6.3 反比例函数的应用同步练习

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浙教版八下同步练习第六章反比例函数
6.3 反比例函数的应用
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y＝（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB＝4，则双曲线y＝的k值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y＝（k≠0）的图象上，则点E的坐标为（　　）

A． B．（）
C．（） D．（）
3．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
5．观察图中给出的直线y＝k1x+b和反比例函数的图象，判断下列结论错误的有（　　）
①k2＞b＞k1＞0；②直线y＝k1x+b与坐标轴围成的△ABO的面积是4；
③方程组的解为，；
④当﹣6＜x＜2时，有k1x+b＞．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知直线y＝kx+b与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则x1x2的值（　　）
A．与k有关，与b无关 B．与k无关，与b有关
C．与k、b都无关 D．与k、b都有关
7．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y＝的图象经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于（　　）

A．3 B．6 C．12 D．24
8．如图，已知动点P在函数y＝（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，则AF?BE的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．函数y＝与y＝k2x（k1、k2均是不为0的常数，）的图象交于A、B 两点，若点A的坐标是（2，3），则点B的坐标是　 　．
10．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是　 　．

11．某电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（欧）成反比例．如图表示的是该电路中电流I（A）与电阻R之间关系的图象，则用R表示I电阻的函数解析式为　 　．

12．如图，已知直线y＝与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过原点O的另一条直线l交双曲线（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为6，则点P的坐标为　 　．

13．已知点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在双曲线y＝（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．如图，A、B是双曲线y＝上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．

16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．

17．如图，已知一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．

18．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　 　，自变量x的取值范为　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为　 　．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过　 　分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

19．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

20．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．
（1）直接写出点C的坐标为：C（　 　，　 　）；
（2）已知直线AC与双曲线在第一象限内有一交点Q为（5，n）；
①求m及n的值；
②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．




参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，梯形OACB的顶点O是坐标原点，OA边在y轴正半轴上，OB边在x轴正半轴上，且OA∥BC，双曲线y＝（x＞0）经过AC边的中点，若S梯形OACB＝4，则双曲线y＝的k值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】过AC的中点P作DE∥x轴交y轴于D，交BC于E，作PF⊥x轴于F，如图，先根据“AAS”证明△PAD≌△PCE，则S△PAD＝S△PCE，得到S梯形AOBC＝S矩形BODE，再利用S矩形DOFP＝S矩形BODE得到S矩形DOFP＝S梯形AOBC＝×4＝2，然后根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得|k|＝2，再去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：过AC的中点P作DE∥x轴交y轴于D，交BC于E，作PF⊥x轴于F，如图，
在△PAD和△PCE中
，
∴△PAD≌△PCE（AAS），
∴S△PAD＝S△PCE，
∴S梯形AOBC＝S矩形BODE，
∵S矩形DOFP＝S矩形BODE，
∴S矩形DOFP＝S梯形AOBC＝×4＝2，
∴|k|＝2，
而k＞0，
∴k＝2．
故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
2．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y＝（k≠0）的图象上，则点E的坐标为（　　）

A． B．（）
C．（） D．（）
【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点B的坐标为（1，1）．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y），
∴y×（1+y）＝1，
即y2+y﹣1＝0，
即y＝＝，
∵y＞0，
∴y＝，
∴点E的横坐标为1+＝．
故选：A．
【点评】考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
3．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、□OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝，S△OAD＝，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S□ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++6＝4k，k＝2．
故选：B．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
4．方程x2+3x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x﹣1＝0的实根x0所在的范围是（　　）
A．﹣1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3
【分析】所给方程不是常见的函数，两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根x0所在的范围．
【解答】解：方程x3+2x﹣1＝0，
∴x2+2＝，
∴它的根可视为y＝x2+2和y＝的交点的横坐标，
当x＝1时，前者为3，后者为1，明显已经在交点的右边了，
∴交点在第一象限．
∴0＜x0＜1，
故选：B．

