+MF2＝AF2．

【分析】（1）根据四边形ABFG、BCED是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABFG、BCED是正方形，
∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，
∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，
即∠ABD＝∠CBF，
在△ABD和△FBC中，，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；
（2）∵△ABD≌△FBC，
∴∠BAD＝∠BFC，
∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣（∠BFC+∠BNF）＝180°﹣90°＝90°，
∴AM2+MF2＝AF2．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．如图，DE是平行四边形ABCD中∠ADC的角平分线，EF∥AD交DC于F．

（1）如图1，求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如图2，连接FB，FB⊥AB，若∠DAB＝60°，FC＝2，请直接写出所有长度为4的线段．
【分析】（1）由题意可证四边形AEFD是平行四边形，由DE平分∠ADC，可得∠ADE＝∠FDE＝∠AED，可得AD＝AE，即可证四边形AEFD是菱形；
（2）由题意可得∠C＝DAB＝60°，可求BC＝4，根据平行四边形的性质和菱形的性质可得AD＝DF＝AE＝EF＝BC＝4．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DF∥AE，AD＝BC
∵EF∥AD，DF∥AE
∴四边形AEFD是平行四边形
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE＝∠FDE
∵DF∥AE
∴∠FDE＝∠AED
∴∠ADE＝∠AED
∴AD＝AE且四边形AEFD是平行四边形
∴四边形AEFD是菱形
（2）∵FB⊥AB，DC∥AB
∴∠BFC＝90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠C，且∠DAB＝60°
∴∠C＝60°
∴∠FBC＝30°
∴BC＝2FC＝4
∴AD＝BC＝4
∵四边形AEFD是菱形
∴AD＝DF＝EF＝AE＝4
∴长度为4的线段有：AD，DF，EF，AE，BC
【点评】本题菱形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．
（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案　AB＝AC　．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；
（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；
（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF是菱形，此时AB＝AC．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，
∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中
，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴AC＝DE，
∵△ACF为等边三角形，
∴AC＝AF，
∴AF＝DE，
同理可证得△ACB≌△FCD，
∴AB＝DF，
而AB＝AE，
∴AE＝DF，
∴四边形DEAF是平行四边形；
（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：
由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，
∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠FAC＝60°
∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°
∴四边形DEAF是矩形；
（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：
由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，
∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，
∴AE＝AF，
∴四边形DEAF是菱形．
故答案为：AB＝AC．



【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形、矩形的判定．
14．在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．

（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝　45°　，∠1+∠2＝　135°　．
（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？
（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．
【分析】（1）只要证明△PDE是等腰直角三角形，四边形CDPF是矩形即可解决问题；
（2）连接PC．利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝DC，AD∥BC，
∵PA＝PD，DE＝EC，BF＝FC，
∴PD＝DE，
∴∠1＝45°，
∵PD＝FC，PD∥FC，
∴四边形CDPF是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形CDPF是矩形，
∴PF∥CD，∠PFC＝90°，
∴∠α＝∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝135°，
故答案为45°，135°．

（2）如图2中，连接PC．

∵∠1＝∠EPC+∠ECP，∠2＝∠FPC+∠FCP，
∴∠1+∠2＝∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP＝∠α+90°．

（3）如图：

①当点P在线段DA的延长线上时，由（2）可知：∠1+∠2＝∠α+90°．
②当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时，
∵∠2＝∠α+∠PKF，∠PKF＝90°+∠KEC＝90°+∠1，
∴∠2＝∠α+∠1+90°．
③当点P在直线EF的下方时，设PF交CD于K．
∵∠2＝90°+∠FKC＝90°+∠PKE＝90°+（∠1﹣∠α），
∴∠2＝90°+∠1﹣∠α．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．
（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；
（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．

【分析】（1）想办法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；
（2）想办法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，
∵BC＝AC，BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△ECF是等边三角形．

（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，
∵AB＝BC，∠EAF＝120°，
∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，
∵∠FEC＝60°，
∴∠AEF+∠CEM＝60°，
∵∠CEM+∠ECM＝60°，
∴∠AEF＝∠ECM，
∴△ECM≌△FEA（ASA），
∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
16．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；
（2）成立，延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；
【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；

（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，

∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE，
在△BCG与△DCE中
，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠HBC＝∠ODH，
∵∠BHC＝∠DHO，
∵∠HBC+∠BHC＝90°，
∴∠ODH+∠DHO＝90°，
∴∠DOH＝90°，
∴BG⊥DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
18．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．

