第五章 特殊平行四边形解答题精选（2）（含解析）

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浙教新版八年级下学期《第5章 特殊平行四边形》解答题精选
解答题（共50小题）
1．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）若AE＝5，AD＝8，求EF的长．
（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求菱形AFCE的边长．

3．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　 　．

4．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

5．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

6．已知正方形ABCD中，点E和点G分别在边AD和BC上，连接AG交BE于点F，交BD于点K，若∠AKD＝∠FBG．

（1）如图1，求证：∠BAG＝∠EBD；
（2）如图2，连接DF并延长交AB于点H，若BH＝FH＝1，求DE长．
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，且∠DCF＝45°．
（1）若AE⊥EF，求证：AE＝EF；
（2）若AE＝EF，求证：AE⊥EF．

8．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D，BD与y轴交于点E，设点P运动的时间为t（s）．
（1）求证：△ABP≌△QPD；
（2）求t为何值时？△PBE为等腰三角形．

9．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠B＝60°，请判断四边形AECF是何特殊平行四边形，并说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是长方形，坐标A（1，0），C（0，2）原先线段EF与线段AB重叠，再从AB处出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向平移，运动时间为t秒，四边形OEFC的面积为S1，而点P从点A（与线段EF同时）出发，以每秒3个单位长度离开A点，在x轴做匀速运动，三角形ABP的面积为S2
（1）求S1（用t表示）
（2）当S2＝S1时，求OP的长；
（3）三角形ABP与长方形ABCO重叠面积为S3，当S3是长方形ABCO面积的时，直接写出直线BP与y轴的交点坐标．

11．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

12．如图，AC是?ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．

13．在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线MN分别交AB、CD于M，N．
（1）求证：AM+DN＝AD；
（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2，BD＝2，求MN的长度．

14．如图，在平行四边形ABCD中，B为BC边上的一点，连结AB、BD且AE＝AB．若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

15．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论．

16．如图，在?ABCD和?BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N，
（1）四边形BNDM一定是平行四边形吗？为什么？
（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形，请说明理由．

17．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点．连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA．连接CF、AF，且AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF＝∠FCE．
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论．

18．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD．求证：四边形AEDF是菱形．

19．已知，如图，正方形ABCD的边长为8，以点B为原点，以BD所在的直线为横轴，建立如图平面直角坐标系，写出A，C，D三个点的坐标．

20．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．

22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P是AB边长一点（不与A，B重合），PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F．当点P在AB边上什么位置时，四边形PECF是正方形？说明理由．

23．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E，试说明AC＝CE．

24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）线段OE与OF的数量关系　 　．（填空）；
（2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝　 　．（填空）；
（3）当点O运动到　 　，且∠BCA等于　 　时，四边形AECF是正方形．）（填空）

25．如图，将一块含45°角的三角尺的底角顶点固定在正方形ABCD的顶点A处，一直角边AP和斜边AQ分别与正方形的对角线BD交于点E、F，且DF＝2，BE＝3，求EF的长度．

26．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．

27．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP＝AC，BC＝4，求S△ACP；
（2）若CP﹣BM＝2FN，求证：BC＝MC．

28．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形．
（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由．

29．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E
（1）证明：△BCM≌△CAN．
（2）求∠AED的度数．
（3）证明：AE+CE＝DE．

30．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC上，∠AEF的平分线与边AD交于点G，线段EG的反向延长线与∠EFB的平分线交于点H．
（1）当∠BEF＝50°（图1），试求∠H的度数．
（2）当E，F在边AB和BC上任意移动时（不与点B重合）（图2），∠H的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠H的度数．

31．如图，在?ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝4，求?ABCD的面积．

32．已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．

33．如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒后，△BPE与△CQP全等？请说明理由．

34．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：△AEO≌△BDO；
（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并证明你的结论．

35．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M，求证：（1）△ABF≌△ADF
（2）DF＝MF．

36．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．
（1）求证：∠CEH＝45°；
（2）求证：BE+BC＝BH；
（3）若CD＝6，BH＝4，求FG的长．

37．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝　 　．若AB＝2，则△CEF的周长为　 　．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．

38．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

39．菱形ABCD的对角线交点为O，AC＝4cm，BD＝3cm，画出这个菱形ABCD并计算其面积与周长．
40．如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

41．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接BD，作AG∥DB交CB的延长线于G
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

42．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由．

43．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习特殊的四边形，即平行四边形（继续学习它们的特殊类型如矩形、菱形等）来逐步认识四边形；
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；
请解决以下问题：
如图，我们把满足AB＝AD、CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；
（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；
（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．
44．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．

45．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BEDF为菱形？请说明理由．

46．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于点D，交AF于点B，交AC于点O，连接AD、BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的两条对角线长．

47．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．且∠AED＝∠BEC，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

48．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△CDB≌△BAG．
（2）如果四边形BFDE是菱形，那么四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

49．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若BE＝2EC，S△ECF＝4，求边AB之长．
（3）试判别△FCG的形状，并说明理由．

50．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．




浙教新版八年级下学期《第5章 特殊平行四边形》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．
（2）若AE＝5，AD＝8，求EF的长．
（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

