第5章 特殊平行四边形单元尖子生测试题(含解析)

浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元尖子生测试题参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
D
B
C
C
C
B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
题号
11
12
13
14
15
16
答案
5 或 .
或10
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形,∴BC=BE，∴∠CBE=∠CEB=15°，在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD,∴△CBF≌△CDF（SAS），∴∠CDF=∠CBE=15°，又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角,∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .
18.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ADE和△FAB中, ∴△ADE≌△FAB(AAS)，∴DE=AB。 （2）解：连接DF， 在△DCF和△ABF中,DC=AB，∠C=∠B，FC=BF，∴△DCF≌△ABF(SAS)，∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴AD=AF=2∴DE=∵ 以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G∴DG=DE=∴AG=AD-DG=2-
19.【答案】 （1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=BC=CD∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠DAE=∠EAB=∠FCB=∠DCF∵AE=CF∴ΔAEB≌ΔAED≌ΔCFB≌ΔCFD∴DE=BE=DF=BF∴四边形BEDF是菱形（2）解：连接BD， ∵正方形ABCD的边长为4∴AC=BD=∵AE=CF=∴EF=AC-AE-CF=∴S菱形BEDF=
20.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝10，BF＝24，
∴AE⊥BF，OE＝ AE＝5，OB＝BF＝12，
∴BE＝ ，
∵S菱形ABEF＝ ?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝ ，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝
21.【答案】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，
?
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥CG，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22 ，
OA= ，
即OG=OA+AG= + =2 ，
∴EB=GD= ．
22.【答案】（1）解：解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（-2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=- x+ .
（2）解：由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m= ，
∴直线OE解析式为y= x，
令 ，解得x= ，
∴H点到y轴的距离为 ，
又由（1）可得F（0， ），
∴OF= ，
∴S△OFH= × × = .
（3）解：存在满足条件的N点，其坐标为（ ，- ）或（-4，- ）或（4， ）．
23.【答案】 （1）解：∵G是AE的中点，
∴AG＝EG，
又∵DG⊥AE，
∴ED＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴ED＝AB
（2）解：设∠EDG＝x，∠EDF＝y，
则2y﹣2x＝90°，
∴y﹣x＝45°，即∠GDF＝45°，
∴∠GFD＝90°﹣45°＝45°，
过点A作AH⊥EF交FD于点H，
则△AFH是等腰直角三角形
∴FH＝ AF，
由∠FAH＝∠BAD＝90°可得∠FAB＝∠HAD，
∵AF＝AH，AD＝AB，
∴△DAH≌△BAF（SAS），
∴DH＝FB，
而FD＝FH+DH，
∴FD＝ AF+DH＝ AF+FB；
（3）BQ＝ ．
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元尖子生测试题参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列命题中，不正确的是（?? ）
A.对角线相等的平行四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】 B
【考点】菱形的判定
【解析】【解答】由一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B不正确。 故答案为：B。 【分析】根据菱形的判定定理解答即可。
2.如图，在 ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（?? ）个。
A.?0???????????????????????????????????????? B.?1?????????????????????????????????????????? C.?2????????????????????????????????????????? D.?3
【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE＝OA，
∴AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE＝CE＝ AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质易证△AOE≌△COF，从而可判断四边形AFCE是平行四边形。结合菱形的定义和判定定理即可判断出②③正确。
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝ ，则线段BN的长为（?? ）
A.???????????????????????????????????? B.??????????????????????????????????? C.?2 ????????????????????????????????? D.?1
【答案】 D
【考点】角的平分线，正方形的性质
【解析】【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∵AM＝ ，
∴AH＝MH＝1，
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°
∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BNM＝∠BMN，
∴BN＝BM＝1，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质作出MH⊥AC，结合AM长可求出BM长，通过外角的知识可求出∠BMC，继而可判断出∠BNM＝∠BMN，BN＝BM。
4.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与A点重合，则EF（?? ）
A.?????????????????????????????????????? B.?????????????????????????????????????? C.??????????????????????????????????????? D.?
