4.5 三角形的中位线（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册4.5三角形的中位线
【知识清单】
1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三条中位线组成的新三角形是原三角形周长的一半，面积是原三角形的四分之一.
4.顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形.
【经典例题】
例题1、已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2019个三角形的周长为______．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长、第三个三角形的周长，总结规律，从而问题得以解决．
【解答】△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，
所以：第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为；
第4个三角形对应的周长为；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为
所以第2019个三角形对应的周长为
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线与三角形第三边的数量关系是解决问题的关键．
例题2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD=6，E、F、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC＝110°，求点E与点F的距离.
【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理．
【分析】因为NP，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，根据中位线定理，PE=AB，PF=CD，由AB=CD，可得PE=PF，再根据EP∥AB，PF∥DC，进而得到∠ABD+∠EPB=180°，所以∠EPB=160°，∠BPF=∠BDC=110°，然后可得∠EPB+∠BPF=270°，再根据周角定义可得∠EPF=90°，可以证明△EPF是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出EF的长.
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，
E，F分别是AD，CB的中点，
∴NP，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PE=AB，PF=CD，
∵EP∥AB，PF∥DC，∠ABD＝20°，∠BDC＝110°，
∴∠ABD+∠EPB=180°，
∴∠EPB=180°20°=160°，
∴∠NPM=130°，
∴∠BPF=∠BDC=110°，
∴∠EPB+∠BPF=270°，
∴∠EPF=360°(∠EPB+∠BPF) =90°，
∵AB=DC=6，
∴PE=PF=3， 故△EPF是等腰直角三角形．
∴EF=.
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，关键是计算出∠EPF=90°．
【夯实基础】
1、若对角线的三边的比是4:5:6，其周长为120cm，那么这个三角形最长的中位线的长为 ( )
A．30 cm B．24 cm C．12 cm D．6 cm
2、如图，在四边形ABCD中，P，Q分别是BC，AB上的点，E，F分别是DP，PQ的中点，当点P在BC上从B向C运动而点Q不动时，下列结论成立的是 ( )????
A．线段EF的长度逐渐增大 B．线段EF的长度逐渐减小
?C．线段EF的长度不变?? D．线段EF的长度与点P的位置有关

3、如图，□ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，BD=10，则
△DOE的周长为在 (　　)
A．24 B．19 C．12 D．8
4、如图，△ABC中，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，将△AEF沿EF折叠，使得A落在边BC上的点处，连接EF，ED，DF，E与FD相交于点P，有下面的结论：
①△EDF≌△；②S△EDF =；③PE=PF；④E⊥FD；⑤△的周长等于
△ABC周长的一半.其中正确的个数为 (　 )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5、如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB ，BC，AC的中点，若AB+BC=36，则四边形BEFD
的周长为________.
6、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别为AC，AB的中点，延长BC到D使DB=3DC，连接EF，ED，DF，若AB=28，则DE＝________.
7、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
如图，已知点D，E，F分别是△ABC三边BC，AB，AC的中点，EF与AD相交于点O.
求证：AD与EF互相平分.

8、如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝90°，点E为CD的中点，AC+AD＝18，
∠BAC+∠CAD=90°.求BE的长．
【提优特训】
9、如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则图中中位线的条数是(　　)条
A．3 B．6 C．9 D．12
10、如图，以△ABC的邻边为边作□ADBC，□ABCF ，□ABEC，得到△DEF，若△ABC的周长
为15cm， 则△DEF的周长为( ).
A．15 cm B．30 cm C．45 cm D．60 cm
11、如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB，的中点，若AB=12cm，BC=10 cm，AD=9 cm，
CE=6 cm，则四边形BDPE的周长为 ( ) cm.
A．21 B．17.5 C．16 D．14.75
12、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD和CD的中点，AD∥BC，若AB=13，BC=5，
EF=6，则△EFD的形状是___ __________.
13、如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AB的中点，点G，F是AC的四等分点连接DE，DG， BF，且BF分别与DE，DG相交于点P，Q，则PQ:BF=________．
14、①如图，以△ABC的边AB，AC作等边三角形ABD和等边三角形ACE，点G，P，H分别为
BD，BC，CE的中点，则∠PGH的度数为 ．
②如图，在四边形ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点，若AD=14，BC=10，
则EF的取值范围为 ．
15、如图，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠PDC=90°，点E为PB的中点，
求证：ED=AP.
16、如图，在□ABCD中，点E，F分别是AC和AB上的点，DE=AF，连接AE，DF相交于点P，连接BE，CF相交于点Q，连接PQ.求证：①PQ∥AB；②PQ=.