【分析】（1）由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；
（2）由（1）知菱形AEDF对角线互相垂直平分，故AO＝AD＝4，根据勾股定理得EO＝3，从而得到EF＝6；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
【解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
∵，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）∵EF垂直平分AD，AD＝8，
∴∠AOE＝90°，AO＝4，
在RT△AOE中，∵AE＝5，
∴EO＝＝3，
由（1）知，EF＝2EO＝6；
（3）当△ABC中∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求菱形AFCE的边长．

【分析】（1）根据全等推出OE＝OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出AF＝CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
设AF＝xcm，则CF＝xcm，BF＝（8﹣x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即AF＝5cm．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．
3．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　　．

【分析】拓展：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE＝DG；
应用：由AD∥BC，BE＝DG，可得S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝8，又由AE＝2ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
【解答】解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠A，∠ECG＝∠F．
∵∠A＝∠F，
∴∠BCD＝∠ECG．
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECG﹣∠ECD，
即∠BCE＝∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．（6分）

应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE＝DG，
∴S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝8，
∵AE＝2ED，
∴S△CDE＝×8＝，
∴S△ECG＝S△CDE+S△CDG＝，
∴S菱形CEFG＝2S△ECG＝．
故答案为：．（9分）
【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
4．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

【分析】（1）延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
【解答】（1）证明：如图①，延长AE交BC的延长线与点M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，
∴∠DAM＝∠M，
又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，
∴AF＝FM，
∴FE⊥AE．

（2）解：EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如图③，延长AE交BC的延长线与点M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，
∴∠DAM＝∠M，
又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，
∴AF＝FM，
∴FE⊥AE．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．
5．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OC＝OF，
∴OE＝OF．

（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO＝CO，EO＝FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA＝∠AOM，
∴∠BCA＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．
6．已知正方形ABCD中，点E和点G分别在边AD和BC上，连接AG交BE于点F，交BD于点K，若∠AKD＝∠FBG．

（1）如图1，求证：∠BAG＝∠EBD；
（2）如图2，连接DF并延长交AB于点H，若BH＝FH＝1，求DE长．
【分析】（1）由∠AKD＝∠FBG，可得∠ABD+∠BAG＝∠DBC+∠EBD，只要证明∠ABD＝∠DBC＝45°即可解决问题；
（2）如图2中，作EP∥BD交AB于P，连接PF．AF交AF于O．只要证明DE＝BP，BH＝HF＝PH即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，


∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵∠AKD＝∠FBG，
∴∠ABD+∠BAG＝∠DBC+∠EBD，
∴∠BAG＝∠EBD．

（2）解：如图2中，作EP∥BD交AB于P，连接PF．AF交AF于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵EP∥BD，
∴∠APE＝∠ABD，∠AEP＝∠ADB，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∵AB＝AD，
∴PB＝DE，
∵∠OFE＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠EBD＝45°，
∴∠APO＝∠EFO，∵∠AOP＝∠EOF，
∴△AOP∽△EOF，
∴＝，
∴＝，∵∠AOE＝∠POF，
∴△AOE∽△POF，
∴∠POF＝∠AEO＝45°，
∴∠PFE＝∠BFP＝90°，
∵BH＝FH，
∴∠HBF＝∠HFB，
∵∠HFB+∠BPF＝90°，∠HFB+∠PFH＝90°，
∴∠HPF＝∠HFP，
∴FH＝PH＝BH＝1，
∴PB＝2，
∴DE＝PB＝2，
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，且∠DCF＝45°．
（1）若AE⊥EF，求证：AE＝EF；
（2）若AE＝EF，求证：AE⊥EF．

【分析】（1）在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME，利用△AME≌△BCF求解即可；
（2）根据题意，通过作辅助线构造出直角三角形；借助正方形的性质及勾股定理等知识判断出线段BE＝FG，进而可以判断出△ABE≌△EGF，问题即可解决．
【解答】（1）证明：如图，在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°．
∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°．
∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
在△AME和△BCF中，∠BAE＝∠CEF，AM＝EC，∠AME＝∠ECF，
∴△AME≌△BCF（ASA）．
∴AE＝EF．
（2）证明：过点F作FG⊥CG于点G
设正方形的边长为a，BE＝x，FG＝y；
∵四边形ABCD为正方形，且CF为外角平分线，
∴∠FCG＝45°，故∠CFG＝∠FCG＝45°；
∴CG＝FG＝y，EG＝a﹣x+y；
∵AE＝EF，
∴AE2＝EF2；
由勾股定理得：AE2＝a2+x2，EF2＝（a﹣x+y）2+y2，
故a2+x2＝（a﹣x+y）2+y2，
∵（a﹣x+y）2+y2＝（a﹣x）2+2（a﹣x）y+y2+y2
＝a2﹣2ax+x2+2ay﹣2xy+2y2
＝a2+x2﹣2（x﹣y）（a+y）
∴a2+x2＝a2+x2﹣2（x﹣y）（a+y）
∴2（x﹣y）（a+y）＝0，
∵a+y＞0，
∴x﹣y＝0，x＝y
在Rt△ABE与Rt△EGF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△EGF（HL），
∴∠BAE＝∠GEF；
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠GEF＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
故AE⊥EF．