【答案】 B
【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4，
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四边形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH，
∵四边形AFEG与四边形CFED关于EF对称，
∴四边形AFEG≌四边形CFED，
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°，
设ED=x，则GE=x，AE=4﹣x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：
9+x2=（4﹣x）2 ，
解得：x= ，
∴AE= ，
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF，
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴ = ，
∴ = ，
∴BF= ，
∴FH=4﹣ ﹣ = ，
在Rt△FHE中，由勾股定理得：
EF= ，
故选B．
【分析】如图，过点E作EH⊥BC于H，根据轴对称的性质就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性质和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．
5.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝ AD．其中正确的有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】 D
【考点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中 ，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝ CD＝ AD，故④正确；
连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝ CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
故答案为：D．
【分析】由正方形性质和中点利用SAS定理易证△BCE≌△CDF，从而得到∠ECB＝∠CDF，再利用直角三角形两锐角互余即可得出
∠CGD＝90°即CE⊥DF；根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可判断④正确；连接AH后，同理可得：AH⊥DF，进而得到AH垂直平分DG，从而②正确；通过外角的知识进行转换，可得③正确。
6.如图，点A，B在直线l上两点，以AB为边作菱形ABCD，M、N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连接MP，若∠D=140°，则∠MPB的度数为（??? ）

A.?100°????????????????????????????????????B.?110°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?130°
【答案】 B
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的性质，等腰梯形的性质，等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠ADB=∠ABC=140°，
∴∠DBC=∠DBA=70°，∠CBP=40°，
∵DN=CN，CM=MB，
∴OM∥CD，MN∥BD，
∴四边形DNMO是平行四边形，
∴OM∥CD，MN=OD=OB，
∵PN⊥CD，
∴OM⊥PN，
∵PB∥OK∥DN，OD=OB，
∴NK=PK，
∴MN=PM，
∴PM=OB，
∴四边形OMPB的等腰梯形，
∴∠MPB=∠OBP=70°+40°=110°．
故答案为：B．
【分析】连接AC、BD相交于点O,连接MN、OM,OM交PN于K，求出∠OBP=110°，证明四边形OMPB是等腰梯形即可解决问题.
7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60° ， 则AE的长为（????? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
【答案】 C
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中,OC= AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA= AC=1，
在矩形OCED中,由勾股定理得：CE=OD= ，
在Rt△ACE中,由勾股定理得：AE= ；故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OC=?AC，AC⊥BD，从而得出DE=OC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCED是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出平行四边形OCED是矩形，根据菱形的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质菱形的性质得出AD=AB=AC=2,OA=?AC=1，根据勾股定理算出CE=OD=， AE=.
8.如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2=4CF?CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（ ??）

A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，确定圆的条件，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图：
正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，
在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，
∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，
∴∠5=∠G，
∴EC=EG．
在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，
∴∠3=∠4，
∴EC=EF，
从而得出EG=EF，即E为FG的中点．
∴①正确．
③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFA，
∵AB=BP，
∴∠1=∠BPA，
∵∠DPF=∠APB，∴∠DPF=∠DFP，
∵∠3=∠DFP，
∴∠4=∠DPE，
∴D、P、C、E四点共圆，
∴∠DEA=∠DCP，
∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，
∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，
∴AD=DE，
∴③正确，
②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），
∴△CEF∽△CDE，
∴ = ，即CE2=CF?CD，
∵∠3=∠4，
∴CE=EF，
∵E为FG的中点．
∴FG=2CE，即CE= FG，
∴ =CF?CD，
即FG2=4CF?CD，
∴②正确．
④∵四边形ABCD是正方形，
∴△PDF∽△PBA，
∴ = = ，
∴ = ，
∴ = ，
即CF= DF，
∴④错误，
综上所述，正确的由①②③．
故答案为：C．
【分析】①如图：根据正方形的性质得出BA=BC，∠ABP=∠CBP，从而利用SAS判断出△ABP≌△CBP，根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2，根据等角的余角相等得出∠5=∠G，根据等角对等边得出EC=EG，根据等角的余角相等得出∠3=∠4，根据等角对等边得出EC=EF，故从而得出EG=EF，即E为FG的中点；根据二直线平行，内错角相等得出∠1=∠DFA，根据等边对等角得出∠1=∠BPA，根据对顶角相等得出∠DPF=∠APB，故∠DPF=∠DFP，然后根据等量代换得出∠4=∠DPE，根据确定圆的条件得出D、P、C、E四点共圆，根据圆周角定理得出∠DEA=∠DCP，根据等角的余角相等及等量代换得出∠DAP=∠DCP=∠DEA，根据等角对等边得出AD=DE；判断出△CEF∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得出CE2=CF?CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出FG=2CE，即CE= FG，整体替换得出FG2=4CF?CD；利用正方形的性质判断出△PDF∽△PBA，根据相似三角形的性质得出 = = ，根据比例式即可得出CF= DF，综上所述即可得出答案。
9.如图，矩形ABCD的面积为1cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= ×1= ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2 ，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= × ×1= ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= cm2 ．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（?? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
【答案】B
【考点】勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.
