6.3反比例函数的应用 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）
A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝
3．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
4．如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．如图，直线y＝与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
8．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共6小题）
9．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积v（单位：m3）满足函数关系式（k为常数，k≠0）其图象如图所示过点（6，1.5），则k的值为 ．
10．如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A，与x轴正半轴交于点B，且S△AOB＝1，则反比例函数解析式为 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为 ．
12．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（x＞0）的图象与y2＝（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象上．若OB＝AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 ．
14．如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y＝（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．则点A2018的坐标为 ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
16．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）反比例函数的解析式为，点B的坐标为 ．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集为 ．
（3）点P是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为1，求点P的坐标．
18．如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，B（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）直接写出直线DE的解析式；
（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，求m的值；
（3）在分别过M，B的双曲线y＝（x＞0）上是否分别存在点F，G使得B，M，F，G构成平行四边形，若存在则求出F点坐标，若不存在则说明理由．
6.3反比例函数的应用 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）
A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
解：如图，
∵A、B两点在双曲线y＝上，
∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，
∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6
故选：C．
2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝
解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，
∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．
故选：A．
3．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
解：设A的坐标是（m，n），则mn＝2．
则AB＝m，△ABC的AB边上的高等于n．
则△ABC的面积＝mn＝1．
故选：A．
4．如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：由矩形的面积公式可得xy＝6，
∴y＝（x＞0，y＞0）．图象在第一象限．
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C．若点A为线段BC的中点，则k的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，﹣2）．
设C（x，），
∵点A为线段BC的中点，
∴，
解得．
故选：C．
6．如图，直线y＝与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
解：直线y＝向右平移3个单位后所得直线解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣，
设B（，t），则A（，2t），
把A（，2t）代入y＝x得2t＝?，即k＝t2，
把B（，t）代入y＝x﹣得t＝?﹣，则k＝，
所以t2＝，解得t1＝0（舍去），t2＝，
所以k＝×（）2＝6．
故选：A．
7．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y＝k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y＝k1x+b得k1＝10，b＝30
∴y＝10x+30（0≤x≤7），令y＝50，解得x＝2；
设反比例函数关系式为：y＝，
将（7，100）代入y＝得k＝700，
∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7＝13分钟，
故选：C．
8．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA＝PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）与体积v（单位：m3）满足函数关系式（k为常数，k≠0）其图象如图所示过点（6，1.5），则k的值为 9 ．
解：由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为ρ＝，
则1.5＝，
解得k＝9，
故答案为：9．
10．如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A，与x轴正半轴交于点B，且S△AOB＝1，则反比例函数解析式为 y＝﹣ ．
解：在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝0．即B（1，0）．
所以OB＝1．
设A（a，）．
由S△AOB＝1得到：×1×＝1．
所以＝2，①
因为点A（a，）是一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝（x＜0）的图象的交点，
所以＝﹣a+1，②
联立①②得到：a＝﹣1，k＝﹣2．
所以，反比例函数解析式为：y＝﹣．
故答案是：y＝﹣．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为 2 ．
解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，
∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，
∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．
故答案为2．
12．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式 t＝ ．
解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，
∴该水池的蓄水量为8×6＝48（立方米），
∵Qt＝48，
∴t＝．
故答案为：t＝．
13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（x＞0）的图象与y2＝（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象上．若OB＝AB，点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 （3+，﹣1+） ．
解：如图，
作正方形ABOC，过点C作CD⊥y轴于D，过点E作BE⊥y轴于E，
∴∠ODC＝∠BEO＝90°，OB＝OC，∠COD+∠BOE＝90°，
∵∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠BOE，
∴△COD≌△OBE，
∴CD＝OE＝2，OD＝BE，S△COD＝S△OBE，
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象与y2＝（x＞0）的图象关于x轴对称，
∴k1+k2＝0，
∴点C在双曲线y1＝上，
设B（m，﹣2）（m＞0），
∴C（2，m），
∴k1＝2m
连接BC交OA于H，
则CH＝BH，OH＝AH，
∴H（，），
∴A（m+2，m﹣2），
∴k1＝（m+2）（m﹣2）
∴（m+2）（m﹣2）＝2m，
∴m＝1+或m＝1﹣（舍），
∴m+2＝3+，m﹣2＝﹣1+，
∴A（3+，﹣1+），
故答案为：（3+，﹣1+）．
14．如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y＝（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．则点A2018的坐标为 （4，0） ．
解：可设点P1（x，y），
根据等腰直角三角形的性质可得：x＝y，
又∵y＝，
则x2＝4，
∴x＝±2（负值舍去），
再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0），
设点P2的坐标是（4+y，y），又∵y＝，则y（4+y）＝4，即y2+4y﹣4＝0
解得，y1＝﹣2+2，y2＝﹣2﹣2，
∵y＞0，
∴y＝2﹣2，
再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是（4，0）；
可以再进一步求得点A3的坐标是（4，0），推而广之，则An点的坐标是（4，0）．
故点A2018的坐标为 （4，0）．
故答案是：（4，0）．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
（1）求k和m的值；
（2）当x≥8时，求函数值y的取值范围．
解：（1）∵A（2，m），
∴OB＝2，AB＝m，
∴S△AOB＝?OB?AB＝×2×m＝5，
∴m＝5，
∴点A的坐标为（2，5），
把A（2，5）代入y＝，得k＝10；
（2）∵当x＝8时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
16．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y＝kx，
则150＝1.5k，
解得：k＝100，
故y＝100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：y＝，
则a＝150×1.5＝225，
解得：a＝225，
故y＝（x≥1.5），
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y＝；
（2）第二天早上7：00不能驾车去上班．
理由：∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，
∴x＝10时，y＝＝22.5＜＞0，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数图象与反比例函数的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）反比例函数的解析式为，点B的坐标为 （4，2） ．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集为 x＜﹣4或0＜x＜4 ．
（3）点P是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为1，求点P的坐标．
解：（1）把A（a，﹣2）代入y＝x，可得a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入，可得k＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）．
故答案为：（4，2）；
（2）根据图象，可得不等式的解集是x＜﹣4或0＜x＜4．
故答案为：x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设P（m，），则C（m，m），
依题意，得m?|m﹣|＝1，
解得m＝2或m＝2，（负值已舍去）．
∴P（2，）或P（2，）．
18．如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，B（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）直接写出直线DE的解析式；
（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，求m的值；
（3）在分别过M，B的双曲线y＝（x＞0）上是否分别存在点F，G使得B，M，F，G构成平行四边形，若存在则求出F点坐标，若不存在则说明理由．
解：（1）设直线DE的解析式为y＝kx+b，
将点D（0，3），E（6，0）代入y＝kx+b中，
得，
解得，，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+3；
（2）由（1）知，直线DE的解析式为y＝﹣x+3，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+3①，
∵反比例函数y＝（x＞0）②，
联立①②化简得，x2﹣6x+2m＝0，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，
∴△＝36﹣4×2m＝4（9﹣2m）＝0，∴m＝；
（3）∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∵B（4，2），
∴点M的纵坐标为2，N的横坐标为4，
∵点M，N在直线DE：y＝﹣x+3上，当y＝2时，﹣x+3＝2，
∴x＝2，
∴M（2，2），
当x＝4时，y＝1，
∴N（（4，1），
将M（2，2）代入y1＝，
得，m＝4，
∴y1＝，
将B（4，2）代入y2＝，
得，m＝8，
∴y2＝，
设G（a，），F（b，），
①假设存在，如图1﹣1，当MB作为平行四边形一边时，
∵MB＝2，yM＝yB，
∴GF＝2，yF＝yG，
∴或，
解得，或，
∴G（4，2），F（2，2），分别与B，M重合，舍去，
或G（﹣4，﹣2），F（﹣2，﹣2），在y轴左边，舍去；
②如图1﹣2，当MB为平行四边形对角线时，
MB与GF互相平分，
则＝3，＝2，
∴
解得，（舍去）或
∴G（3，），F（3，），
综上所述，点F坐标为（3，）．