【点评】解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
5．观察图中给出的直线y＝k1x+b和反比例函数的图象，判断下列结论错误的有（　　）
①k2＞b＞k1＞0；②直线y＝k1x+b与坐标轴围成的△ABO的面积是4；
③方程组的解为，；
④当﹣6＜x＜2时，有k1x+b＞．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用待定系数法分别求出直线y＝k1x+b和反比例函数的解析式，从而可知k2、b、k1、0的大小关系；
②根据直线y＝k1x+b的解析式，首先求出A与B的坐标，然后由三角形的面积公式可求出△ABO的面积；
③观察直线y＝k1x+b和反比例函数的图象的交点坐标，即可判定方程组的解是否正确；
④观察直线y＝k1x+b位于反比例函数的图象上方的部分对应的x的取值，即可判断是否正确．
【解答】解：①∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴k2＝2×3＝6，
∴y＝．
∵直线y＝k1x+b经过点（2，3）和点（﹣6，﹣1），
∴，
∴，
∴y＝x+2．
∴k2＞b＞k1＞0，正确；
②∵y＝x+2，
∴当y＝0，x＝﹣4．∴点A的坐标是（﹣4，0），
当x＝0时，y＝2．∴点B的坐标是（0，2）．
∴△ABO的面积是×4×2＝4，正确；
③观察图象，发现直线y＝k1x+b和反比例函数的图象交于点（﹣6，﹣1），（2，3），则方程组的解为，，正确；
④观察图象，可知当﹣6＜x＜0或x＞2时，有k1x+b＞，错误．
故选：A．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，函数图象与方程组的解的关系，体现了数形结合的思想．
6．已知直线y＝kx+b与双曲线交于（x1，y1）、（x2，y2）两点，则x1x2的值（　　）
A．与k有关，与b无关 B．与k无关，与b有关
C．与k、b都无关 D．与k、b都有关
【分析】根据y＝kx+b与双曲线有交点，列出一元二次方程，利用根与系数的关系即可求解．
【解答】解：由题意得：kx+b＝，即kx2+bx﹣k＝0，由于两根为x1，x2，根据根与系数的关系可得x1?x2＝＝﹣1，
∴与k、b都无关．
故选：C．
【点评】本题应先整理成一元二次方程的形式，然后根据根与系数的关系求解．
7．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y＝的图象经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于（　　）

A．3 B．6 C．12 D．24
【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO?AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．
【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD＝DC＝AC，
∴∠DBC＝∠ACB，
又∵∠DBC＝∠EBO，
∴∠EBO＝∠ACB，
又∵∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴BO：BC＝OE：AB，
即BC?OE＝BO?AB．
又∵S△BEC＝6，
∴BC?EO＝6，
即BC?OE＝12，
∵|k|＝BO?AB＝BC?OE＝12．
又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．
∴k＝12．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，已知动点P在函数y＝（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E，F，则AF?BE的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
【分析】由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF?BE．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），
∴BN＝1﹣，
在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°（OB＝OA＝1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF＝BN＝1﹣，
∴F点的坐标为（1﹣，），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2＝（1﹣1+）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，
∴AF2?BE2＝?2a2＝1，即AF?BE＝1．
故选：C．

【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．
二．填空题（共6小题）
9．函数y＝与y＝k2x（k1、k2均是不为0的常数，）的图象交于A、B 两点，若点A的坐标是（2，3），则点B的坐标是　（﹣2，﹣3）　．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（2，3），
∴B点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案是：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
10．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是　﹣1＜x＜0或x＞1　．

【分析】根据A、B的横坐标，结合图象即可得出当y1＜y2时x的取值范围．
【解答】解：∵正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，y1＜y2，
∴此时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1，
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
11．某电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（欧）成反比例．如图表示的是该电路中电流I（A）与电阻R之间关系的图象，则用R表示I电阻的函数解析式为　　．

