第5章 特殊平行四边形单元培优测试题(含解析)

浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元培优测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1. 下列命题错误的是（? ）
A.?对角线互相平分的四边形是平行四边形???????????????B.?对角线相等的平行四边形是矩形C.?一条对角线平分一组对角的四边形是菱形???????????D.?对角线互相垂直的矩形是正方形
2. 用尺规作图法在一个矩形中作菱形ABCD，下列作法正确的是(??? )
A.????????B.?C.??????D.?
3. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（?? ）
?cm??????????????????????????????B.?cm??????????????????????????????C.?cm??????????????????????????????D.?cm
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
4. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.则下列结论中，不一定正确的是(??? )
A.?△AFD≌△DCE?????????????????????B.?AF＝ AD?????????????????????C.?AB＝AF??????????????????D.?BE＝AD－DF
5. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM的长为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.?4﹣?????????????????????????????????D.?8﹣4
6. 如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（ ??）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?45°
7.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为?? （? ?????）
第7题图 第8题图
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?4
8. 如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（??? ） A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
9. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE的中点，若BC=14，CE=2，则MN的长（?? ）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10

第9题图 第10题图
10. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（??? ）?
A.?????????????????????????????????B.????????????????????????????? ????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，在矩形ABCD中，AB= ，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为________．
13. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF=________度．
14. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．
15. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为________．

第15题图 第16题图
16. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是________．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17. ( 6分 ) 如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．