【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为________
【答案】5 或
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵ ?∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，∴ ?∴ ?∴ ?∵点E在AC上, ??∴当E在点O左边时 ?当点E在点O右边时 ?∴ 或 ；故答案为： 或 .【分析】根据菱形的性质和已知条件易证△ABD是等边三角形、△ABO是直角三角形，用勾股定理易求AO的长，则AC=2AO，当E在点O左边时CE=OC+OE可求解；当点E在点O右边时CE=OC?OE可求解。
12.（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．

【答案】
【考点】三角形的面积，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S?BEDF=BE?AB=BF?DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2 ，
∴32+（7﹣x）2=x2 ，
解得：x= ，
∴BE= cm，
∴S菱形BEDF=BE?AB= cm2 ．
故答案为： cm2 ．
【分析】根据两组对边平行可得四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的面积公式得平行四边形的一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形BEDF是菱形，根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求解.
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为________．

【答案】
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB?AD= BD?AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA?PE+ OD?PF= OD?AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为：．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
14.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为________．

【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC=AB=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DBC=∠BCF=60°，
∵CE=DF，
∴BC﹣CE=CD﹣DF，
即BE=CF，
在△DBE和△BCF中，
∵ ，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDG=∠FBC，
∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=2，∠GBH=60°，
∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，
∴∠DBF=∠HBC，
在△BGD和△BHC中，
∵ ，
∴△BGD≌△BHC（SAS），
∴DG=CH=4，
∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，
∴BF∥CH，
∴△BGE∽△CEH，
∴ ，
∵EG+EH=2，
∴EG= ，
∴BF=DE=4+ = ，
∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，
∴△BGE∽△BCF，
∴ ，
∴ = ，
∴CF2= ，
CF= ，
∴BE=CF= ，
∴BC=3BE=3× =2 ，
∴CD=BC=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】作辅助线构造全等三角形，证明△DBE≌△BCF（SAS）和△BGD≌△BHC（SAS），计算DE=BF=,再证明△BGE∽△BCF，列出比例式， 求出CF= ，从而得CD的长.
15.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E为射线DC上一个动点，把 沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．
【答案】或10
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】分两种情况：如图1，当点F在矩形内部时， 点F在AB的垂直平分线MN上，，，由勾股定理得 ，，设DE为y，则 ， ，在 中，由勾股定理得： ，，即DE的长为 ．如图2，当点F在矩形外部时， 同 的方法可得 ，，设DE为z，则 ， ，在 中，由勾股定理得： ，，即DE的长为10，综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 或10，故答案为： 或10．【分析】分两种情况：当点F在矩形内部和外部，根据折叠的性质，在△ EMF ?中勾股定理可求出答案.
16.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则BE的值为________。
【答案】-1
【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：延长DM交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=2,AD∥BC，
∴∠ADM=∠H，
又∵M是AB的中点，
∴AM=BM=1，
在△ADM和△BHM中，
∵ ，
∴△ADM≌△BHM（AAS），
∴DM=HM，AD=BH=2,
∵EM⊥DM，
∴EH=ED,
设BE=x，
∴EH=ED=2+x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠EAD=90°,
∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,
即22-x2=（2+x）2-22,
化简得：x2+2x-2=0，
解得：x=-1，在Rt△ABE中，
故答案为：-1
【分析】延长DM交CB的延长线于H，由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,∠ADM=∠H；由全等三角形的判定AAS得△ADM≌△BHM，再根据全等三角形的性质得DM=HM，AD=BH=2,根据等腰三角形三线合一的性质可得EH=ED,设BE=x，则EH=ED=2+x，根据勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出BE的长.