【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用等问题；解题的关键是准确把握题意，通过作辅助线构造出一对全等三角形；对综合运用能力提出了较高的要求．
8．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动，连结BP，过P点作BP的垂线，与过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D，BD与y轴交于点E，设点P运动的时间为t（s）．
（1）求证：△ABP≌△QPD；
（2）求t为何值时？△PBE为等腰三角形．

【分析】（1）先根据速度和时间得：AO＝PQ＝AB，再根据互余判断出∠APB＝∠PDQ，进而证明△ABP≌△QPD；
（2）由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．
【解答】解：（1）如图1，
由题可得：AP＝OQ＝1×t＝t（秒）
∴AO＝PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB，
∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD＝90°．
∴∠BPA＝90°﹣∠DPQ＝∠PDQ．
∵AO＝PQ，AO＝AB，
∴AB＝PQ．
在△BAP和△PQD中，
，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
（2）分三种情况：
①若PB＝PE，则∠PBE＝∠PEB＝45°，
∴∠BPE＝90°，
∵∠BPD＝90°，
∴∠BPE＝∠BPD，
∴E与D重合，Q与O重合，
此时与已知DQ∥y轴相矛盾，
∴这种情况不成立；

②若EB＝EP，如图2，
则∠PBE＝∠BPE＝45°．
∴∠BEP＝90°．
∴∠PEO＝90°﹣∠BEC＝∠EBC．
在△POE和△ECB中，
，
∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE＝CB＝OC．
∴点E与点C重合，点P与点O重合．
∵点B（﹣4，4），
∴AO＝CO＝4．
此时t＝AP＝AO＝4．

③若BP＝BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP＝CE．
∵AP＝t，
∴CE＝t．
∴PO＝EO＝4﹣t．
∵∠POE＝90°，
∴PE＝＝（4﹣t）．
延长OA到点F，使得AF＝CE＝t，连接BF，如图3所示．
在△FAB和△ECB中，
，
∴△FAB≌△ECB．
∴FP＝EP，
即t+t＝（4﹣t）
t＝4﹣4．
综上所述，当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形．



【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为45°的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．
9．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠B＝60°，请判断四边形AECF是何特殊平行四边形，并说明理由．

【分析】（1）想办法证明AF＝EC，AF∥EC即可解决问题；
（2）理由等边三角形三线合一的性质，证明AE⊥BC即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AF＝DF，BE＝CE，
∴AF＝CE且AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：结论：四边形AECF是菱形．
理由：∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BE＝EC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是长方形，坐标A（1，0），C（0，2）原先线段EF与线段AB重叠，再从AB处出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向平移，运动时间为t秒，四边形OEFC的面积为S1，而点P从点A（与线段EF同时）出发，以每秒3个单位长度离开A点，在x轴做匀速运动，三角形ABP的面积为S2
（1）求S1（用t表示）
（2）当S2＝S1时，求OP的长；
（3）三角形ABP与长方形ABCO重叠面积为S3，当S3是长方形ABCO面积的时，直接写出直线BP与y轴的交点坐标．

【分析】（1）利用矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意有两种情形；
（3）由题意点P在点A的左侧．当PB经过OC的中点时，满足条件；
【解答】解：（1）S1＝2（t+1）＝2t+2．

（2）由题意×3t×2＝2t+2，
解得t＝2，
∴OP＝1+6＝7或OP＝6﹣1＝5；

（3）由题意点P在点A的左侧．当PB经过OC的中点时，满足条件，
∴直线BP与y轴的交点坐标为（0，1）．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考常考题型．
11．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

【分析】（1）依据AD∥BG，AG∥BD，即可得到四边形GBD是平行四边形；
（2）根据已知条件证明BE＝DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，再证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥BG，
又∵AG∥BD，
∴四边形GBD是平行四边形；

（2）四边形DEBF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD．
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝DE，
∴平行四边形DEBF是菱形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半．
12．如图，AC是?ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC＝∠BCA，再由已知条件得出∠BAC＝∠BCA，即可得出AB＝BC，进而证明是菱形即可；
（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，OB＝OD＝BD，由勾股定理求出OB，得出BD，?ABCD的面积＝AC?BD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，OB＝OD＝BD，
∴OB＝＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴?ABCD的面积＝AC?BD＝×2×2＝2．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
13．在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线MN分别交AB、CD于M，N．
（1）求证：AM+DN＝AD；
（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2，BD＝2，求MN的长度．

【分析】（1）证明△AOM≌△CON，可得结论；
（2）证明△AOM∽△ABO，列比例式：，可得OM的长，由（1）中的全等可得：MN＝2OM，代入可得MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AB∥CD，AD＝CD，
∴∠MAC＝∠NCA，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴AM＝CN，
∴DC＝DN+CN＝DN+AM，
∴AD＝AM+DN；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABO＝∠OBC，AC⊥BD
∵AC＝2，BD＝2，
∴AO＝，OB＝，
由勾股定理得：AB＝＝3，
∵∠AOM＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠AOM，
∵∠BAO＝∠MAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴，
∴，
∴OM＝，
∴MN＝2OM＝2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到线段的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，B为BC边上的一点，连结AB、BD且AE＝AB．若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

