5.2菱形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
2．如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点B（4，2）将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（ ）
A．（﹣2，4） B．（﹣2.5，2） C．（﹣1.5，2） D．（﹣2，1.5）
3．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
7．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：
①BE⊥AC；
②EG＝GF；
③△EFG≌△GBE；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是： ．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
11．如图，已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当?ABCD满足 时，四边形EHFG是菱形．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝ 度．
14．如图，两个完全相同的菱形（四条边都相等的四边形）的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在点 ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AC＝AD，连接CD．点O是CD中点，连接AO并延长AO交BC于点E，连接ED．过点D作DF∥BC交AE于点F，连接CF．求证：四边形CEDF是菱形．
16．已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
17．如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．
（2）若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．
18．如图，在?ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
5.2菱形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
解：∵菱形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，对角相等；
平行四边形的性质有：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等；
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直；
故选：A．
2．如图，在菱形OABC中，点A在x轴上，点B（4，2）将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（ ）
A．（﹣2，4） B．（﹣2.5，2） C．（﹣1.5，2） D．（﹣2，1.5）
解：如图，作BH⊥x轴于H．设OA＝AB＝x，
在Rt△ABH中，∵AB2＝AH2+BH2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
∴x＝，
∴C（，2），
∴将菱形OABC绕原点O逆时针旋转90°，若点C的对应点是点C1，那么点C1坐标是（﹣2，），
故选：D．
3．如图，丝带重叠的部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．6
解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，
过D作DE⊥AB于E，则∠DEA＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝1，
由勾股定理得：DE＝＝＝，
∴菱形ABCD的面积是AB×DE＝2，
故选：B．
5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，CD＝BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∴OE＝OD＝OB，
∵∠DOE＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，∵CB＝CD，
∴△DCB是等边三角形，
∴BD＝，
故选：B．
6．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（ ）
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故①④能判定．
故选：D．
7．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：
①BE⊥AC；
②EG＝GF；
③△EFG≌△GBE；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故②错误，
∵BG＝EF，AB∥CD∥EF
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS）
故③正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合
故⑤错误
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所四得边形ABCD为菱形，判定依据是： 四条边相等的四边形是菱形 ．
解：∵已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，
∴AB＝AD，
∵分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，
∴BC＝CD＝AB，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：四条边相等的四边形是菱形．
故答案为：四条边相等的四边形是菱形．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝ ．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，OD＝3，由勾股定理得：AD＝5，
∴BC＝5，
∴S菱形ABCD＝＝BC×DE，
∴×6×8＝5×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
11．如图，已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为 48 ．
解：∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∵菱形ABCD的边长是10，菱形一条对角线长为12，
∴可得菱形的另一对角线长为：16，
∴阴影部分的面积＝S菱形ABCD＝××12×16＝48．
故答案为：48．
12．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当?ABCD满足 AB⊥BC 时，四边形EHFG是菱形．
解：当?ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC
∴四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE＝CF＝AE＝DF
∵BE＝DF，AB∥CD
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ED∥BF
同理可得：EC∥AF
∴四边形EHFG是平行四边形．
在△EBC与△FCB中，
∵，
∴△EBC≌△FCB（SAS）
∴CE＝BF，
∴∠ECB＝∠FBC，
∴BH＝CH，
∴EH＝FH，
∴平行四边形EHFG是菱形，
故答案为：AB⊥BC．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝ 90 度．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故答案为：90．
14．如图，两个完全相同的菱形（四条边都相等的四边形）的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在点 D ．
解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA顺序走一圈所走的距离为8×1＝8厘米，
∵2019÷8＝252…3，
∴当蚂蚁走到第252圈后再走3厘米正好到达D点．
故答案为D
三．解答题（共4小题）
15．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AC＝AD，连接CD．点O是CD中点，连接AO并延长AO交BC于点E，连接ED．过点D作DF∥BC交AE于点F，连接CF．求证：四边形CEDF是菱形．
解：∵AC＝AD，点O是CD中点，
∴AO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∵DF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCE，
∴∠FCD＝∠ECD，
在△FCO与△ECO中，
∴△FCO≌△ECO（ASA），
∴FC＝CE，
∴CE＝DF，
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是菱形．
16．已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAC＝90°，∠B+∠ECA＝90°，
∴∠B＝∠EAB，
∴EA＝EB，
∴BE＝CE＝5．
17．如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．
（2）若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．
（1）证明：∵BE∥CF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴∠EBA＝∠FCD，
∵∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴BE＝CF，AB＝CD，
∴四边形BFCE是平行四边形．
（2）解：∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BC＝EC＝3，
∵AD＝10，AB＝DC，
∴AB＝（10﹣3）＝．
18．如图，在?ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴．
∴BE＝AF．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BC＝2AB，
∴AB＝BE．
∴平行四边形ABEF是菱形．
（2）解：过点O作OG⊥BC于点G．
∵E是BC的中点，BC＝8，
∴BE＝CE＝4．
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠OBE＝30°，∠BOE＝90°．
∴OE＝2，∠OEB＝60°．
∴GE＝1，OG＝．
∴GC＝5．
∴OC＝．