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
【答案】解：∵∠BCD=90°，∠DCE=60°，∴∠BCE=150°，∵四边形ABCD为正方形，△DCE为等边三角形,∴BC=BE，∴∠CBE=∠CEB=15°，在△CBF和△CDF中，CF=CF，∠BCF=∠DCF，BC=CD,∴△CBF≌△CDF（SAS），∴∠CDF=∠CBE=15°，又∵∠DCF=45°，且∠AFD为△CDF的外角,∴∠AFD=∠DCF+∠CDF=15°+45°=60° .
【考点】三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质
【解析】【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠CDF，∠DCF的度数，再根据外角的性质即可求得答案.
18.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.

（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求AG的长.
【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ADE和△FAB中, ∴△ADE≌△FAB(AAS)，∴DE=AB。 （2）解：连接DF， 在△DCF和△ABF中,DC=AB，∠C=∠B，FC=BF，∴△DCF≌△ABF(SAS)，∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴AD=AF=2∴DE=∵ 以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G∴DG=DE=∴AG=AD-DG=2-
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，易证∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得∠EAD=∠AFB，∠AED=∠B，然后利用AAS可证△ADE≌△ABF，利用全等三角形的性质，可证得结论。（2）连接DF，利用SAS证明△DCF≌△ABF，可得到DF=AF，就可证得△ADF是等边三角形，再利用等边三角形的性质，就可求出AE、AD的长，利用勾股定理求出DE，即可求出DG的长，然后求出AG的长。
19.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE= ，求菱形BEDF的面积．
【答案】 （1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=BC=CD∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠DAE=∠EAB=∠FCB=∠DCF∵AE=CF∴ΔAEB≌ΔAED≌ΔCFB≌ΔCFD∴DE=BE=DF=BF∴四边形BEDF是菱形（2）解：连接BD， ∵正方形ABCD的边长为4∴AC=BD=∵AE=CF=∴EF=AC-AE-CF=∴S菱形BEDF=
【考点】菱形的判定，正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可知正方形ABCD的四条边相等，且对角线AC平分一组对角；再由已知中AE=CF，可以判定ΔAEB≌ΔAED≌ΔCFB≌ΔCFD，得到DE=BE=BF=FD；根据四条边相等的四边形是菱形即可判定。（2）根据已知给出的正方形的边长和勾股定理求得对角线AC与BD的长，再由AE=CF=， 得到EF的长，菱形BEDF的面积=。
20.已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．
【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝10，BF＝24，
∴AE⊥BF，OE＝ AE＝5，OB＝ BF＝12，
∴BE＝ ，
∵S菱形ABEF＝ ?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝ ，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝
【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由AD∥BC可得∠DAE＝∠AEB，∠BAD的平分线交可知∠DAE＝∠BEA，从而得∠BAE＝∠BEA，即得AF=BE，故有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）通过菱形的面积可表示为底乘高也可以是两条对角线积的一半，可求出菱形的高也即平行四边形ABCD的高，再根据平行四边形面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积。
21.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
?
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的长．
【答案】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°﹣（∠HDM+∠DMH）=180°﹣90°=90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，
?
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥CG，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB= ，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO2=22 ，
OA= ，
即OG=OA+AG= + =2 ，
∴EB=GD= ．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【解析】【分析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB=GD；（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．
22.如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC.
（1）求直线BD的解析式.
（2）求△OFH的面积.
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（-2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=- x+ .
（2）解：由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m= ，
∴直线OE解析式为y= x，
令 ，解得x= ，
∴H点到y轴的距离为 ，
又由（1）可得F（0， ），
∴OF= ，
∴S△OFH= × × = .