【分析】先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，故∠ADB＝∠DBC．再由AE＝AB得出∠ABE＝∠AEB．根据∠AEB＝2∠ADB，可知∠ABE＝2∠DBC．由此可得出AD＝AB，进而得出结论；
【解答】证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC．
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB．
∵∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠DBC．
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形与菱形的关系是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论．

【分析】（1）结合图形进行猜想；
（2）证明△ADE≌△FCD，根据全等三角形的性质定理证明．
【解答】解：（1）AD＝CF；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠CDF＝∠AED，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC，
在△ADE和△FCD中，
，
∴△ADE≌△FCD，
∴AD＝CF．
【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16．如图，在?ABCD和?BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N，
（1）四边形BNDM一定是平行四边形吗？为什么？
（2）当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形，请说明理由．

【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形BNDM是平行四边形即可；
（2）添加条件AB＝BF，运用AAS可证明Rt△ABM≌Rt△FBN，得BM＝BN．根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证．
【解答】证明：（1）∵在?ABCD和?BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N，
∴BC∥AD，BE∥DF，
∴四边形BNDM是平行四边形，
（2）当AB＝BF时，四边形BNDM是菱形．
∵∠ABM+∠MBN＝90°，∠MBN+∠FBN＝90°，
∴∠ABM＝∠FBN．
在△ABM和△FBN中，
，
∴△ABM≌△FBN（ASA），
∴BM＝BN，
∴四边形BNDM是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定及矩形的性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点．连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA．连接CF、AF，且AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF＝∠FCE．
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH＝AB，BP＝FH进一步得出BP+PC＝PC+CH，CH＝BP＝FH，∠FHC＝90°，求得∠DCF＝90°﹣45°＝45°得出结论；
（2）延长PB至K，使BK＝DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90°，AB＝BC，
∴∠BAP+∠APB＝90°，
∵AP⊥PF，
∴∠APB+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BAP，
在△BAP和△HPF中，∠ABP＝∠PHF，
在△BAP和△HPF中，
，
∴△BAP≌△HPF（AAS），
∴PH＝AB，BP＝FH，
∴PH＝BC，
∴BP+PC＝PC+CH，
∴CH＝BP＝FH，而∠FHC＝90°．
∴∠FCH＝CFH＝45°，
∴∠DCF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCF＝∠FCE；
（2）PG＝PB+DG．
证明：如图，延长PB至K，使BK＝DG，连接AK，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABK＝ADG＝90°，
在△ABK和△ADG中，
，
∴△ABK≌△ADG（SAS），
∴AK＝AG，∠KAB＝∠GAD，
而∠APF＝90°，AP＝PF，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴∠BAP+∠KAB＝∠KAP＝45°＝∠PAF，
在△KAP和△GAP中，
，
∴△KAP≌△GAP（SAS），
∴KP＝PG，
∴KB+BP＝DG+BP＝PG，
即PG＝PB+DG．
【点评】此题考查了正方形的性质以及三角形全等的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的性质得出结论．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD．求证：四边形AEDF是菱形．

【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：连接EF，

∵EF垂直平分AD．
∴AE＝ED，AF＝DF，∠AOE＝∠AOF＝90°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AEO与△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝DF＝ED，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握四条边相等的四边形是菱形．
19．已知，如图，正方形ABCD的边长为8，以点B为原点，以BD所在的直线为横轴，建立如图平面直角坐标系，写出A，C，D三个点的坐标．

【分析】连接AC交BD于E，根据正方形的性质得出AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，AB＝AD＝CD＝BC＝8，根据勾股定理求出AE＝4，即可得出答案．
【解答】解：
连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即AC⊥x轴，AE＝BE＝CE＝DE，AB＝AD＝CD＝BC＝8，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
2AE2＝82，
解得：AE＝4（负数舍去），
即AE＝BE＝DE＝CE＝4，BD＝4+4＝8，
所以A点坐标为（，），
C点坐标为（，），
D点坐标为（，0）．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，勾股定理等知识点，能熟记正方形的性质是解此题的关键．
20．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．

【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE＝OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．
【解答】解：四边形AFCE是菱形，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴＝，
∵AO＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出OE＝OF，题目比较典型，难度适中．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．

【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB＝AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．
（2）根据∠AOE＝60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
又∵AB＝AC，
∴DE＝AC．
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠ADC＝90°，
又∵D为BC中点，
∴CD＝BD．
∴CD∥AE，CD＝AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．

（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO＝EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO＝4，
故AC＝8．

【点评】考查了矩形的判定与性质，二者相结合是常见的出题方式，要注意灵活运用等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形中位线定理．
22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P是AB边长一点（不与A，B重合），PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F．当点P在AB边上什么位置时，四边形PECF是正方形？说明理由．

【分析】由（1）知四边形PECF是矩形，要使其为正方形，只需相邻两条边相即可．先假设其两邻边相等，即PE＝PF，在假设其为一未知量x，通过相似三角形求其具体的值．
【解答】解：结论：P运动到线段AB的中点时，四边形PECF是正方形．
理由：∵PE⊥BC，
∴∠PEC＝90°，
同理：∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∵P运动到线段AB的中点时，PA＝PB，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，∵∠AFP＝∠PEB，
∴△APF≌△BPE，
∴PE＝PF，
∴四边形PECF是正方形．

【点评】本题考查正方形及矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．属于中考常考题型．
23．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E，试说明AC＝CE．

