第5章 特殊平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，矩形ABCD的周长是28，点O是线段AC的中点，点P是AD的中点，△AOD的周长与△COD的周长差是2（且AD＞CD），则△AOP的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．（3分）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．14 D．12
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC
4．（3分）如图，要判定?ABCD是菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（ ）
A．≤AM＜6 B．5≤AM＜12 C．≤AM＜12 D．≤AM＜6
6．（3分）如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（ ）
A．EF＝DO B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形
7．（3分）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（0，1），若绕点D（0，0）顺时针旋转这个正方形，旋转角为135°，则旋转后点B的坐标B′为（ ）
A．（1，1） B．（2，0） C．（，0） D．（1，﹣1）
8．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一个直角的四边形是矩形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 ．
12．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件 时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．
13．（4分）如图，用同样长度的篱笆分别围成一个正方形ABCD和矩形AEFG，若图中矩形BCHE的面积比矩形DGFH的面积多100m2，则矩形AEFG的长比宽多 m．
14．（4分）如图，正方形ABCD中，AE＝BE＝3，BF＝2，平移线段EF，使E，F两点同时落在正方形的边上，则平移的距离为 ．
15．（4分）如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，2AE＝BE，2CF＝BF，AG＝AD．已知△EFG的面积等于1，则菱形ABCD的面积等于 ．
16．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
18．（6分）如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．
（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．
（2）若A的周长是B的长的倍，求这个正方形的边长．
（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
21．（8分）如图，在?ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN．
（1）证明：四边形AMDN是菱形；
（2）若∠DAB＝45°，判断四边形AMDN的形状，请直接写出答案．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
23．（10分）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．
（1）BF和DE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）在其他条件都保持不变的是情况下，当点E运动到AC中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？
特殊平行四边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，矩形ABCD的周长是28，点O是线段AC的中点，点P是AD的中点，△AOD的周长与△COD的周长差是2（且AD＞CD），则△AOP的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
解：设AB＝n，BC＝m，
由题意：，
∴，
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AP＝PD＝4，OA＝OC＝5，
∴OP＝CD＝3，
∴△AOP的周长为3+4+5＝12，
故选：A．
2．（3分）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．14 D．12
解：∵菱形的两条对角线分别长8、6，
∴S＝×8×6＝24
故选：B．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（ ）
A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC
解：添加AD＝BD，
∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD＝BD，
∴ED∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形DECF是矩形，
故选：B．
4．（3分）如图，要判定?ABCD是菱形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC
解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（ ）
A．≤AM＜6 B．5≤AM＜12 C．≤AM＜12 D．≤AM＜6
解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长AM经过点P，
∴EF＝AP，
AM＝EF＝PA，
当PA⊥CB时，PA＝＝，
∴AM的最小值为，
∵PA＜AC，
∴PA＜12，
∴AM＜6，
∴≤AM＜6，
故选：A．
6．（3分）如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（ ）
A．EF＝DO B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形
解：∵菱形ABCD，
∴BO＝OD，BD⊥AC，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，
∴EF＝DO，EF⊥AO，
∵E是AB的中点，O是BD的中点，
∴2EO＝AD，
同理可得：2FO＝AB，
∵AB＝AD，
∴AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形EOFA是菱形，
∵AB≠BD，
∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，
故选：D．
7．（3分）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（0，1），若绕点D（0，0）顺时针旋转这个正方形，旋转角为135°，则旋转后点B的坐标B′为（ ）
A．（1，1） B．（2，0） C．（，0） D．（1，﹣1）
解：如图，∵A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（0，1），D（0，0），
∴BD＝，
∵正方形ABCD绕点D顺时针旋转135°，
∴点B′在x轴的正半轴上，且DB′＝DB＝，
所以，点B′的坐标是（，0）．
故选：C．
8．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一个直角的四边形是矩形
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，∴A选项错误；
∵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴B选项错误；
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴C选项错误；
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴D选项正确；
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 矩形 ．
已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
12．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件 AC＝BC 时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．
