4.4.2 平行四边形的判定定理（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册4.4平行四边形的判定定理
第2课时 平行四边形的判定定理(2)
【知识清单】
1.对角线 的四边形是平行四边形.
2.在四边形ABCD中，三角形AC，BD相交于点O，要判定四边形ABCD是平行四边形，从四边形的对角线看应满足 .
3.如图，木工师傅取两根木棒的中点进行加固，
则得到的虚线四边形是 ，
理由是 .
【经典例题】
例题1、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线上、点F在AD上，CF∥BE，连接BF，EC，求证：BF=EC.
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定．
【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF；可以得出DE=DF，因为D是BC的中点，所以BD=CD，可得四边形BECF是平行四边形，问题得以解决．
【解答】∵(1)证明：∵CF∥BE，
∴∠EBD =∠FCD．
∵D是BC的中点，
∴BD = CD．
在△BDE和△CDF中，
∵，
∴△BDE≌△CDF(ASA)．
∴DF=DE．
∴四边形BECF是平行四边形．
∴BF=EC.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，要求对这些知识熟练掌握是关键．
例题2、如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①BE=DF；②AE=CF；③∠BAE=∠DCF；④∠BCE=∠DAF .其中不能判定四边形AECF是平行四边形的有(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可．
【解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
又∵BE=DF，
∴OBBE =ODDF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，能判定是平行四边形．
②AE=CF，OA=OC，缺少一个条件，不能利用全等判断出OE=OF，
∴四边形AECF不一定是平行四边形．
③∠BAE=∠DC F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=CF，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形．能判定是平行四边形．
④∠BCE=∠DAF，证明的步骤与③相同，
四边形AECF是平行四边形．能判定是平行四边形．
故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的知识来解决平行四边形的判定问题，熟记相关性质与判定方法是解题的关键．
【夯实基础】
1、在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平
行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC
C．OA=OC，OB=OD D．AB∥DC，AD=BC
2、在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=OC，再添加一个条件使其成为平
行四边形，则添加的条件是 ( )????
A．AB=DC? B．OB=OD ?C．AD=BC?? D． ∠ADC=∠ABC
3、若以A(1,0)，B(3,0)，C(0,2)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、在□ABCD中，AC，BD相交于点O，BD=12，点E，F在对角线BD上，有下面的结论：①BE=DF；②OE、OF是方程3x218x+27=0的根；③BE=OF；④AE=BD，OF=OD；⑤点E、O、F是BD的四等分点，其中能判定四边形AECF是平行四边形结论的个数是(　 　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、如图，在□ABCD中，AD=10，DB=，∠ABD=45°，则AC的长为_______．
6、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝86°，
则∠ADC＝________°.
7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CBD＝90°，BC＝12，
BO=DO=5，AC=26.求四边形ABCD的面积．
8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，直线BE交AD的延长线于点F.试判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论．

【提优特训】
9、课堂上数学老师要求同学们动手操作：以长为30 cm，28 cm，26 cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，画出不同形状的平行四边形，则可以画出形状不同的平行四边形的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
10、在□ABCD中，AB>AD点E对角线AC的一点，给出下列结论：①S△CDE=S△CDB；②DE=BE；
③S△ADE=S△ABE；④S△ADE=S△ABE+1.其中正确的结论是( ).
A． ①，② B． ②，③ C． ③，④ D． ①，③
11、如图，过□ABCD的顶点作直线l的垂线BB1，AA1，CC1，DD1，则BB1+DD1与AA1+CC1的大小关系为( )
A．BB1+DD1> AA1+CC1 B．BB1+DD1< AA1+CC1
C．BB1+DD1= AA1+CC1 D．BB1+DD1= AA1+CC1+1
12、如图，四边形ABCD和四边形EBCF都是平行四边形，则判定四边形AEFD是平行四边形的
依据是_________________________________________________.