【分析】由矩形的性质，可得AC＝BD，欲求AC＝CE，证BD＝CE即可．可通过证四边形BDEC是平行四边形，从而得出BD＝CE的结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AC＝BD，
AD∥BC．
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
∴BD＝EC，
∴AC＝CE．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）线段OE与OF的数量关系　OE＝OF　．（填空）；
（2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝　5　．（填空）；
（3）当点O运动到　AC的中点处　，且∠BCA等于　90°　时，四边形AECF是正方形．）（填空）

【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义，由角相等得出边相等；
（2）先求得∠ECF＝90°，再依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到OC长；
（3）利用四边形AECF是正方形，即可得到点O的位置以及∠BCA的度数．
【解答】解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴OE＝OC．
同理可证OC＝OF．
∴OE＝OF．
故答案为：OE＝OF．

（2）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠ACB，∠5＝∠ACD，
∴∠ECF＝∠2+∠5＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△ECF是直角三角形，
又∵CE＝8，CF＝6，
∴由勾股定理得EF＝10，
∵OE＝OF，
∴Rt△CEF中，CO＝EF＝5，
故答案为：5；

（3）当点O运动到AC的中点时，且∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由（1）可得OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
由（2）可得∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形，∠5＝∠6＝45°，∠2＝∠3＝45°，
∴∠3＝∠6，
∴CE＝CF，
∴平行四边形AECF是正方形．
故答案为：AC的中点处，90°．

【点评】本题考查的是平行线、角平分线、正方形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，在解答此类题目时要注意：有一个角为直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
25．如图，将一块含45°角的三角尺的底角顶点固定在正方形ABCD的顶点A处，一直角边AP和斜边AQ分别与正方形的对角线BD交于点E、F，且DF＝2，BE＝3，求EF的长度．

【分析】把△ADF绕点A顺时针旋转90°，可得△ABG，连接GE，利用旋转的性质即可得到∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，∠ADF＝∠ABG＝45°，BG＝DF＝2，判定△AEG≌△AEF，即可得出EF＝EG，再根据勾股定理求得GE的长，即可得到EF的长．
【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°，可得△ABG，连接GE，

由旋转可得，∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，∠ADF＝∠ABG＝45°，BG＝DF＝2，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°，即∠GAE＝45°＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝EG，
∵∠EBG＝45°+45°＝90°，
∴Rt△BEG中，GE＝＝＝，
∴EF＝．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决问题的关键是利用旋转变换，构造全等三角形．
26．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．

【分析】延长EB使得BG＝DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF＝AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG＝∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF＝90°即可解题．
【解答】解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
可得△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°
∴∠EAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的是关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP＝AC，BC＝4，求S△ACP；
（2）若CP﹣BM＝2FN，求证：BC＝MC．

【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝4，∠ADC＝∠CDP＝∠ABC＝∠BCD＝90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；
（2）在CF上截取NG＝FN，连接BG，则CF﹣CG＝2FN，证出∠BCF＝∠DCP，由ASA证明△BCF≌△DCP，得出CF＝CP，证出CG＝BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出∠AMB＝∠BGC，因此∠BMC＝∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF＝BG，得出∠BFG＝∠BGF，因此∠BMC＝∠CBM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝4，∠ADC＝∠CDP＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AC＝＝4，
∴AP＝AC＝×4＝，
∴S△ACP＝AP×CD＝××4＝7

（2）证明：在CF上截取NG＝FN，连接BG，如图1所示：

则CF﹣CG＝2FN，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF＝90°，
∴∠BCF＝∠DCP，
在△BCF和△DCP中，
，
∴△BCF≌△DCP（ASA），
∴CF＝CP，
∵CP﹣BM＝2FN，
∴CG＝BM，
∵∠ABC＝90°，BM⊥CF，
∴∠ABM＝∠BCG，∠BFG＝∠CBM，
在△ABM和△BCG中，
，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴∠AMB＝∠BGC，
∴∠BMC＝∠BGF，
∵GN＝FN，BM⊥CF，
∴BF＝BG，
∴∠BFG＝∠BGF，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，问题（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．
28．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是正方形．
（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由．

【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，证出AH＝BE＝CF＝DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF＝90°，即可得出结论；
（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA＝OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCG，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA＝OC，OE＝OG，
即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等．
29．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E
（1）证明：△BCM≌△CAN．
（2）求∠AED的度数．
（3）证明：AE+CE＝DE．

【分析】（1）由题意可得△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN．
（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM＝∠CAN，推出∠AEM＝∠ACE+∠EAC＝∠ACE+∠BCM＝60°．作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．由△DGA≌△DHC，推出DG＝DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG＝∠DEH，即可得到∠AED的度数．
（3）由（2）可知，∠GED＝60°，在Rt△DEG中，由∠EDG＝30°，推出DE＝2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG＝EH，推出EA+EC＝EG+AG+EH﹣CH，由△DGA≌△DHC，推出GA＝CH，推出EA+EC＝2EG＝DE．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN（SAS）．

（2）∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM＝∠CAN，
∴∠AEM＝∠ACE+∠EAC＝∠ACE+∠BCM＝60°．
如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．