解：△ABC满足条件为AC＝BC
∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE
∴AD＝CE，AD∥CE
∴四边形ACED是平行四边形
∵AC＝BC
∴平行四边形ACED是菱形．
故答案为AC＝BC
13．（4分）如图，用同样长度的篱笆分别围成一个正方形ABCD和矩形AEFG，若图中矩形BCHE的面积比矩形DGFH的面积多100m2，则矩形AEFG的长比宽多 20 m．
解：设正方形ABCD的边长为x，矩形AEFG边AE＝GF＝y，
∴BE＝CH＝x﹣y，
∵正方形ABCD和矩形AEFG的周长相等为4x，
∴AG＝EF＝（4x﹣2y）＝2x﹣y，
∴DG＝HF＝2x﹣y﹣x＝x﹣y，
∵矩形BCHE的面积比矩形DGFH的面积多100m2，
∴x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝100，
∴x﹣y＝10，
∴AG﹣AE＝2x﹣y﹣y＝2（x﹣y）＝20，
∴矩形AEFG的长比宽多20m，
故答案为：20．
14．（4分）如图，正方形ABCD中，AE＝BE＝3，BF＝2，平移线段EF，使E，F两点同时落在正方形的边上，则平移的距离为 5 ．
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝AE+BE＝6，
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E′F′是EF平移得到的，
∴EF＝E′F′，EF＝E′F′，
∴四边形EFF′E′是平行四边形，
∴∠EFF′+∠FF′E′＝180°，
∴∠DF′E′+∠FF′C+′BFE+∠EFB＝180°，
∵∠CFF′+∠CF′F＝90°，
∴∠E′F′D+∠EFB＝90°，
∵∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝∠E′F′D，
在△BEF与△DF′E′中，，
∴△BEF≌△DF′E′（AAS），
∴DE′＝BF＝2，
∴AE′＝AD﹣DE′＝4，
∴EE′＝＝5，
∴平移的距离为5；
故答案为：5．
15．（4分）如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，2AE＝BE，2CF＝BF，AG＝AD．已知△EFG的面积等于1，则菱形ABCD的面积等于 ．
解：在CD上截取一点H，使得CH＝CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．
∵＝＝，
∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，
∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EG，
∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，
∵S△EFG＝1，
∴S矩形EQOP＝，即OP?OQ＝，
∵OP：OA＝BE：AB＝2：3，
∴OA＝OP，同法可证OB＝3OQ，
∴S菱形ABCD＝?AC?BD＝×3OP×6OQ＝9OP×OQ＝．
故答案为．
16．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是 ①②③⑤ （填写序号）．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，③正确；
④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵OB⊥OC，
∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
18．（6分）如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形（记作A）后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形（记作B）．
（1）若A与B的面积均为Scm2，求S的值．
（2）若A的周长是B的长的倍，求这个正方形的边长．
解：（1）设正方形的边长为xcm，
由题意得：4x＝5（x﹣4），
x＝20，
∴S＝4x＝4×20＝80，
答：S的值80cm2．
（2）设正方形的边长为xcm，
6（2x+8）＝7×2[5+（x﹣4）]，
x＝17，
答：这个正方形的边长是17cm．
（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE∥OB，CE＝OB，
∴四边形OBCE为平行四边形；
（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥FM，
∵AO＝OC，
∴ON＝AB＝1，
∵OF＝FC，
∴FM＝ON＝，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，
在 Rt△ABC中：
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2，
∵∠ACB＝30°，FM＝，
∴CM＝，
∴BM＝BC﹣CM＝，
∴BF＝＝．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
21．（8分）如图，在?ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN．
（1）证明：四边形AMDN是菱形；
（2）若∠DAB＝45°，判断四边形AMDN的形状，请直接写出答案．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB
∴∠DAM＝∠NDA，且DE＝AE，∠NED＝∠AEM
∴△NED≌△MEA（ASA）
∴AM＝ND，且CD∥AB
∴四边形AMDN是平行四边形
又BD⊥AD，M为AB的中点，
∴在Rt△ABD中，AM＝DM＝MB
∴四边形AMDN是菱形
（2）正方形
理由如下：
∵四边形AMDN是菱形
∴AM＝DM
∴∠DAB＝∠ADM＝45°，
∴∠AMD＝90°
∴菱形AMDN是正方形
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DA＝AE，
∴AE＝BC，AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，
∵四边形AEBC是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝EO，
∴AF＝OF，
∴AG＝OG，
∴∠GOF＝∠GAF＝30°，
∴∠CGO＝60°，
∴∠COG＝90°，
∵OC＝OA＝AB＝3，
∴OG＝，
∴△OGC的面积＝×3×＝．
23．（10分）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．
（1）BF和DE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）在其他条件都保持不变的是情况下，当点E运动到AC中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
证明：（1）BF＝DE，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵AF⊥AC，
∴∠FAB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，且AD＝AB，AF＝AE，
∴△AFB≌△AED（SAS），
∴BF＝DE，
（2）正方形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，点E是AC中点，
∴AE＝BE，∠AEB＝90°
∵∠FAB＝∠BAC＝45°，且AB＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ABE（SAS），
∴BF＝BE，
∴AE＝BE＝BF＝AF，
∴四边形AFBE是菱形，且AF⊥AE，
∴四边形AFBE是正方形
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？
解：（1）全等．
理由：由题意：BP＝CQ＝2t
当t＝2时，BP＝CQ＝4
∵AB＝BC＝10，AE＝4
∴BE＝CP＝10﹣4＝6
∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP
∴△BPE≌△CQP （SAS）
（2）∵P、Q运动速度不相等
∴BP≠CQ
∵∠B＝∠C＝90°
∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CQP
∴BP＝CP＝BC＝5，CQ＝BE＝6
∴当t＝5÷2＝（秒）时，△BPE≌△CQP
此时点Q的运动速度为6÷＝（cm/s）