【分析】电流I（A）与电阻R（欧）成反比例，可设I＝，根基图象得到图象经过点（3，2），代入解析式就得到k的值，从而能求出解析式．
【解答】解：可设I＝，
根据题意得：2＝，
解得k＝6，
因而R表示I电阻的函数解析式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．利用待定系数法是求解析式时常用的方法．
12．如图，已知直线y＝与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过原点O的另一条直线l交双曲线（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为6，则点P的坐标为　（1，2）（4，）　．

【分析】易得点A的坐标，把点A的坐标代入双曲线解析式可得k的值，根据A，B两点关于原点对称也就得到了点B的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得S△APB＝3，根据两点间的距离公式可得AB的长度，进而得到点P到直线AB的距离，设出点P的坐标根据点到直线的距离公式即可求得点P的坐标．
【解答】解：∵直线y＝与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为2，
∴点A的纵坐标为1，
∴k＝2×1＝2，
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为平行四边形，点B的坐标为（﹣2，﹣1），
过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，两线交于D，
AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∵四边形APBQ面积是6，
∴S△APB＝3，
∴P到AB距离＝，
∵P在双曲线上，
设P（x，），
根据点到直线距离公式，d＝＝，
∴x＝4或者x＝﹣1（舍去）或者x＝﹣4（舍去）或者x＝1；
所以P（4，）或者P（1，2）．
【点评】本题综合考查了反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，以及点到直线的距离公式等知识点．
13．已知点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　（x＞0）　．

【分析】设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．
【解答】解：设A（a，），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC＝AO，
∵AO＝，
∴CO＝，

过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，
解得：y＝﹣x，
在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，
将y＝﹣x代入，可得：x2＝，
故x＝，y＝﹣x＝﹣a，
则xy＝﹣9，
故可得：y＝﹣（x＞0）．
故答案为：y＝﹣（x＞0）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在双曲线y＝（k≠0）上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是　2　．

【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，通过证△OAB≌△EDA得出OA＝ED，OB＝EA，再由直线的解析式为y＝﹣3x+3可得出点A、B的坐标，从而得出OA、OB、DE、AE的长，即得出点D的坐标，根据A、B、D的坐标结合正方形的性质即可得出点C的坐标，由点D的坐标利用待定系数法即可求出双曲线的解析式，将点C的纵坐标代入到双曲线解析式中求出x的值，用点C的横坐标减去x的值即可得出a的值．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．

∵四边形ABCD为正方形，
∴BAD＝90°，AB＝AD，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠EAD＝90°，
∴∠OBA＝∠EAD．
在△OAB和△EDA中，
，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴OA＝ED，OB＝EA．
令一次函数y＝﹣3x+3中x＝0，则有y＝3，
即点B的坐标为（0，3）；
令一次函数y＝﹣3x+3中y＝0，则有﹣3x+3＝0，解得：x＝1，
即点A的坐标为（1，0）．
∴ED＝OA＝1，OE＝OA+AE＝OA+OB＝1+3＝4，
∴点D的坐标为（4，1）．
将点D（4，1）代入到双曲线y＝（k≠0）中得：1＝，
解得：k＝4，
∴双曲线的解析式为y＝．
∵点A（1，0）、点B（0，3）、点D（4，1），且四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（3，4）．
令双曲线y＝中y＝4，则4＝，解得：x＝1，
∴当点C平移到点（1，4）时，点C在双曲线上，
∴a＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，解题的关键是求出点C的坐标和双曲线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过全等找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
三．解答题（共6小题）
15．如图，A、B是双曲线y＝上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．
（1）求k的值；
（2）求△OAC的面积．

【分析】（1）把点A（1，4）代入y＝，即可求出k的值；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，由A的坐标是（1，4），得到AD＝4，OD＝1，根据B为AC的中点，求出B点坐标为（2，2），则DE＝CE＝2﹣1＝1，即OC＝3，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵A是双曲线y＝上的点，点A的坐标是（1，4），
∴把x＝1，y＝4代入y＝，得k＝1×4＝4；

（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD＝4，OD＝1．
又∵B为AC的中点，
∴BE＝AD＝2，且CE＝DE，
∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．
∴DE＝CE＝2﹣1＝1，即OC＝3，
∴S△OAC＝?AD?OC＝×4×3＝6．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．