∵∠AEM＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵∠DGE＝∠H＝90°，
∴∠GEH+∠GDH＝180°，
∴∠GDH＝∠ADC＝60°，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC（AAS），
∴DG＝DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG＝∠DEH，
∴DE平分∠AEC，
即∠AED＝60°．

（3）证明：由（2）可知，∠GED＝60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG＝30°，
∴DE＝2EG，
在△DEG和△DEH中，
，
△DEG≌△DEH（AAS），
∴EG＝EH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA＝CH，
∴EA+EC＝EG+AG+EH﹣CH＝2EG＝DE，
即EA+EC＝ED．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定定理以及直角三角形的性质等知识的综合运用．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会证明角平分线添加辅助线的方法．
30．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC上，∠AEF的平分线与边AD交于点G，线段EG的反向延长线与∠EFB的平分线交于点H．
（1）当∠BEF＝50°（图1），试求∠H的度数．
（2）当E，F在边AB和BC上任意移动时（不与点B重合）（图2），∠H的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠H的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠EFB＝40°，所以∠EFH＝20°，又由平角定义，可求∠AEF＝130°，所以∠GEF＝65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得∠H＝45度．
（2）运用（1）中的计算方法即可得到，∠H的大小不发生变化．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∠BEF＝50°，
∴∠EFB＝40°．
∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，
∴∠GEF＝65°，∠EFH＝20°．
∵∠GEF＝∠H+∠EFH，
∴∠H＝65°﹣20°＝45°．

（2）不变化．
∵∠B＝90°，
∴∠EFB＝90°﹣∠BEF．
∵GE是∠AEF的平分线，HF是∠BFE的平分线，
∴∠GEF＝∠AEF＝（180°﹣∠BEF），∠EFH＝∠EFB＝（90°﹣∠BEF）．
∵∠GEF＝∠H+∠EFH，
∴∠H＝∠GEF﹣∠EFH＝（180°﹣∠BEF）﹣（90°﹣∠BEF）＝45°．

【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的内角和是180°的定理．解题时注意：矩形的四个角都是直角．
31．如图，在?ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝4，求?ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由已知条件得出AM∥CN，AM＝CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA＝90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
（2）根据∠B＝60°，BC＝4，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出?ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC＝BC，AM＝BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形．

（2）∵∠B＝60°，BC＝4，∠BMC＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴Rt△BCM中，BM＝BC＝2，CM＝2，
∵AC＝BC，CM⊥AB，
∴AB＝2BM＝4，
∴?ABCD的面积为AB×CM＝4×2＝8．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
32．已知：四边形ABCD是矩形，它的对角线AC、BD交于点O，过C作CE∥BD，过D作DE∥AC，DE、CE交于E．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？证明你的结论．

【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质得出OC＝OD，证出四边形OCED是菱形即可．
（2）先证明四边形OCED是平行四边形，由正方形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，即可得出四边形OCED是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形．
（2）四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解决问题的关键．
33．如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒后，△BPE与△CQP全等？请说明理由．

【分析】分两种情况讨论：若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP；若△BPE≌△CPQ，则BP＝CP＝5厘米，BE＝CQ＝6厘米；依据点Q的运动速度与点P的运动速度相等，即可得到结论．
【解答】解：若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，
∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，
∴BE＝CP＝6厘米，
∴BP＝10﹣6＝4厘米，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，
∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；
若△BPE≌△CPQ，则BP＝CP＝5厘米，BE＝CQ＝6厘米，
∵5÷2＝2.5（秒），6÷2＝3（秒），2.5≠3，
∴△BPE≌△CPQ不合题意；
综上所述，经过2秒后，△BPE与△CQP全等．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意分类思想的运用．
34．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
（1）求证：△AEO≌△BDO；
（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并证明你的结论．

【分析】（1）根据中点的定义可得EC＝AC，然后得到DB＝AE，然后利用平行线的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BEA＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴EC＝AC，
∵DB＝AC，
∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴∠DBO＝∠EAO，∠BDO＝∠AEO，
在△AEO与△BDO中，
，
∴△AEO≌△BDO；
（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．
理由如下：∵E是AC的中点，
∴AE＝AC，
∵DB＝AC，
∴DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB＝BC，E为AC中点，
∴∠AEB＝90°，
∴平行四边形DBEA是矩形，
即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键．
35．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M，求证：（1）△ABF≌△ADF
（2）DF＝MF．

【分析】（1）依据正方形的性质，即可得到AD＝AB，∠BAF＝∠DAF＝45°，进而得出△ABF≌△ADF；
（2）先判定△ADE≌△BCE，得到AE＝BE，再根据△CEF∽△ABF，得出BF＝BE，根据△BFM∽△BEA，可得MF＝AE，进而得到BF＝MF，最后根据BF＝DF，可得DF＝MF．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAF＝∠DAF＝45°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS）；

（2）∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△BCE，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，
∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴，即BF＝BE，
∵MF∥AE，
∴△BFM∽△BEA，
∴，即，
∴MF＝AE，
∴BF＝MF，
又∵BF＝DF，
∴DF＝MF．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．
36．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH．
（1）求证：∠CEH＝45°；
（2）求证：BE+BC＝BH；
（3）若CD＝6，BH＝4，求FG的长．