17、如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，点E，F分别是对角线BD，AC的中点，点G，H分别是AD，BC的中点，连接EF，GH相交于点P，若AD=6，BC=20，
(1)求EF的最大整数值；
(2)求证:EF与GH互相平分.
18、如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，M、N分别为BC的三等分点，连接DM，EN，并延长DM，EN相交于点P，连接BP，CP.
求证：四边形ABPC为平行四边形.

【中考链接】
19、(2018?海南13题，3.00分)如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为(　　)
A．15 B．18 C．21 D．24
20、(2018?四川泸州，7题，3分)如图2，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则□ABCD的周长为( )
A.20 B. 16 C. 12　 D.8
21、(2018?四川达州，8，3分)△ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M．若BC＝7，则MN的长为( ) ．
A． B．2 C． D．3
22、(2018?四川南充，第8题，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为( )
A． B．1 C． D．
23、(2018?宁波市，7题，4分) 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE若∠ABC =60°∠BAC=80°，则∠1的度数为
A．50° B．40° C．30° D．20°
24、(2018?山东淄博，23． 9分)(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　 　；位置关系是　 　．
(2)类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中
AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
(3)深入研究：
如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
参考答案
1、B 2、C 3、C 4、C 5、36 6、14 9、C 10、B 11、C 12、直角三角形
13、1:4 14、①30 ② 27、证明：连接DE，DF，
∵点D，E分别是△ABC三边BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=AC.
∵点F是AC的中点，
∴AF=AC.
∴DE∥AF，DE=AF，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴AD与EF互相平分.
8、解：延长CB，DA相交于点F.
∵∠BAC+∠CAD=90°，
∴2∠BAC+∠CAD=180°.
∵∠BAC+∠BAF+∠CAD=180°，
∴2∠BAC=∠BAC+∠BAF.
∴∠BAC=∠BAF.
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAF＝90°.
在△BAF和△BAC中，
∵，
∴△BAF≌△BAC (ASA)．
∴BF=BC，AF=AC，
∴DF=AD+AF= AC + AD=18.
∵BF=BC，
∴点B为CF的中点，
∵点E为CD的中点，
∴BE是△FCD的中位线，
∴BE=DF=9.
15、证明：延长PD到F，使PD=DF，连接PF，CF，
∵△PDC是等腰直角三角形，∠PDC=90°，
∴DP=DC，∠PCD=45°.
∵PD=DF，
∴CD是 PF垂直平分线，
∴CP=CF，∠FCD=∠PCD=45°.
∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=∠BCD+45°.
∵∠PCB=∠PCD∠BCD=45°-∠BCD，
∴∠ACP=∠ACB∠PCB=90°∠PCB=90° (45°∠BCD)
=∠BCD+45°.
∴∠BCF=∠ACP.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC.
在△ACP和△BCF中，
∵，
∴△ACP≌△BCF (SAS)．
∴AP=BF.
∵点E为PB的中点，
∴ED是△PBF的中位线，
∴ED=BF.
∴ED=AP.
16、 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∵DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFED为平行四边形，
∴AE与FD相互平分，
∴点P为AE的中点，
同理可证点Q是BE的中点，
∴ PQ为△AEB的中位线，
∴①PQ∥AB；②PQ=.
17．(1)解：设点M为CD的中点，连接EM，FM，
∵点E，F分别是对角线BD，AC的中点，
AD=6，BC=20，
∴EM为△BCD的中位线，FM为△ACD的中位线，
∴EM==10，FM==3，
在△EFM中，
∵EMFM∴103 即7∴EF的最大整数值为12.
(2)证明：连接EH，HF，FG，GE，
∵点E，F分别是对角线BD，AC的中点，
点G，H分别是AD，BC的中点，
∴EH为△BCD的中位线，GF为△ACD的中位线，
∴EH∥DC，EH=DC，
∴GF∥DC，GF=DC，
∴EH∥GF，EH=GF，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴EF与GH互相平分.
18、证明：连接AM，AN，AP，AP与BC相交于点O，
∵M、N分别为BC的三等分点，
∴BM=MN=NC.
∴点M为BN的中点，
∴DM为△ABN的中位线，
∴DM∥AN.
即MP∥AN.
同理可证：NP∥AM.
∴四边形AMPN为平行四边形.
∴OA=OP，OM=ON，
∵BM=MN=NC.
∴BM+MO=CN+ON
即BO=CO.
∴四边形ABPC为平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形).
24、【考点】KY：三角形综合题．
【分析】(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
(2)同(1)的方法即可得出结论；
(3)同(1)的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【解答】解：(1)连接BE，CD相较于H，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB(SAS)，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE
=∠BDC+∠ABD+∠ADC
=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点，
∴MG=CD，MG∥CD，
同理：NG=BE，NG∥BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
(2)连接CD，BE，相较于H，
同(1)的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
(3)连接EB，DC，延长线相交于H，
同(1)的方法得，MG=NG，
同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE
=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同(1)的方法得，MG⊥NG．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．