6.2 反比例函数的图象和性质同步练习

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浙教版八下同步练习第六章反比例函数
6.2 反比例函数的图象和性质
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．已知反比例函数y＝，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（1，2）
2．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第一、四象限
3．已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
4．反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
6．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
7．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
8．定义新运算：a※b＝，则函数y＝3※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．若反比例函数y＝在第一，三象限，则k的取值范围是　 　．
10．对于函数，当x＜2时，y的取值范围是　 　．
11．满足方程组，点A（x，y）在双曲线上，过点A作AB⊥x，则△AOB的面积是　 　．
12．若A为函数的图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为　 　．
13．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1﹣y2　 　0（填写“＜”或“＞”）．
14．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点，则△PCD的面积为　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共7小题）
15．如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，8）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．

16．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，并且当x＝3时，y＝5，当x＝1时，y＝﹣1；求y与x之间的函数关系式，并求当x＝2时，求y的值．
17．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．
（1）试确定此反比例函数的表达式；
（2）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是．设点Q的纵坐标为n，求n2﹣2n+2015的值．
18．如图，点A（a，2）在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，点D落在反比例函数的图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）求k值．

19．在学习了函数y＝ax+b，y＝ax，之后，几个同学讨论归纳了它们的特性，得出了以下结论：
①当a＞0时，三种函数都经过第一，三象限；
②函数y＝ax+b，y＝ax中自变量x可以是任意实数；
③当a＜0时，函数y＝ax+b，y＝ax随x增大而减小；
④当a＞0时，函数，y随x增大而减小．
试判断哪几个结论是准确的，然后将错误的结论中选择一个说明理由并改正．
20．如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点E恰好落在反比例函数y＝上，求平行四边形OBDC的面积．

21．反比例函数y＝和y＝（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交y＝的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．




参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知反比例函数y＝，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（1，2）
【分析】根据y＝得k＝xy＝2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
【解答】解：A、﹣2×1＝﹣2≠2，故不在函数图象上；
B、1×（﹣2）＝﹣2≠2，故不在函数图象上；
C、（﹣2）×（﹣2）＝4≠2，故不在函数图象上；
D、1×2＝2，故在函数图象上．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第一、四象限
【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y＝﹣，由其性质判断所在的象限．
【解答】解：x的倒数乘以﹣5为﹣，即y＝﹣，则函数过第二、四象限，故选C．
【点评】对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
3．已知函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据反比例函数的定义m2﹣5＝﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
∴，
解得m＝±2且m＜﹣1，
∴m＝﹣2．
故选：B．
【点评】对于反比例函数（k≠0）．（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
4．反比例函数y＝和一次函数y＝kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y＝的图象在二，四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．
5．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，1）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解：A、x＝1，y＝＝1，∴图象经过点（1，1），正确；
B、∵k＝1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k＝1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
6．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．
【解答】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，
则圆的面积为10π×4＝40π．
因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，
根据勾股定理，OP＝＝a．
于是π＝40π，a＝±2，（负值舍去），故a＝2．
P点坐标为（6，2）．
将P（6，2）代入y＝，
得：k＝6×2＝12．
反比例函数解析式为：y＝．
故选：D．

【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．
7．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
【分析】先判断出函数反比例函数y＝的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；
∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，
∵在第四象限内y随x的增大而增大，
∴0＞y3＞y2，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
8．定义新运算：a※b＝，则函数y＝3※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．
【解答】解：根据新定义运算可知，y＝3※x＝，
（1）当x≥3时，此函数解析式为y＝2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；
（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二．填空题（共6小题）
9．若反比例函数y＝在第一，三象限，则k的取值范围是　k＞1　．
【分析】根据反比例函数在第一，三象限得到k﹣1＞0，求解即可．
【解答】解：根据题意，得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．
10．对于函数，当x＜2时，y的取值范围是　y＞1或y＜0　．
【分析】对x＜2时的取值范围，应分为x＜0和0＜x＜2两部分来求解．
【解答】解：对于函数，当x＜0时，y＜0；
当0＜x＜2时，y＞1；
故当x＜2时，y的取值范围是y＞1或y＜0．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y＝（k≠0）中k的取值．
11．满足方程组，点A（x，y）在双曲线上，过点A作AB⊥x，则△AOB的面积是　1　．
【分析】首先解方程组求出x和y的值，再求出k的值，再根据双曲线的性质可知，△AOB的面积＝k即可得到答案．
【解答】解：∵方程组，
∴解得x＝x＝2，y＝1，
∵点A（x，y）在双曲线上，
∴k＝2，
根据双曲线的性质可知△AOB的面积＝k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二元一次方程组以及反比例函数的性质，解答本题的关键是求出双曲线k的值，本题比较基础．
12．若A为函数的图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB＝3，则k的值为　±6　．
【分析】根据反比例函数的关系式知，k＝xy，即k的值为该函数图象上的点的横纵坐标的乘积；然后利用三角形的面积的求法列出关于k的方程|k|＝3，通过解方程求得k值即可．
【解答】解：由反比例函数知，k＝xy，即k的值为该函数图象上的点的横纵坐标的乘积．故设点A（x、y）．
∴S△AOB＝AB?BC＝|xy|＝|k|＝3，
解得k＝±6．
故答案是：±6．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．反比例函数（k≠0）图象上所有的点的横纵坐标的乘积都等于k的值．
13．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1﹣y2　＜　0（填写“＜”或“＞”）．
【分析】首先根据反比例函数y＝（k＜0），以及x1＜x2＜0，得出y1＜y2，确定y1﹣y2的符号，
【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，即y1﹣y2＜0，
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的增减性，解决此题的关键是确定x1，x2的符号．
14．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点，则△PCD的面积为　　．