【分析】（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
证法二、先判断出MN＝BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN＝90°．即可得出结论．
【解答】（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB＝1，DG＝2，
∴由勾股定理得BD＝，DF＝2．
∵B、D、F共线，
∴BF＝3．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF＝

（2）证法一：
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH＝∠MFH．
又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH＝MH，AB＝MF．
∵AB＝AD，
∴AD＝MF．
∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．
又∵∠DGM+∠MGF＝90°，
∴∠AGD+∠DGM＝90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH＝MH，
∴AH＝GH，AH⊥GH．

证法二：
如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM＝BD，DN＝DF．
∴∠AMD＝∠GNH＝90°，MN＝BF．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF．
∴BH＝MN．
∴BH﹣MH＝MN﹣MH．
∴BM＝HN．
∵AM＝BM＝DM，
∴AM＝HN＝DM．
∴MD+DH＝NH+DH．
∴MH＝DN．
∵DN＝GN，
∴MH＝GN．
∴△AMH≌△HNG．
∴AH＝GH，∠AHM＝∠HGN．
∵∠HGN+∠GHN＝90°，
∴∠AHM+∠GHN＝90°．
∴∠AHG＝90°．
∴AH⊥GH．
∴AH＝GH，AH⊥GH．


【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH和△AMH≌△HNG；是一道中等难度的中考常考题．
19．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．
【解答】证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．

【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．
20．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AG＝CH，BE＝DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若EG＝EH，AB＝8，BC＝4．求AE的长．

【分析】（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，由∠FHG＝∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF＝CF＝AE，设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
又∵CD＝AB，BE＝DF，
∴CF＝AE，
又∵CH＝AG，
∴△AEG≌△CFH，
∴GE＝FH，∠CHF＝∠AGE，
∴∠FHG＝∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图，连接EF，AF，
∵EG＝EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG＝CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AE，
设AE＝x，则FC＝AF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5．

【点评】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
21．如图，四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是边AD上两动点，且AE＝DF，BE与对角线AC交于点G，联结DG，DG交CF于点H．
（1）求证：∠ADG＝∠DCF；
（2）联结HO，试证明HO平分∠CHG．

【分析】（1）根据题意可得△DFC≌△AFB，△AGB≌△ADG，可得∠ADG＝∠DCF
（2）由题意可证CF⊥DG，由∠CHD＝∠COD＝90°，则D，F，O，C四点共圆，可得∠CDO＝∠CHO＝45°，可证OH平分∠CHG
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠CAB＝45°，AC⊥BD
∵DC＝AB，DF＝AE，∠CDA＝∠DAB＝90°
∴△DFC≌△AEB
∴∠ABE＝∠DCF
∵AG＝AG，AB＝AD，∠DAC＝∠CAB＝45°
∴△ADG≌△ABG
∴∠ADG＝∠ABE
∴∠DCF＝∠ADG
（2）∵∠DCF＝∠ADG，且∠ADG+∠CDG＝90°
∴∠DCF+∠CDG＝90°
∴∠CHD＝∠CHG＝90°
∵∠CHD＝∠COD
∴C，D，H，O四点共圆
∴∠CHO＝∠CDO＝45°
∴∠GHO＝∠CHO＝45°
∴HO平分∠CHG
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．

【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC交AD于M，交AC于E，
∵∠ABE＝∠DBM，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠AEM＝∠BMD，
∵∠AME＝∠BMD，
∴∠AEM＝∠AME，
∴AE＝AM，
∵∠DAC的平分线交CD于N，
∴∠MAN＝∠NAE，AN⊥ME，且AN平分ME，
在△BAO和△BNO中，
，
∴△ABO≌△NBO（ASA），
∴AO＝NO，
∴AN和ME互相垂直平分，
∴四边形AMNE是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
23．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G．
（1）BE与AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由；
（2）求AF的长．

【分析】（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠AGO＝∠BEO，则利用”AAS“可判断△AOG≌△BOE，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据面积法列式可得AF的长．
【解答】解：（1）BE＝AG，理由是：（1分）
∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝∠OAG+AEF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝BO，
∴∠AOG＝∠OAG+∠AGO＝90°，
∴∠AEF＝∠AGO，（3分）
在△AOG和△BOE中
∵
∴△AOG≌△BOE（AAS），
∴AG＝BE；（5分）
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3，
∴BO＝3，
∵OE＝1，
∴AE＝3+1＝4，
由勾股定理得：BE＝＝，
S△ABE＝BE?AF＝AE?OB，
∴××，
AF＝．（8分）
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟知正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直且相等平分，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB2
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，连接AE，DE．
（1）求证：AE＝DE
（2）过点D作DF⊥AE，垂足为F，若AB＝2cm，求DF的长．

