5.3正方形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，3），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，1） D．（3，﹣1）
3．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，?ABCD是正方形
B．当AC⊥BD时，?ABCD是矩形
C．当∠ABC＝90°，?ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，?ABCD是正方形
4．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）
A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
5．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
6．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：
①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，
其中能判定四边形BECF是正方形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝3，AO＝，那么AC的长等于（ ）
A．．5 B．．6 C．7 D．8
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共6小题）
9．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ．
10．如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为 ．
11．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边AD：AB＝ 时，四边形AECF是正方形．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为 ．
14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为 cm．
三．解答题（共4小题）
15．如图，四边形ABCD是正方形，点G是DC上的任意一点，BE⊥AG于点F，DF∥BE，且交AG于点F．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若EF＝1，BE＝3，求DF的长．
16．如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，点C、D、E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上．
（1）写出表示阴影部分面积的表达式（结果要求化简）；
（2）当a＝4，求阴影面积的面积．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
5.3正方形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，3），则点D的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，1） D．（3，﹣1）
解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，3），
∴点D的纵坐标为3，
点D的横坐标为3﹣4＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，3）．
故选：A．
3．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，?ABCD是正方形
B．当AC⊥BD时，?ABCD是矩形
C．当∠ABC＝90°，?ABCD是矩形
D．当AC＝BD时，?ABCD是正方形
解：A、当AB＝BC时，?ABCD是正方形，说法错误，应为菱形，故此选项错误；
B、当AC⊥BD时，?ABCD是矩形，说法错误，应为菱形，故此选项错误；
C、当∠ABC＝90°，?ABCD是矩形，说法正确，故此选项正确；
D、当AC＝BD时，?ABCD是正方形，说法错误，应为矩形，故此选项错误；
故选：C．
4．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）
A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，（故小雨的结论正确），
在△EOC和△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE＝OF（故小青的结论正确），
∴S△EOC＝S△AOF，
∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED＝S四边形FBCE故小夏的结论正确，
∵△EOC≌△FOA，
∴EC＝AF，∵CD＝AB，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD＝OB，EO⊥DB，
∴ED＝EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，
故选：B．
5．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（ ）
A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．
6．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：
①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，
其中能判定四边形BECF是正方形的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，
∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠FCB＝DCB＝45°，∠FBC＝ABC＝45°，
∴∠FCB＝∠FBC＝45°，
∴CF＝BF，∠F＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
①∵EB∥CF，CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵CF＝BF，∠F＝90°，
∴四边形BFCE是正方形，故①正确；
∵BE＝CE，BF＝BE，CF＝BF，
∴BF＝CF＝CE＝BE，
∴四边形BFCE是菱形，
∵∠F＝90°，
∴四边形BFCE是正方形，故②正确；
∵BE∥CF，CE⊥BE，
∴CF⊥CE，
∴∠FCE＝∠E＝∠F＝90°，
∴四边形BFCE是矩形，
∵BF＝CF，
∴四边形BFCE是正方形，故③正确；
∵CE∥BF，∠FBC＝∠FCB＝45°，
∴∠ECB＝∠FBC＝45°，∠EBC＝∠FCB＝45°，
∵∠F＝90°，
∴∠FCE＝∠FBE＝∠F＝90°，
∵BF＝CF，
∴四边形BFCE是正方形，故④正确；
即正确的个数是4个，
故选：D．
7．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝3，AO＝，那么AC的长等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：在AC上取一点G使CG＝AB＝3，连接OG
∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB
∴∠ABO＝∠OCG
∵OB＝OC，CG＝AB
∴△OGC≌△OAB（SAS）
∴OG＝OA＝，∠BOA＝∠GOC
∵∠GOC+∠GOH＝90°
∴∠GOH+∠BOA＝90°
即：∠AOG＝90°
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝2（勾股定理）
∴AC＝5．
故选：A．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
解：根据已知条件不能推出OA＝OD，∴①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正确；
∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；
∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；
∴②③④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 正方形 ．
解：如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形为正方形．
故答案为：正方形．
10．如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为 ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，∠C＝90°，
∵S正方形ABCD＝2S△ABE＝2×4.5＝9，
∴AB＝CD＝BC＝3，
∵DE＝1，
∴EC＝2，
在Rt△BCE中，∵∠C＝90°，BC＝3，EC＝2，
∴BE＝＝＝，
故答案为．
11．如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是 2 ．
解：过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形，
BE＝BC＝2，∴EH＝2．
∴△BEC的面积为×BC×EH＝．
连接BP，则△BPE面积+△BPC面积＝2，
即×BE×PR+×BC×PQ＝2，
∴×（PR+PQ）＝2，
解得PR+PQ＝2．
故答案为2．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边AD：AB＝ （+1）：2 时，四边形AECF是正方形．
解：当AD：AB＝2：（+1）时，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BG于点E，CF⊥AD于点F，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠B＝60°，AE⊥BG，
∴AB＝2BE，AE＝BE，
∵AD：AB＝2：（+1），
∴BC：AB＝2：（+1），
∴EC＝BC﹣BE＝BE，
∴AE＝EC，
∴平行四边形AECF是正方形．
故答案为：（+1）：2
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为 6 ．
解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD
∴四边形CDFB是矩形
∵BC＝CD
∴四边形CDFB是正方形
∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，
∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG
∴△BCE≌△BFG（SAS）
∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABF＝45°，
∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG
∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG
∴△ABE≌△ABG（SAS）
∴AE＝AG＝5，
∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，
∴DF＝6
∴BC＝6
故答案为：6
14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为 20 cm．
解：如图1，2中，连接AC．
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝40°，
∴AB＝BC＝20，
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20，
故答案为：20，
三．解答题（共4小题）
15．如图，四边形ABCD是正方形，点G是DC上的任意一点，BE⊥AG于点F，DF∥BE，且交AG于点F．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若EF＝1，BE＝3，求DF的长．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ADC＝90°，
∵BE⊥AG，DF∥BE，
∴DF⊥GA，
∵∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAF+∠EAB＝90°
∴∠DAF＝∠ABE，且AB＝AD，∠AFD＝∠AEB＝90°
∴△ABE≌△DAF（AAS）
（2）∵△ABE≌△DAF
∴AE＝DF，AF＝BE＝3
∵AE＝AF﹣EF＝3﹣1＝2
∴DF＝2
16．如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，点C、D、E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上．
（1）写出表示阴影部分面积的表达式（结果要求化简）；
（2）当a＝4，求阴影面积的面积．
解：（1）由题得：阴影部分的面积为：＝；
（2）当a＝4时，阴影部分的面积为：．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
（1）证明：
∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB
∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB2
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