【分析】（1）如图1中，连接CG．只要证明△ECG是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图2中，作HM⊥BC于M，HN⊥AB于N．只要证明四边形BMHN是正方形，△HNE≌△HMC即可解决问题；
（3）由△GFH∽△HCM，可得＝，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠ADC＝∠CDG＝∠BCD＝90°，BE＝DG，
∴△CBE≌△CDG，
∴∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴∠ECG＝∠BCD＝90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴∠CEH＝45°．

（2）如图2中，作HM⊥BC于M，HN⊥AB于N．

∵∠EBC＝∠EHC＝90°，
∴∠EBC+∠EHC＝180°，
∴E、B、C、H四点共圆，
∴∠HBC＝∠HEC＝45°，
∴∠HBN＝∠HBM＝45°，
∵HM⊥BC，HN⊥BA，
∴HM＝HN，
易知HE＝HC，BN＝BM＝HM＝HN，
∴△HNE≌△HMC，
∴NE＝CM，
∴EB+BC＝BN﹣EN+BM+CM＝2BM＝BH．

（3）∵BC＝CD＝6，BH＝4，BE+BC＝BH＝8，
∴BE＝2，BM＝BN＝HN＝HM＝4，CM＝2，
在Rt△BEC中，EC＝＝2，
∴EH＝CH＝GH＝2，
∵AG∥BC，
∴∠GFH＝∠HCM，∵∠FHG＝∠HMC，
∴△GFH∽△HCM，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝5．
【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．
37．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF＝　EF　．若AB＝2，则△CEF的周长为　4　．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，证△ADF≌△ABH，△FAE≌△HAE，根据全等三角形的性质得出EF＝HE＝BE+HB进而求出即可；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案．
【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，

∵在正方形ABCD中，
∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，
在△ADF和△ABH中，
∵，
∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，
∴∠FAH＝90°，
∴∠EAF＝∠EAH＝45°，
在△FAE和△HAE中，
∵，
∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF＝HE＝BE+HB，
∴EF＝BE+DF，
∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝4．
故答案为：EF；4．
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，
即∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的综合应用．作出辅助线延长EB至H，使BH＝DF，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．
38．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】（1）P、N两点重合，即AP+DN＝AD＝BC，联立方程解答即可；
（2）把P、N两点分两种情况讨论，点P在点N的左侧或点P在点N的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可．
【解答】解：（1）当点P与点N重合时，由x2+2x＝24，得
x1＝4、x2＝﹣6（舍去）
所以x＝4时点P与点N重合．
（2）因为当N点到达A点时，x2＝24，解得：
∴此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧，
①如图1，当点P在点N的左侧时，由24﹣（x+3x）＝24﹣（2x+x2），解得x1＝0（舍去），x2＝2；
故当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；

②如图2，当点P在点N的右侧时，由24﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣24，解得x＝﹣3+或﹣3﹣（舍去）；
故当x＝﹣3+时四边形NQMP是平行四边形；

综上：当x＝2或﹣3+时四边形NQMP是平行四边形．
【点评】此题主要考查借助图形的性质找出数量关系，联立方程解决问题，并渗透分类讨论思想．
39．菱形ABCD的对角线交点为O，AC＝4cm，BD＝3cm，画出这个菱形ABCD并计算其面积与周长．
【分析】根据勾股定理求得菱形的边长，然后求周长；根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半即可求解；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，BD＝3cm，
∴AO＝AC＝2cm，BO＝BD＝cm，AC⊥DB，AB＝BC＝AD＝DC，
∴AB＝＝cm，
∴这个菱形的周长是＝4AB＝10cm．
∵AC＝4cm，BD＝3cm
∴菱形的面积＝×4×3＝6cm2．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
40．如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．

【分析】过C作CH⊥AB于H，过G作GO⊥EA交EA延长线于O，推出∠O＝∠CHA＝90°，根据正方形的性质得出AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，求出∠GAO＝∠CAH，证△AGO≌△ACH，推出GO＝CH，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：△ABC和△AEG的面积相等．
理由：过C作CH⊥AB于H，过G作GO⊥EA交EA延长线于O，则∠O＝∠CHA＝90°，
∴∠EAG+∠GAO＝180°，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，
∴∠EAG+∠HAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠GAO＝∠CAH，
在△AGO和△ACH中，
，
∴△AGO≌△ACH（AAS），
∴GO＝CH，
∵AE＝AB，S△ABC＝AB×CH，S△ACH＝AE×GO，
∴△ABC和△AEG的面积相等．

【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出AE＝AB和边上的高GO＝CH．
41．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接BD，作AG∥DB交CB的延长线于G
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

【分析】（1）只要证明AE＝CF，∠C＝∠EAD，BC＝AD，即可根据SAS证明△ADE≌△CDF．
（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD＝CB，AB＝CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴，∴AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）答：当四边形AGBD是矩形时，四边形BEDF是菱形．
证明：∵△ADE≌△CBF
∴DE＝BF
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴.，，
∵AB＝CD
∴BE＝DF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB＝90°
∵点E是AB的中点，
∴DE＝BE．
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
42．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由．