18. ( 6分 ) 如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE，求证：AF＝AD+CF．
19. ( 6分 ) 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
20. ( 8分 ) 已知：如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．
21. ( 8分 ) 如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长； （2）求证：EF+EG= CE．
22. ( 10分 ) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，过A作AE⊥BC交BD于F． （1）如图1，已知AB＝3，求线段BF的长度；
（2）如图2，在OD上任取一点M，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接BN交AE于点H，求证：BH＝HN．
23. ( 10分 ) 如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF； （2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
24. ( 12分 ) 如图，四边形OABC为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B落在OA边的点G处，折痕为EF，F点的坐标是（4，1），∠FGA=30°．
（1）求B点坐标．（2）求直线EF解析式．
（3）若点M在y轴上，直线EF上是否存在点N，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N点的坐标；若不存在，请说明理由．
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元培优测试题
（答案版）
一、单选题
1.【答案】 C 2.【答案】 D 3.【答案】 B 4.【答案】 B 5.【答案】 D
6.【答案】 A 7.【答案】 C 8.【答案】 D 9.【答案】 D 10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】
12.【答案】（﹣1，5）
13.【答案】 90
14.【答案】或10
15.【答案】5.5
16.【答案】
三、解答题
17.【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=CF．
18.【答案】 解：解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，
即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，
∴DE＝EG，
在Rt△AEG和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），
∴AG＝AD，
∵E是CD的中点
∴DE＝EC＝EG
同理可知CF＝GF，
∴AF＝AG+FG＝AD+CF．
19.【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OC=OD，∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°∵DF⊥CE，∴∠EDF+∠CED=90°∴∠EDF=∠OEC∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG
20.【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（2）解: 在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是菱形
21.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，
∴∠CBG=∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG=DF=4，
∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2 ，
∴CG= =
（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG=CF，∠F=∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，
∴∠MCG=∠ECF，
在△MCG和△ECF中，
，
∴△MCG≌△ECF（ASA），
∴MG=EF，CM=CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME= CE，
又∵ME=MG+EG=EF+EG，
∴EF+EG= CE．
22.【答案】 （1）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝ ，
∵∠DBC＝ ABC＝30°，
∴在Rt△BEF中，EF＝ BF，
设EF＝x，则BF＝2x，
∵EF2+BE2＝BF2 ，
∴x2+（ ）2＝（2x）2 ，
解得：x＝ （负值舍去），
∴BF＝2x＝
（2）解：过N作NG⊥AE交AE的延长线于G，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，
∴∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，∠MAN＝60°，
∴∠CAD＝∠MAN，
∴∠OAM＝∠DAN，
∵∠NGA＝∠AEB＝90°，
∴GN∥BC，
∵AD∥BC，
∴GN∥AD，
∴∠GAN＝∠NAD，
∴∠GNA＝∠OAM，
在△GAN与△OAM中， ，
∴△GNA≌△OAM（AAS），
∴GN＝AO，
∵AO＝ AC，AE⊥BC，
∴AO＝ BC＝BE，
在△GNH与△EBH中， ，
∴△GNH≌△EBH（AAS），
∴HN＝BH．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CD，AB∥CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵ ，
∴△BEF≌△CDF（ASA）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，
∴CD=EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，
∴∠BFD=2∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形．
24.【答案】（1）解：∵F点的坐标是（4，1），
∴FA=1，OA=4，
∵∠FGA=30°，
∴GA= ，FG=2，
由折叠的性质知BF=FG=2，
∴AB=3，
∵四边形OABC为矩形，
∴CB=OA=4，
∴B点坐标为（4，3）；
（2）解：∠AFG=90°﹣30°=60°，由折叠的性质知∠EFB=∠EFG= （180°﹣60°）=60°，
∴BE= BF=2 ，
∴CE=4﹣2 ，
∴E（4﹣2 ，4），
设直线EF的解析式是y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线EF的解析式是y=﹣ x+2 +1
（3）解：①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为﹣ ，
∵点N在直线EF上，
∴N（﹣ ，2 + ）．
②如图2中，当四边形MNFG是平行四边形时，易知点N的横坐标为 ，
∵点N在直线EF上，
∴N（ ，2 ﹣ ）．
③如图3中，当四边形MFNG是平行四边形时，易知点M坐标为（0， ）
∵FG与MN相互垂直平分，
∴N（8﹣ ，2﹣ ）．
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元培优测试题
（解析版）
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列命题错误的是（? ）
A.?对角线互相平分的四边形是平行四边形???????????????B.?对角线相等的平行四边形是矩形C.?一条对角线平分一组对角的四边形是菱形???????????D.?对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】 C
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C、一条对角线平分一组对角的四边形可能是菱形或者正方形，错误，符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】在△ABC中，∠A=20°，∠B=100°，把△ABC沿着AC所在的直线折叠，点B落在点D处，由折叠可知，AC平分了四边形ABCD的一组对角，但四边形ABCD并不是菱形，故选C.
2.用尺规作图法在一个矩形中作菱形ABCD，下列作法正确的是(??? )
A.??????????????????????????????????????B.?C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】菱形的判定，矩形的性质，作图—复杂作图
【解析】【解答】解：A、由作法可知AD=CB ∵原四边形是矩形 ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行时四边形 故A不符合题意； B，由作法可知：AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG ∴∠FBD=2∠ABD。∠BDG=2∠BDC ∵矩形BFDG ∴AD∥BC，BF∥DG ∴∠FBD=∠BDG ∴∠ABD=∠BDC ∴AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 故B不符合题意； C、如图 ∵矩形BEDF ∴∠E=∠F=90°，BE=DF，∠EBF=∠ADF，DE=BF 由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF ∴∠EBF=2∠ABE，∠ADF=2∠CDF ∴∠ABE=∠CDF ∵∠ABE=∠CDF ??∠E=∠F ? ? ?BE=DF ∴△ABE≌△CFD（AAS） ∴AE=CF ∵DE=BF ∴AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意； D、利用已知条件易证四边形ABCD是平行四边形， 由作法可知：CA垂直平分BD ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形，故D符合题意； 故答案为：D 【分析】由作图可知A只能证明四边形ABCD是平行四边形，而B选项的作法可知AB和CD分别平分∠FBD，∠BDG，只能证明四边形ABCD是平行四边形；C选项中，由作法可知：AB，CD分别平分∠EBF，∠ADF，利用全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定定理，可证得四边形ABCD是平行四边形；D选项，由作法可知：CA垂直平分BD，易证四边形ABCD是菱形，即可得出答案。
3.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝ cm，则GH的长为（?? ）
A.?cm??????????????????????????????B.?cm??????????????????????????????C.?cm??????????????????????????????D.?cm
【答案】 B
【考点】勾股定理，菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
在Rt△AOB中，AB＝ ＝5cm，
∵ BD×AC＝AB×DH，
∴DH＝ cm，
在Rt△DHB中，BH＝ ＝ cm，
则AH＝AB﹣BH＝ cm，
∴GH＝ ＝ ＝ cm．
故答案为：B．
【分析】菱形的面积即可表示为底乘高，也可表示成两条对角线积的一半，从而可求出DH长。利用勾股定理可求出BH长，继而可求出AH长。在直角三角形AGH中，利用勾股定理即可求出GH长。
4.如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.则下列结论中，不一定正确的是(??? )
A.?△AFD≌△DCE??????????????????????B.?AF＝ AD??????????????????????C.?AB＝AF??????????????????????D.?BE＝AD－DF
【答案】 B
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠ADE=∠DEC 又∵∠AFD=∠C=90°，DA=DE ∴三角形AFD≌三角形DCE ∴AF=DC，DA=DF ∴AB=CD=AF BE=BC-CE=AD-DF 故答案为：B。 【分析】根据矩形的性质即可证明三角形AFD≌三角形DCE，根据全等三角形的性质进行一一证明即可。
5.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM的长为（?? ）
A.?2?????????????????????????????????B.?2 ?????????????????????????????????C.?4﹣ ?????????????????????????????????D.?8﹣4
【答案】 D
【考点】角的平分线，正方形的性质
【解析】【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．
∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，
∴∠CAB＝45°，FM＝BM．
在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠FAM＝45°，AM＝2，
∴BM＝FM＝AM?sin∠FAM＝ AM．
又∵AM+BM＝4，
∴AM+ AM＝4，解得：AM＝8﹣4 ．
故答案为：D
【分析】根据角平分线的性质作出MF⊥AC，故BM=MF，利用勾股定理可用MB表示出AM，再根据AM与BM的和为AB长即4可求得。
6.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（ ??）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?55°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?45°
【答案】 A
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，菱形的性质
【解析】【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G.如图所示：
在△BGF与△CPF中,
，
∴△BGF≌△CPF(ASA)，
∴GF=PF，
∴F为PG中点.
又∵∠BEP=90°，
∴EF= PG，
∵PF= PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP?∠FEP=∠EPC?∠EPF，
即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC,∠ABC=180°?∠A=80°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF,∠BEF=∠BFE= ?(180°?80°)=50°，
∴∠FPC=50°；
故选：A.
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质并且作出辅助线求出EF=PF是解题的关键，也是本题的难点.
7.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为?? （? ?????）
A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?4
【答案】 C
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如下图）.
?∵四边形ABCD是边长为6的正方形，BE=4.
∴AE=DF=2,CF=BE=4.
∴△DGF∽△BGE
∴==.
∴GF=2,EF=4.
又∵M、N、K、H、都是中点，
∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2,
∴MK=OH=1.KH=MO=3
∴NO=2.
在Rt△MON中，
∴MN= == .
故答案为C.
【分析】取DF、CF中点K、H,连接MK、NH、CM，作MO⊥NH（如上图）；由正方形ABCD是边长和BE的长可以得出AE=DF=2,CF=BE=4；
再由题得到△DGF∽△BGE，利用相似三角形的性质可以求出.GF=2,EF=4；再根据三角形中位线可以得出MO=3，NO=2；利用勾股定理即可得出答案.
8.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（??? ）