【分析】（1）证明△ABE≌△DCE，可得结论；
（2）作辅助线，构建直角三角形，根据等腰三角形的性质得∠BCG＝30°，∠DEF＝30°，利用正方形的边长计算DE的长，从而得DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，（1分）
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，（2分）
即∠ABE＝∠DCE＝150°，（3分）
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE；（5分）
（2）解：过点E作EG⊥CD于G，（6分）
∵DC＝CE，∠DCE＝150°，
∴∠CDE＝∠CED＝15°，
∴∠ECG＝30°，（7分）
∵CB＝CD＝AB＝2，
∴EG＝1，CG＝，（8分）
在Rt△DGE中，DE＝＝＝+，（9分）
在Rt△DEF中，∠EDA＝∠DAE＝90°﹣15°＝75°
∴∠DEF＝30°，
∴DF＝DE＝（cm）．（10分）

【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性很好，难度不大．
26．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，求证：∠AEF＝90°．

【分析】设正方形的边长为4a，先依据勾股定理求得AE、AF、EF的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明△AEF为直角三角形．
【解答】证明：∵ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°．
设AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
∵E是BC的中点，且CF＝CD，
∴BE＝EC＝2a，CF＝a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2+BE2＝20a2，
同理可得：EF2＝EC2+FC2＝5a2，AF2＝AD2+DF2＝25a2，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF＝90°．
【点评】本题主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
27．如图①，正方形ABCD中，点E、F都在AD边上，且AE＝FD，分别连接BE、FC，对角线BD交FC于点P，连接AP，交BE于点G；
（1）试判断AP与BE的位置关系；
（2）如图②，再过点P作PH⊥AP，交BC于点H，连接AH，分别交BE、BD于点N，M，请直接写出图②中有哪些等腰三角形．

【分析】（1）由题意可证△ADP≌△DPC，△AEB≌△DFC可得∠DAP＝∠DCF＝∠ABE，通过角的换算可证AP⊥BE．
（2）根据正方形的性质可得△ABD，△BCD是等腰△，由AP⊥PH，∠ABC＝90°可得A，B，H，P四点共圆，可证△APH，△PHC是等腰△
【解答】解：（1）垂直，
理由是∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠CDA＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，且DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴∠DCF＝∠DAP，AP＝PC
又AE＝DF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝CD，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠ABE＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠DAP
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAP+∠AEB＝90°，即∠AGE＝90°，
∴AP⊥BE
（2）∵AB＝BC＝CD＝DA
∴△ABD，△BCD是等腰△
∵AP⊥PH，∠ABC＝90°
∴A，B，H，P四点共圆
∴∠PAH＝∠DBC＝45°
∴∠PAH＝∠PHA＝45°
∴PA＝PH
∴△APH是等腰△
∵AP＝PH，AP＝PC，
∴PC＝PH
∴△PHC 是等腰△
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键是利用这些性质解决问题．
28．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF；
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由题意可得到∠FBC+∠E＝90°，∠CDF+∠E＝90°，然后依据余角的性质求解即可；
（2）在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，然后可证明△BDM∽△CDF，由相似三角形的性质可得到BM＝FC，然后证明△CFG为等腰直角三角形，从而可得到CG＝CF，然后可得到问题的答案．
【解答】解：（1）∵ABCD为正方形，
∴∠DCE＝90°．
∴∠CDF+∠E＝90°，
又∵BF⊥DE，
∴∠FBC+∠E＝90°，
∴∠FBC＝∠CDF
（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．

∵∠BDC＝∠MDF＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵＝＝，
∴△BDM∽△CDF，
∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，
∴BM＝CF，
∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，
∴∠EFG＝∠EFC＝45°，
∴∠CFG＝90°，
∵CF＝FG，
∴CG＝CF，
∴BM＝CG，
∴BF＝BM+FM＝CG+DF．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
29．（1）如图，已知等边△ABC的边长为10，点E是AB上一点，过点E作ED⊥AC于点D，过点D作DF⊥BC于点F．
①若AE＝7，求BF的长；
②连接EF，若EF⊥AB，求AE的长；
（2）已知正方形ABCD的边长为10，点E是边AB上一点，过点E作∠AEF＝60°交边AD于点F，再过点F作∠DFG＝60°交边CD于点G，继续过点G作∠CGH＝60°交边BC于点H，连接EH，若∠BHE＝60°，请直接写出AE的长．