【分析】（1）将C坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再由DE为3得到D纵坐标为3，将y＝3代入反比例解析式中求出x的值，即为D的横坐标，设直线解析式为y＝kx+b，将D与C的坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）过C作CH垂直于x轴，由C、D的纵坐标确定出DE与CH的长，分别为三角形ADE与三角形ACE中AE边上的高，由三角形CDE的面积＝三角形AED的面积+三角形AEC的面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵点C（6，﹣1）在反比例y＝图象上，
∴将x＝6，y＝﹣1代入反比例解析式得：﹣1＝，即m＝﹣6，
∴反比例解析式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数图象上，且DE＝3，即D纵坐标为3，
将y＝3代入反比例解析式得：3＝﹣，即x＝﹣2，
∴点D坐标为（﹣2，3），
设直线解析式为y＝kx+b，将C与D坐标代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）过C作CH⊥x轴于点H，
∵C（6，﹣1），∴CH＝1，
对于一次函数y＝﹣x+2，令y＝0，求得x＝4，故A（4，0），
由D坐标（﹣2，3），得到E（﹣2，0），
∴AE＝OA+OE＝6，
∴S△CDE＝S△CAE+S△DAE＝×6×1+×6×3＝12．

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．如图，已知一次函数的图象y＝kx+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．

【分析】（1）由点A、B的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点A、B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于C，找出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的横坐标即可得出结论；
（3）观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集．
【解答】解：（1）令反比例函数y＝﹣中x＝﹣2，则y＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，4）；
反比例函数y＝﹣中y＝﹣2，则﹣2＝﹣，解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，﹣2）．
∵一次函数过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2．
（2）设直线AB与y轴交于C，如图所示．
令为y＝﹣x+2中x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S△AOB＝OC?（xB﹣xA）＝×2×[4﹣（﹣2）]＝6．
（3）观察函数图象发现：
当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）找出点C的坐标；（3）根据函数图象的上下关系解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
18．为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　y＝x　，自变量x的取值范为　0≤x≤8　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为　y＝（x＞8）　．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过　30　分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y＝，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效．
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1
∴k1＝设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝k2＞0）代入（8，6）为6＝
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）

（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．

（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4
把y＝3代入y＝，得：x＝16
∵16﹣4＝12
所以这次消毒是有效的．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝5代入求出饮水机内的温度即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；

（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
即m＝800，
故y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：t＝40；

（3）∵45﹣40＝5≤8，
∴当x＝5时，y＝10×5+20＝70，
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
20．已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．
（1）直接写出点C的坐标为：C（　0　，　8　）；
（2）已知直线AC与双曲线在第一象限内有一交点Q为（5，n）；
①求m及n的值；
②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求当t取何值时S＝10．

【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．将A（10，0）、C（0，8）两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点Q代入函数关系式求得n值；最后将Q点代入双曲线的解析式，求得m值；
②分类讨论：当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t；当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10．
【解答】解：（1）C（0，8）…（3分）

（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），过A（10，0）、C（0，8）
，
解得：
∴直线AC的解析式为…（5分）
又∵Q（5，n）在直线AC上，
∴，…（6分）
又∵双曲线过Q（5，4），
∴m＝5×4＝20…（7分）
②当0≤t≤5时，OP＝10﹣2t，…（8分）
过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图1
∵Q（5，4），∴QD＝4，
∴，…（9分）
当S＝10时，20﹣4t＝10
解得t＝2.5…（10分）
当5＜t≤9时，OP＝2t﹣10，…（11分）
过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图2
∵Q（5，4），∴QE＝5，
∴，…（12分）
当S＝10时，5t﹣25＝10
解得t＝7
综上，S＝，
当t＝5秒时，△OPQ的面积不存在，
∴当t＝2.5秒或t＝7秒时，S＝10．…（13分）

【点评】此题主要考查反比例函数综合题．注意解（2）②时，要分类讨论，以防漏解．
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