A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， ，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC﹣CF=4﹣2t，
∴t=4﹣2t
∴t=
故答案为：D．
【分析】延长AB至M,使MB=AE,连接FM，根据菱形的四条边相等和等边三角形的性质利用AAS证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=BF，利用菱形的四条边相等得出方程即可求解.
9.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE的中点，若BC=14，CE=2，则MN的长（?? ）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
【答案】 D
【考点】矩形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC、CF、AF，如图所示：
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FFCE，
∴∠ABC=90°，
∴AC= = =10 ，
AC=BD=GE=CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，
∵点M、N分别是BD、GE的中点，
∴M是AC的中点，N是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN= AF，
∵∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF= AC=10 × =20，
∴MN=10．
故选：D．
【分析】连接AC、CF、AF，由矩形的性质和勾股定理求出AC，由矩形的性质得出M是AC的中点，N是CF的中点，证出MN是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出MN= AF，由等腰直角三角形的性质得出AF= AC=20，即可得出结果．
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（??? ）?

A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
【答案】D
【考点】勾股定理，正方形的性质
【解析】【解答】如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ?，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= ，
∵CH⊥AF，
∴ ，
即 ，
∴CH= .
故答案为：D.
【分析】连接AC、CF，利用正方形的性质及勾股定理求出AC、CF，再求出AF的长，证明∠ACF=90°然后利用直角三角形的面积公式， 就可求出CH的长。
二、填空题（共6题；共24分）
11.如图，在矩形ABCD中，AB= ，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是________．
【答案】（过点C作BD的垂直线段，可以证得CF=CD，即可得到答案）
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴ ，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE= = ，BD= = ，∴BF= = ，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴ = = ，∴FG= ，BG= ，∴CG= ，∴CF= = ．故答案为： ． 【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE= = ，BD= = ，根据三角形的面积公式得到BF= = ，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG= ，根据勾股定理即可得到结论．
12.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为________．
【答案】（﹣1，5）
【考点】坐标与图形性质，正方形的性质
【解析】【解答】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′， ∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，?，∴△OGM≌△EOH（ASA），∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2），∴O′（﹣ ， ），∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为 （﹣1，5），故答案是：（﹣1，5）．【分析】添加辅助线：过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，利用正方形的性质易证△OGM≌△EOH，可得出GM=OH=2，OM=EH=3，从而得出点G、O′的坐标，然后根据点F与点O关于点O′对称，即点F为OO′的中点，就可得出点F的坐标。
13.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF=________度．