【分析】（1）①根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，可依次求AD，FC的长，则BF的长可求
②先证△EDF是等边三角形，再证△ADE≌△BEF≌△DFC，可得AE＝BF＝CD，BE＝CF＝AD，即可求AE的长
（2）先证EFGH是矩形，可得EF＝HG，EH＝FG，根据三角函数可求AF＝AE，BE＝BH，即可求AE的长度．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC＝10，∠A＝60°＝∠B＝∠C且DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠AED＝∠FDC＝30°
∵AE＝7，DE⊥AC，∠EAD＝30°
∴AD＝，
∴CD＝ 且DF⊥BC，∠CDF＝30°
∴CF＝
∴BF＝
②如图1连接EF

∵EF⊥AB，ED⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°
∴∠AED＝∠CDF＝∠EFB＝30°，
∴∠EDF＝∠DFE＝∠DEF＝60°
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF且∠A＝∠B＝∠C，∠AED＝∠CDF＝∠EFB＝30°
∴△ADE≌△BEF≌△DCF
∴AD＝CF＝BE，AE＝BF＝CD
∵∠EFB＝30°，EF⊥AB
∴BF＝2BE即AE＝2BE
∵AE+BE＝10
∴BE＝，AE＝
（2）

∵ABCD为正方形
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC
∵∠AEF＝∠DFG＝∠HGC＝∠EHB＝60°
∴∠GHC＝∠BEH＝∠AFE＝∠FGD＝30°，BE＝BH，AF＝AE
∴∠FEH＝∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°
∴EFGH是矩形
∴EH＝FG，EF＝HG，
∵∠A＝∠C＝90°，EF＝HG，∠AEF＝∠HGC＝60°
∴△AEF≌△HGC
∴AE＝CG，AF＝CH同理可得AF＝CH
设AE＝a，∴AF＝a，∴
∴BH＝10﹣a，
∵BE＝BH＝10﹣3a，
∵AE+BE＝10
∴10a﹣3a+a＝10
∴a＝5﹣5
∴AE＝5﹣5
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，锐角三角函数，关键是灵活运用这些性质解决问题．
30．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；
②求证：四边形ADEG是平行四边形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，
（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD．由?ABDI和?ACHG的性质证得，AC＝AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，
∴∠EDA＝α﹣45°，
∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，

②证明：∵△BDE≌△BAC，
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
【点评】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．
31．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG＝5，CF＝，求四边形BDFG的周长．

【分析】（1）利用平行线的性质得到∠CFA＝90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，
（2）利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用（1）得结论即可得证，
（3）设GF＝x，则AF＝5﹣x，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可．
【解答】（1）证明：∵AG∥BD，CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵D为AC的中点，
∴DF＝AC，
又∵BD＝AC，
∴BD＝DF，
（2）证明：∵BD∥GF，BD＝FG，
∴四边形BDFG为平行四边形，
又∵BD＝DF，
∴四边形BDFG为菱形，
（3）解：设GF＝x，则AF＝5﹣x，AC＝2x，
在Rt△AFC中，（2x）2＝+（5﹣x）2，
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），
∴GF＝2，
∴菱形BDFG的周长为8．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．
32．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（0，6），C（b，6），且满足a＝+8．
（1）请直接写出A、C、D三个点的坐标，A　（0，8）　，C　（4，6）　，D　（4，8）　；
（2）连接线段BD、OD，试求三角形BOD的面积；
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位长度匀速向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，三角形BOD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用二次根式的性质求出a、b的值即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情形分别计算即可；
【解答】解：（1）∵a＝+8，
又∵，
∴b＝4，a＝8，
∴A（0，8），C（4，6），D（4，8），
故答案为（0，8），（4，6），（4，8）；

（2）由题意：S△OBD＝×6×4＝12．

（3）存在．
理由：当长方形ABCD在x轴的上方时，BO＝6﹣t，则×4×（6﹣t）＝2×4，
解得t＝2，
当长方形ABCD在x轴的下方时，BO＝t﹣6，
则×4（t﹣6）＝2×4，
解得t＝10，
答：运动的时间2或10秒时，三角形BOD的面积与长方形ABCD的面积相等．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、二次根式的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．