【分析】根据BC×BO＝1，BP×BO＝4，得出BC＝BP，再利用AO×AD＝1，AO×AP＝4，得出AD＝AP，进而求出PB×PA＝CP×DP＝，即可得出答案．
【解答】解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F，
∵双曲线，，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点，
∴矩形BCEO的面积为：xy＝1，
∵BC×BO＝1，BP×BO＝4，
∴BC＝BP，
∵AO×AD＝1，AO×AP＝4，
∴AD＝AP，
∵PA?PB＝4，
∴PB×PA＝PA?PB＝CP×DP＝×4＝，
∴△PCD的面积为：．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知得出PB×PA＝CP×DP＝是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题）
15．如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，8）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．

【分析】（1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解；
（2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答．
【解答】解：（1）把（﹣2，8）代入y＝，得8＝，
解得：k＝﹣16，所以y＝﹣；

（2）y1＜y2．
理由：∵k＝﹣16＜0，
∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的增减性，是中学阶段的重点，需熟练掌握．
16．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与（x﹣2）成正比例，并且当x＝3时，y＝5，当x＝1时，y＝﹣1；求y与x之间的函数关系式，并求当x＝2时，求y的值．
【分析】设y1＝，y2＝b（x﹣2），得出y＝﹣b（x﹣2），把x＝3，y＝5和x＝1，y＝﹣1代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：设y1＝，y2＝b（x﹣2），
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝﹣b（x﹣2），
把x＝3，y＝5和x＝1，y＝﹣1代入得：，
解得：a＝3，b＝﹣4，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝+4x﹣8，
当x＝2时，y＝+4×2﹣8＝．
【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
17．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．
（1）试确定此反比例函数的表达式；
（2）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是．设点Q的纵坐标为n，求n2﹣2n+2015的值．
【分析】（1）把A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，确定出反比例解析式；
（2）由P在反比例函数图象上，把P坐标代入反比例解析式得到关于m的关系式，由PQ垂直于x轴，设出Q（m，n），根据三角形OQM面积为，利用三角形面积公式得到得到mn＝﹣1，得出m＝﹣，把m＝﹣代入m2+2m+1＝0求出n2﹣2n的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：（1）把A（﹣，1）代入反比例解析式得：1＝，解得k＝﹣，
可得反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）由y＝﹣，得xy＝﹣，
∵点P（m，m+6）在反比例函数y＝﹣的图象上，其中m＜0，
∴m（m+6）＝﹣，
∴m2+2m+1＝0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q点的坐标为（m，n），
∵△OQM的面积是，
∴OM?QM＝，
∵m＜0，
∴mn＝﹣1，
∴m＝﹣，
把m＝﹣代入m2+2m+1＝0得，﹣+1＝0，
化简得，n2﹣2n+1＝0，
∴n2﹣2n＝﹣1，
∴．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．如图，点A（a，2）在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，点D落在反比例函数的图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）求k值．

【分析】（1）先把点A（a，2）代入反比例函数，求出a的值即可；
（2）先根据平移的性质求出D点坐标，再把D点坐标代入y＝即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数的图象上，
∴2＝，解得a＝，
∴A点坐标为（，2）；

（2）∵将△ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到Rt△DEF，
∴D点坐标为（，2），
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝×2＝7．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．在学习了函数y＝ax+b，y＝ax，之后，几个同学讨论归纳了它们的特性，得出了以下结论：
①当a＞0时，三种函数都经过第一，三象限；
②函数y＝ax+b，y＝ax中自变量x可以是任意实数；
③当a＜0时，函数y＝ax+b，y＝ax随x增大而减小；
④当a＞0时，函数，y随x增大而减小．
试判断哪几个结论是准确的，然后将错误的结论中选择一个说明理由并改正．
【分析】根据一次函数、正比例函数及反比例函数的性质对各结论进行判断并改正错误的结论．
【解答】解：（1）正确的结论：①②③；
（2）错误理由：当a＞0时，只有x1＞x2＞0或x2＜x1＜0时，y1＜y2，
而x2＜0＜x1时，y1＞y2；
改正：当a＞0时，在同一象限内，函数，y随x增大而减小．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数及反比例函数的性质，综合性较强，同学们应重点掌握．
20．如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点E恰好落在反比例函数y＝上，求平行四边形OBDC的面积．

【分析】（1）把B坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）由B与C坐标，表示出中点E坐标，把E坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出平行四边形的面积．
【解答】解：（1）把B坐标代入反比例解析式得：k＝12，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）∵B（3，4），C（m，0），
∴边BC的中点E坐标为（，2），
将点E的坐标代入反比例函数得2＝，
解得：m＝9，
则平行四边形OBCD的面积＝9×4＝36．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例解析式，反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．反比例函数y＝和y＝（k≠0）在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴，垂足为C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交y＝的图象于点B．已知点A（m，1）为线段PC的中点．
（1）求m和k的值；
（2）求四边形OAPB的面积．

【分析】（1）把A（m，1）代入y＝得到m的值，从而求出A点坐标，再根据点A（m，1）为线段PC的中点，求出P点坐标，即可求出k值；
（2）易得△ODP的面积为，△OAC的面积为，用四边形OCPD的面积减去△ODB的面积和△OAC的面积即可．
【解答】解：（1）把A（m，1）代入y＝得，m＝1，A点坐标为（1，1）．
∵点A（m，1）为线段PC的中点，
∴点P坐标为（1，2），
把（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2，
（2）∵点P坐标为（1，2），
∴四边形OCPD的面积为1×2＝2，
△ODB的面积为，△OAC的面积为，
∴四边形OAPB的面积为2﹣﹣＝1．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
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