【答案】 90
【考点】三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】证明：
如图，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
【分析】根据两组对边平行可得四边形AEDF为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分和平行线的性质可得：OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，根据角平分线的定义得∠1=∠2，根据等角对等边得AE=DE进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形AEDF为菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可求解.
14.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．
【答案】或10
【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】①如图1，当点F在矩形内部时，∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，∴AB=CD，又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，∴AN=DM=4，由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，在Rt△ANF中，∴NF==3，∴FM=5-3=2，设DE=EF=x，则ME=4-x，在Rt△ANF中，∴ME2+MF2=EF2 ， 即（4-x）2+22=x2 ， ∴x=.即DE=. ②如图2，当点F在矩形外部时，∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，∴AB=CD，又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，∴AN=DM=4，由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，在Rt△ANF中，∴NF==3，∴FM=5+3=8，设DE=EF=y，则ME=y-4，在Rt△EMF中，∴ME2+MF2=EF2 ， 即（y-4）2+82=y2 ， ∴y=10.即DE=10. 故答案为：或10.【分析】根据题意分两种情况讨论：①点F在矩形内部，②点F在矩形外部，分别根据折叠的性质和勾股定理，列出方程求解即可得到DE的长.
15.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为________．

【答案】5.5
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【解析】【解答】连接BG,容易证明 ≌
正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，得到正方形ACFG的面积为11，
S正方形ACFG
故答案为：5.5.
【分析】由题意可作辅助线，连接BG,用边角边可证得?≌ 由勾股定理可得AC2+BC2=AB2 ， 即正方形ABDE的面积=正方形BCHI的面积+正方形ACFG的面积，于是正方形ACFG的面积可求解，结合已知条件易得三角形ACE的面积=三角形AGB的面积=正方形ACFG的面积可求解。
16.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是________．
【答案】
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质
【解析】【解答】当AE⊥BC时，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB=4，∴AE=2 ，∴△AEF的面积最小值= .【分析】由△AEF的面积的最小值和菱形的性质，得到当AE⊥BC，△ABC是等边三角形时，得到△ABE≌△ACF，得到对应边对应角相等，得到△AEF是等边三角形，得到AE的最小值，求出△AEF的面积最小值.
三、解答题（共8题；共66分）
17.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．