【分析】首先由菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，由三角形中位线定理可求得AC的长，进而可求出菱形的周长，再求出AC的长即可求出菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴OE＝AB，EF＝AC，
∵OE＝2.5，EF＝3，
∴AB＝5，AC＝6，
∴菱形ABCD的周长为：4×5＝20；
∵AO＝AC＝3，AB＝5，
∴BO＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝24．
【点评】此题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形的性质．注意根据题意求得AC与AB的长是解此题的关键．
34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG是菱形；
（2）若AG＝11，CF＝8，求四边形BDFG的周长．

【分析】（1）首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形；
（2）设GF＝x，则AC＝2x，AF＝11﹣x．在Rt△ACF中，依据勾股定理方程求解即可．
【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形．
（2）设GF＝x，则DF＝x，AC＝2x．
∵AF＝AG﹣GF，
∴AF＝11﹣x．
在Rt△ACF中，∠AFC＝90°．
∴AF2+CF2＝AC2，
∴（11﹣x）2+82＝（2x）2，
解得：x＝5（负值已舍去）．
∴FG＝5．
∴菱形BDFG的周长＝4GF＝20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是依据题意列出关于x的方程．
35．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．
（1）求证：FG∥DE；
（2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形．

【分析】（1）依据三角形的中位线定理可得到DE∥AB且DE＝AB、FG∥AB且FG＝AB，从而可证明FG∥DE；
（2）首先证明四边形EDFG是平行四边形，然后再证明EF＝DG，最后，依据矩形的判定定理进行证明即可．
【解答】解：（1）∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB且DE＝AB．
∵点F、G分别是BO、AO的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG∥AB且FG＝AB．
∴GF∥DE．
（2）由（1）GF∥DE，GF＝DE
∴四边形EDFG是平行四边形．
∵AD、BE是BC、AC上的中线，
∴CD＝BC，CE＝AC．
又∵AC＝BC，
∴CD＝CE．
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAB＝∠CBA．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DAB＝∠EBA，
∴OB＝OA．
∵点F、G分别是OB、AO的中点，
∴OF＝OB，OG＝OA，
∴OF＝OG，
∴EF＝DG，
∴四边形EDFG是矩形．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
36．（1）如图（1），已知：正方形ABCD的对角线交于点O，E是AC上的一动点，过点A作AG⊥BE于G，交BD于F．求证：OE＝OF．
（2）在（1）的条件下，若E点在AC的延长线上，以上结论是否成立，为什么？

【分析】（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE＝∠OBE，则可根据”ASA“判断△AOF≌△BOE，从而得到OF＝OE；
（2）同样方法证明△AOF≌△BOE，仍然得到OF＝OE．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵AG⊥BE于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝∠OBE，
在△AOF和△BOE中
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OF＝OE；
（2）解：以上结论仍然成立．理由如下：
同样可证明△AOF≌△BOE（ASA），所以OF＝OE．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
37．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．
（1）求证：DM＝ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．

【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明△DCM≌△ECM得到DM＝ME；
（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
∴∠ACP＝∠BCP＝30°，
∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，
∴PD＝PE，
在Rt△DCP和Rt△ECP中
，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP，
∴CD＝CE，
在△DCM和△ECM中
，
∴△DCM≌△ECM，
∴DM＝ME；
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
理由如下：∵∠DCP＝30°，
∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，
∵PD＝PE，MD＝ME，
∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，
此时△PDM为等边三角形，
∴PD＝PM，
∴CM＝PM，
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
38．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．
（1）求证：AF＝BE；
（2）求点E到BC边的距离．

【分析】（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠MAE＝∠OBE，则利用”ASA“可判断△AOF≌△BOE，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）作EN⊥BC于N，如图，由正方形的性质得OC＝BC＝2，∠OCB＝45°，则CE＝1，然后利用△CEN为等腰直角三角形即可得到EN＝CE＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵AM⊥BE于点M，
∴∠AME＝90°，
∴∠MAE＝∠OBE，
在△AOF和△BOE中
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴AF＝BE；
（2）解：作EN⊥BC于N，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC＝BC＝×2＝2，∠OCB＝45°，
∵E是OC的中点，
∴CE＝1，
在Rt△ECN中，∵∠ECN＝45°，
∵△CEN为等腰直角三角形，
∴EN＝CE＝，
即点E到BC边的距离为．