【分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE＝BE＝DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3＝90°即∠ADB＝90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．
∴AE＝CF．
在△AED和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝DE．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴2∠2+2∠3＝180°．
∴∠2+∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴?四边形AGBD是矩形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
43．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习特殊的四边形，即平行四边形（继续学习它们的特殊类型如矩形、菱形等）来逐步认识四边形；
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；
请解决以下问题：
如图，我们把满足AB＝AD、CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；
（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；
（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明．
【分析】（1）由条件可判定AC为BD的垂直平分线，则可得出相关性质；
（2）可以利用全等三角形来证明相关的性质．
【解答】解：（1）性质1：只有一组对角相等（或者∠B＝∠D，∠A≠∠C）；
性质2：只有一条对角线平分对角；
也可参考：
性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；
性质4：两组对边都不平行；
（2）判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形；
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形；
判定方法有如下参考选项：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝CD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法5：AC⊥BD，AB＝CD，∠A≠∠C．
判定方法1的证明：
已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D．
求证：四边形ABCD是筝形．
证明：∵∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴AB＝CD，CB＝CD，①
易知AC⊥BD．
又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC．②
由①、②知四边形ABCD是筝形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，把四边形转化成两个全等三角形是解题的关键．
44．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．

【分析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；
（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．
【解答】（1）证明：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：
∵正方形边长为4，
∴BD＝AC＝4，
∵AE＝CF＝，
∴EF＝AC﹣2＝2，
∴S菱形BEDF＝BD?EF＝×4×2＝8．

【点评】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
45．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BEDF为菱形？请说明理由．

【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE＝ED，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：当∠DOE＝90°时，四边形BFED为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，
∴BF＝DE，
又∵BF∥DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BO＝DO，∠EOD＝90°，
∴EB＝DE，
∴四边形BFED为菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
46．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于点D，交AF于点B，交AC于点O，连接AD、BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的两条对角线长．

【分析】（1）只要证明AB＝BC＝CD＝DA即可；
（2）只要证明△ADB是等边三角形即可解决问题；
（3）只要证明△BDC是等边三角形，求出BD、OC即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC，
∵四边形AFCG是矩形，
∴CG∥AF，
∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO，
∴△COD≌△AOB，
∴CD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝DB，
∵AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴∠DBA＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠BDC＝∠DBA＝60°．

（3）∵∠BDC＝60°，CB＝CD，
∴△CDB是等边三角形，
∴BC＝CD＝BD＝AB＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC＝2OC＝2××1＝，
∴菱形ABCD的两条对角线长分别为1或．

【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
47．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．且∠AED＝∠BEC，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

【分析】（1）由D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，易证得EF＝BC，EF∥BC，即可判定四边形BCFE是平行四边形，又由EF＝BE，即可证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠BCF＝120°，易证得△EBC是等边三角形，又由CE＝4，即可求得菱形BCFE的高，继而求得菱形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵∠AED＝∠BEC，
∴∠CEF＝∠CEB，
∵∠CEF＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
∵EF＝BE，
∴BC＝BE＝EF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵BE＝BC
∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为：4×2＝8．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意利用三角形的中位线证得DE∥BC且2DE＝BC以及证得△EBC是等边三角形是解此题的关键．
48．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△CDB≌△BAG．
（2）如果四边形BFDE是菱形，那么四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【分析】（1）想办法证明CD＝BA，∠DCB＝∠ABG，CB＝BG即可解决问题；
（2）结论：四边形AGBD是矩形．只要证明四边形ADBG是平行四边形，∠ADB＝90°即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，CD＝BA，
∴∠C＝∠ABG，
∵AG∥BD
∴四边形ADBG是平行四边形，
∴AD＝BG，
∴BG＝CB，
∴△CDB≌△BAG．

（2）解：结论：四边形AGBD是矩形．
理由：∵四边形BEDF是菱形，
∴BE＝DE＝AE，
∴∠ADB＝90°，
∵四边形ADBG是平行四边形，
∴四边形ADBG是矩形．

【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
49．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）若BE＝2EC，S△ECF＝4，求边AB之长．
（3）试判别△FCG的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE＝EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；
（2）利用全等三角形的性质得出AB＝EG，BE＝GF，设EC＝x，根据S△ECF＝4，求出x的值，进而求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的判定可得△FCG是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠GEF＝∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE＝∠EGF＝90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；

（2）解：∵△ABE≌△EGF，
∴AB＝EG，BE＝GF，
设EC＝x，则BE＝GF＝2EC＝2x．
∵S△ECF＝4，
∴x?2x＝4，
∴x＝2，
∴AB＝BC＝3x＝6；

（3）∵FG⊥BC，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，
∴∠G＝90°，
∵BC＝AB＝EG，
∴BE＝CG，
∴CG＝FG，
∴△FCG是等腰直角三角形．

【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
50．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1
①证明：∠DAH＝∠DCH
②猜想△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，MG．若MG＝2.5，正方形边长为4，求BE的长．

【分析】（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；
②只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题①如图当点F在线段CD上时，连接DE．②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．分别求出EC即可解决问题；
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，
在△DAH和△DCH中，
，
∴△DAH≌△DCH，
∴∠DAH＝∠DCH；
②解：结论：△GFC是等腰三角形，
理由：∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形．

（2）①如图当点F在线段CD上时，连接DE．

∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC+CE＝4+3＝7．
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．

同法可GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．
综上所述，BE的长为7或1．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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