【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质可得 AB=BC， AD∥BC ，由平行线的性质可得 ∠A=∠CBF． 利用SAS可证 △ABE≌△BCF ，有全等三角形的对应边相等可得BE=CF．
18.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE，求证：AF＝AD+CF．
【答案】 解：解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，
即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，
∴DE＝EG，
在Rt△AEG和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），
∴AG＝AD，
∵E是CD的中点
∴DE＝EC＝EG
同理可知CF＝GF，
∴AF＝AG+FG＝AD+CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【解析】【分析】根据已知考虑在AF上截取AG=AD，过E作EG⊥AF，利用HL易证Rt△AEG≌Rt△AED。通过全等三角形的性质可得DE＝EC＝EG， CF＝GF，即可得证。
19.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OC=OD，∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°∵DF⊥CE，∴∠EDF+∠CED=90°∴∠EDF=∠OEC∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG
【考点】正方形的性质
【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，对角线互相垂直且互相平分，可知角DOG等于角EOC，DO等于CO，再由已知条件给出的DF与CE垂直，可知角EDF与角DEF互余，这样根据同角的余角相等，可以得到角ODG与角OCE相等，即可证得△DOG与△EOC全等，由全等三角形的对应边相等，可证OG=OE。
20.已知：如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．
【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（2）解: 在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是菱形
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【分析】（1）运用平行四边形性质求得∠ADC=∠FCD，根据中点得出DE=EC，所以可以求证△ADE和△FDE全等，根据平行四边形判定定理得出答案。（2）根据题目条件可得∠BAF=90°，由平行四边形的性质，求得∠CEF=90°，根据菱形的判定定理证得四边形ACDF为菱形。
21.如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．
（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；
（2）求证：EF+EG= CE．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，
∴∠CBG=∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG=DF=4，
∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2 ，
∴CG= =
（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG=CF，∠F=∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，
∴∠MCG=∠ECF，
在△MCG和△ECF中，
，
∴△MCG≌△ECF（ASA），
∴MG=EF，CM=CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME= CE，
又∵ME=MG+EG=EF+EG，
∴EF+EG= CE．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，再根据同角的余角相等求出∠CBG=∠CDF，然后利用“角边角”证明△CBG和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DF，再利用勾股定理列式计算即可得解。（2）过点过点C作CM⊥CE交BE于点M，根据全等三角形对应边相等可得CG=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG=∠ECF，然后利用“角边角”证明△MCG和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得MG=EF，CM=CE，从而判断出△CME是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出ME= CE，然后ME=EF+EG即可证得结论。
22.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，过A作AE⊥BC交BD于F．
（1）如图1，已知AB＝3，求线段BF的长度；
（2）如图2，在OD上任取一点M，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接BN交AE于点H，求证：BH＝HN．
【答案】 （1）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝ ，
∵∠DBC＝ ABC＝30°，
∴在Rt△BEF中，EF＝ BF，
设EF＝x，则BF＝2x，
∵EF2+BE2＝BF2 ，
∴x2+（ ）2＝（2x）2 ，
解得：x＝ （负值舍去），
∴BF＝2x＝
（2）解：过N作NG⊥AE交AE的延长线于G，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，
∴∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，∠MAN＝60°，
∴∠CAD＝∠MAN，
∴∠OAM＝∠DAN，
∵∠NGA＝∠AEB＝90°，
∴GN∥BC，
∵AD∥BC，
∴GN∥AD，
∴∠GAN＝∠NAD，
∴∠GNA＝∠OAM，
在△GAN与△OAM中， ，
∴△GNA≌△OAM（AAS），
∴GN＝AO，
∵AO＝ AC，AE⊥BC，
∴AO＝ BC＝BE，
在△GNH与△EBH中， ，
∴△GNH≌△EBH（AAS），
∴HN＝BH．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，可得∠DBC＝??ABC＝30°，在Rt△BEF中，利用勾股定理即可求出BF长； （2）由题意易得∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形。根据AAS易得△GNA≌△OAM和?△GNH≌△EBH，即可得到HN=BH。
23.如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CD，AB∥CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵ ，
∴△BEF≌△CDF（ASA）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，
∴CD=EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，
∴∠BFD=2∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到对边平行且相等，即AB=CD，AB∥CD；再由BE=AB，根据ASA得到△BEF≌△CDF；（2）由（1）知四边形BECD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，得到BF=CF，EF=DF，根据等角对等边得到DF=CF，得到对角线DE=BC，由对角线相等的平行四边形是矩形，得到四边形BECD是矩形．
24.如图，四边形OABC为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，矩形一角经过翻折后，顶点B落在OA边的点G处，折痕为EF，F点的坐标是（4，1），∠FGA=30°．
（1）求B点坐标．
（2）求直线EF解析式．
（3）若点M在y轴上，直线EF上是否存在点N，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵F点的坐标是（4，1），
∴FA=1，OA=4，
∵∠FGA=30°，
∴GA= ，FG=2，
由折叠的性质知BF=FG=2，
∴AB=3，
∵四边形OABC为矩形，
∴CB=OA=4，
∴B点坐标为（4，3）；
（2）解：∠AFG=90°﹣30°=60°，由折叠的性质知∠EFB=∠EFG= （180°﹣60°）=60°，
∴BE= BF=2 ，
∴CE=4﹣2 ，
∴E（4﹣2 ，4），
设直线EF的解析式是y=kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线EF的解析式是y=﹣ x+2 +1
（3）解：①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为﹣ ，
∵点N在直线EF上，
∴N（﹣ ，2 + ）．
②如图2中，当四边形MNFG是平行四边形时，易知点N的横坐标为 ，
∵点N在直线EF上，
∴N（ ，2 ﹣ ）．
③如图3中，当四边形MFNG是平行四边形时，易知点M坐标为（0， ）
∵FG与MN相互垂直平分，
∴N（8﹣ ，2﹣ ）．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质
【解析】【分析】（1）利用翻折不变性即可解决问题；（2）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当四边形MNGF是平行四边形时，易知点N的横坐标为﹣ ，由此即可解决问题；②如图2中，当四边形MNFG是平行四边形时，易知点N的横坐标为 ，由此即可解决问题；③如图3中，当四边形MFNG是平行四边形时，易知点M坐标为（0， ），根据FG与MN相互垂直平分，利用中点坐标公式，计算即可；