【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
39．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．
（1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积；
（2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．

【分析】（1）只要证明△ABC是等边三角形，即可解决问题；
（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．想办法证明△BGC是等腰直角三角形，再证明△BGM≌△CGF即可解决问题；
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AE⊥BC，∠EAC＝30°，
∴∠ACE＝60°，AC＝2EC＝2，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴S菱形ABCD＝2?S△ABC＝2××（2）2＝6．

（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．

∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∵AF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∵∠BGF+∠BCF＝180°，∠AGF+∠BGF＝180°，
∴∠AGF＝∠ACB，∵∠GAF＝∠CAB
∴△AGF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，∵∠CAG＝∠BAF，
∴△CAG∽△BAF，
∴∠CGA＝∠BFA＝90°，
∵AE⊥BE，AE＝BE，
∴∠ABE＝45°，
∴∠GBC＝∠GCB＝45°，
∴GB＝GC，
∵∠BGC＝∠MGF，
∴∠BGM＝∠CGF，
∵∠GBM＝∠GCF，
∴△BGM≌△CGF，
∴BM＝CF，GM＝GF，FM＝GF，
∵∠AGC＝90°AF＝FC，
∴GF＝FC＝BM，
∴BF＝BM+FM＝GF+GF＝（+1）GF．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
40．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE、CE，作DM⊥AG于M．
（1）求证：DM＝AG；
（2）若△BCE是等边三角形，连DE，△ADE的面积为25，求BG长．

【分析】（1）先证明△ADM≌△BAG，然后依据全等三角形的性质可证明DM＝AG．
（2）过点A作AF⊥BE，垂足为F．由（1）可知AG＝MD＝GE，然后依据三角形ADE的面积为25可求得DM的长，然后再证明∠ABF＝30°，设AB＝BE＝a，则FB＝a，EF＝（+2）a，在Rt△AFE中，依据勾股定理可得到4a2＝100（2﹣），即AB2＝100（2﹣），最后，在Rt△ABG中，依据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵DM⊥AG，BG⊥AP，
∴∠AMD＝∠AGB＝90°．
∵∠DAM+∠GAB＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠GAB＝∠ADM．
在△ADM和△BAG中，∠AMD＝∠AGB＝90°，∠GAB＝∠ADM，AB＝AD，
∴△ADM≌△BAG．
∴DM＝AG．
（2）如图所示：过点A作AF⊥BE，垂足为F．

∵△BCE是等边三角形，ABCD为正方形，
∴AB＝EB，∠ABE＝150°．
∴∠ABE＝30°．
∴AF＝AB．
设AB＝BE＝a，则FB＝a，AB＝2a，EF＝（+2）a．
∵AG＝GE＝MD，△ADE的面积为25，
∴MD?AE＝MD?2MD＝25，解得MD＝5．
∴AE＝10．
在Rt△AFE中，AE2＝AF2+EF2，即[（+2）a]2+a2＝102，解得：4a2＝100（2﹣）．
∴AB2＝100（2﹣）．
∴BG＝＝＝＝5＝5＝5×（2﹣）＝10﹣5．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用、含30°直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
41．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）F为AB的中点，则线段OF与线段AE有什么位置关系和数量关系？直接写出结论，不必证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，OF＝4，求PQ的长．

【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）先证明OF为△BAE的中位线，然后依据三角形的中位线定理进行解答即可；
（3）先求得OB的长，则可得到BE的长，设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x，在Rt△APB中依据勾股定理可列出关于x的方程，然后依据菱形的面积公式可求得PQ的长．
【解答】解：（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，∠PEO＝∠QBO，OB＝OE，∠POE＝∠QOB，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）∵四边形BPEQ是菱形，
∴OB＝OE．
又∵F是AB的中点，
∴OF是△BAE的中位线，
∴AE∥OF且OF＝AE．
（3）∵AB＝6，F是AB的中点，
∴BF＝3．
∵OF∥AE，
∴∠BFO＝90°．
在Rt△FOB中，OB＝＝5．
∴BE＝10．
设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x．
在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．
由菱形的面积公式可知：×6＝×10PQ，解得：PQ＝．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，列出关于x的方程是解题的关键．
42．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．