13、如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F.已知DE=m，则BF的长为________．
14、如图，已知CD垂直平分AB，∠CBD＝∠ADE，AE⊥AB.若AE＝DE＝6，AD＝8，则AC的长为 ．
15、如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，动点E，F在从点A，C出发在线段AC上相对运动；动点P、Q从点B，D出发在线段BD上相对运动．四动点同时出发E、F分别以2 cm/s的速度运动，P、Q分别以1 cm/s的速度运动．
求证：当点E，F，G，H在运动过程中不与点O重合时，四边形PEQF一定为平行四边形．
16、如图，在□ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O的直线EF，分别与BC，AD相交于点E，F，过点O的直线GH与BA的延长线交于点H，DC的延长线交于点G，连接HE、EG、GF、FH.求证：BM=DN.
17．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，连接EF交BC于点D，延长BD的G，使BD=GD，连接EG，BF.
试探究CF和GF的关系？
18、如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．
(1)求证：AD=CF；
(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．
【中考链接】
19、(2018?徐州)已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
20、(2018湖北孝感市，18，8分)如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形.
参考答案
1、D 2、B 3、C 4、C 5、 6、86° 9、B 10、D 11、C
12、两组对边分别平行的四边形的平行四边形 13、m 14、
7、解：在Rt△BCO中，
OC=，
∴OA=ACOC=2613=13，
∴OA=OC.
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴S□ABCD=4S△BCO=.
8、证明：四边形BCFD是平行四边形，理由如下：
∵E是DC的中点，
∴CE=DE.
∵AD∥BC，
∴AF∥BC，
∴∠EDF=∠ECB
在△BCE和△FDE中，
∵，
∴△BCE≌△FDE(ASA)
∴BE=FE，
∴四边形BCFD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
15、证明：连结PE，EQ，QF，FP.
∵两动点E，F同时分别以2 cm/s的速度从点A，C出发
在线段AC上相对运动，
∴AE＝CF.
∵□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OD=OB，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OAAE=OCCF，即OE=OF，
同理可证：OP=OQ，
∴当点E，F，G，H在运动过程中不与点O重合时，四边形PEQF一定为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
16、 证明：在□ABCD中，
∴OB=OD，AD∥BC，∠ADB=∠CBD.
在△DOF和△BOE中，
∵，
∴△DOF≌△BOE(ASA).
∴OF=OE.
同理可证△HBO≌△GDO.
∴OH=OG.
∴四边形HEGF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
∴HE∥FG，
∴∠MEO=∠NFO，
在△OME和△ONF中，
∵，
∴△OME≌△ONF(ASA).
∴OM=ON.
∵BM=OBOM，DN=ODON
∴BM=DN.
17． 解：CF=GF，理由如下：
过点E作EH∥AC，交BC于H，
∴∠EHB=∠ACB，∠1=∠2.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠EHB，
∴BE=HE.
∵BE=CF，
∴EH=CF.
在△EHD和△FCD中，
∵，
∴△EHD≌△FCD(AAS).
∴ED=FD.
∵BD=GD，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BE=FG，
∴CF=GF.
18、证明：(1)由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA=60°，
在△ACD和△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴AD=CF.
(2)当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°.
连接BE，在△AEB和△ADC中，
AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴BD=DC=BE，
∴∠BED=∠BDE
∵∠EBD=∠EBF+∠FBD=60°+60°=120°.
∴∠BED=∠BDE=30°，
∴∠DEF=30°.
19、【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．
【解答】解：(1)①④为论断时：
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB．
∴AD=BC．
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．
20、【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DEF
和∠ACB=∠F，由BE=CF和等式的性质得出
BC=EF，进而根据“AAS”得出△ABC≌△DEF，
可知AB=DE.最后结合AB∥DE并根据平行
四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形”得出四边形ABED是平行四边形.
证明：∵AB∥DE，，
∴∠B=∠DEF.
∵AC∥DF，，
∴∠ACB=∠F.
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
∴AB=DE.
∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形.