【分析】（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED＝FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF＝HA＝BC＝DE，可得结论；
（2）AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC＝HB，证明对角线DF＝EG，可得结论．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴ED∥BC，ED＝BC．
同理FG∥BC，FG＝BC，
∴ED∥FG，ED＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AE＝BE，FH＝BF，
∴EF＝HA，
∵BC＝HA，
∴EF＝BC＝DE，
∴?DEFG是菱形；
（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，
理由是：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CD＝AC，BE＝AB，
∴CD＝BE，
在△DCB和△EBC中，
∵，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴HC＝HB，
∵点G、F分别为HC、HB的中点，
∴HG＝HC，HF＝HB，
∴GH＝HF，
由（1）知：四边形DEFG是菱形，
∴DF＝2FH，EG＝2GH，
∴DF＝EG，
∴四边形DEFG为正方形．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．
43．在菱形ABCD中，AC是对角线，CD＝CE，连接DE，点M是线段DE的中点．
（1）如图1，连接CM，若AC＝16，CD＝10，求DE的长；
（2）如图2，点F在菱形的外部，DF＝DM，且∠CDA＝∠FDE，连接FM交AD于点G，FM的延长线交AC于点N，求证：CN＝AG．

【分析】（1）过D作DP⊥AC交AC于P．想办法求出PE，DP的值即可解决问题；
（2）连接AF，CM．想办法证明△AFD≌△CME，△AFG≌△MNC即可解决问题；
【解答】解：（1）过D作DP⊥AC交AC于P．

∵DC＝AD，DP⊥AC
∴CP＝AC＝8
又∵DC＝10
∴DP＝6
∵EC＝DC＝10
∴AE＝6
∴EP＝2，DE＝＝2．

（2）连接AF，CM．

∵CD＝CE
∴∠CDE＝∠CED
又∵∠CDA＝∠FDE
∴∠FDA＝∠CDE＝∠CED
在△AFD和△CME中
，
∴△AFD≌△CME
∴∠FAD＝∠MCE AF＝CM
又∵FD＝DM
∴∠DFM＝∠DMF＝∠EMN
∵∠AFD＝∠EMC∠AFG+∠DFM＝∠CMN+∠EMN
∴∠AFG＝∠CMN
∴在△AFG和△MNC中
，
∴△AFG≌△MNC
∴CN＝AG．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
44．在菱形ABCD中，∠C＝60°，E为CD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若E为CD的中点且BE＝3，求菱形ABCD的面积．
（2）如图2，点F在BC边上，且DE＝CF，连接DF交BE于点M，连接EB并延长至点N，使得BN＝DM，求证：AN＝DM+BM．

【分析】（1）只要证明△BDC是等边三角形，求出CD即可解决问题；
（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．想办法证明△AMN，△DMH都是等边三角形，△ADH≌△BDM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵DE＝EC，
∴BE⊥CD，
∴tan60°＝，
∴EC＝，
∴CD＝2EC＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD?BE＝6．

（2）如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．

∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF，
∴∠DBE＝∠CDF，
∴∠MBF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，
∴∠DMB＝120°，
∵∠DAB+∠DMB＝180°，
∴∠ADM+∠ABM＝180°，
∵∠ABN+∠ABM＝180°，
∴∠ABN＝∠ADM，
∵AB＝AD，BN＝DM，
∴△ABN≌△ADM，
∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，
∴∠MAN＝∠DAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMB＝∠AMD＝60°，
∵MH＝MD，
∴△DMN是等边三角形，
∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，
∴∠ADH＝∠BDM，
∵AD＝DB，DH＝DM．
∴△ADH≌△BDM，
∴AH＝BM，
∵AM＝AH+HM，
∴AN＝AM＝DM+BM．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
45．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）先根据正方形的性质得：∠DBC＝∠CDB＝45°，则∠DBP＝45°﹣α，根据直角三角形斜边中线的性质可得EO＝BO，由等腰三角形性质和外角的性质可得结论；
（2）作辅助线，证明△ABE≌△CBE，则AE＝CE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OC＝OB＝OP＝OE，证明△EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP＝，所以BP＝．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，……………………………………（1分）
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，……………………………………（2分）
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；……………………………………（3分）
（2）连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，……………………………………（4分）
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO＝BO＝，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，……………………………………（5分）
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，……………………………………（6分）
∴EO2+OC2＝EC2，
∴EC＝OC＝，
即BP＝，
∴BP＝．……………………………………（7分）

【点评】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
46．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．
（1）若点F在边BC上（如图）；
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．

【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】解：（1）①证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．

∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴＝．
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．

∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．
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