（3）解：∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，
由（2）可知OF= ，OD=4，
则有△MOF∽△FOD，
∴ ，即 ，解得OM= ，
∴M（- ，0），且D（4，0），
∴G（ ，0），
设N点坐标为（x，y），则 ， ，
解得x= ，y=- ，此时N点坐标为（ ，- ）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，
则有△FOD∽△DOM，
∴ ，即 ，解得OM=6，
∴M（0，-6），且F（0， ），
∴MG= MF= ，则OG=OM-MG=6- = ，
∴G（0，- ），
设N点坐标为（x，y），则 =0， ，
解得x=-4，y=- ，此时N（-4，- ）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，
∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF= ，
可求得N（4， ）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（ ，- ）或（-4，- ）或（4， ）．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质
【解析】【分析】（1）通过解一元二次方程可知OC、BC长，再由旋转的性质可知：OD=OC ，DE=BC，继而可写出B、D的坐标，再用待定系数法即可求出直线BD的解析式。（2）H点是OE与直线BD的交点，故可通过OE的表达式与BD的表达式联立求出H点坐标，F点是直线BD在y轴上的截距。求出F、H后利用三角形面积公式即可求出。（3）问是否存在题，一般先假设存在。以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形可能是矩形DFMN也可能是矩形DFNM、矩形DMFN，故分三种情况进行讨论，分别是 ∠MFD=90° 、 ∠MDF=90° 或∠FMD=90° ，画出相对应图形后即可利用各自几何特点求解。
23.如图1，过正方形ABCD的顶点A作直线AE，作DG⊥AE于点G，若G是AE的中点，连接DE．

（1）求证：ED＝AB；
（2）如图2，若∠CDE的平分线交EA的延长线于F点，连接BF，求证：DF＝ FA+FB；
（3）若正方形的边长为2，连接FC，交AB于点P．当P为AB的中点时，请直接写出AF的长．
【答案】 （1）解：∵G是AE的中点，
∴AG＝EG，
又∵DG⊥AE，
∴ED＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∴ED＝AB
（2）解：设∠EDG＝x，∠EDF＝y，
则2y﹣2x＝90°，
∴y﹣x＝45°，即∠GDF＝45°，
∴∠GFD＝90°﹣45°＝45°，
过点A作AH⊥EF交FD于点H，
则△AFH是等腰直角三角形
∴FH＝ AF，
由∠FAH＝∠BAD＝90°可得∠FAB＝∠HAD，
∵AF＝AH，AD＝AB，
∴△DAH≌△BAF（SAS），
∴DH＝FB，
而FD＝FH+DH，
∴FD＝ AF+DH＝ AF+FB；
（3）解：∵P是AB中点，AB＝2，
∴BP＝1，
在Rt△BPC中，BC＝2，
∴PC＝ ，
过B作BQ⊥PC于Q，连接BD，
S△BPC＝ PC?BQ＝ BC?BP，∴BQ＝1×2，
∴BQ＝ ，
由（2）知△AFH是等腰直角三角形，
∴∠AHF＝∠AFH＝45°，
则∠AHD＝∠AFB＝135°，
∴∠BFD＝90°，
又∠BCD＝90°，
∴F、B、C、D四点共圆，
∴∠BFC＝∠BDC＝45°，
∴∠AFP＝∠BQP＝90°，
又∵∠APF＝∠BPQ，AP＝BP，
∴△APF≌△BPQ（AAS），
∴AF＝BQ＝ ．
【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，圆周角定理，确定圆的条件，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意，DG是线段AE的中垂线，由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出 ED＝AD， 根据正方形的性质得出AD=AB，故ED=AB；（2） 设∠EDG＝x，∠EDF＝y， 根据角平分线的定义及正方形的性质得出 则2y﹣2x＝90°， 故 y﹣x＝45°，即∠GDF＝45°， 根据三角形的内角和得出 ∠GFD＝90°﹣45°＝45°， 过点A作AH⊥EF交FD于点H， 则△AFH是等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的性质得出 FH＝ AF， 根据同角的余角相等得出 ∠FAB＝∠HAD， 然后利用SAS判断出 △DAH≌△BAF ，根据全等三角形对应边相等得出DH=FB，最后根据 FD＝FH+DH， 即可得出结论；（3）根据线段中点的定义得出BP=1,利用勾股定理算出PC的长， 过B作BQ⊥PC于Q，连接BD， 根据三角形的面积法，由 S△BPC＝ PC?BQ＝ BC?BP 得出BQ的长，根据等腰直角三角形的性质及邻补角的定义全等三角形的对应角相等得出 ∠AHD＝∠AFB＝135°， 根据角的和差得出 ∠BFD＝90°， 根据四点共圆的条件得出 F、B、C、D四点共圆， 根据等弧所对的圆周角相等及正方形的性质得出 ∠BFC＝∠BDC＝45°， 进而得出 ∠AFP＝∠BQP＝90°， 然后利用AAS判断出 △APF≌△BPQ（AAS）， 根据全等三角形对应边相等得出结论： AF＝BQ＝ ．
浙教版八下数学第5章《特殊平行四边形》单元尖子生测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列命题中，不正确的是（?? ）
A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.如图，在 ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（?? ）个。
A.?0?????????????????????????????????????????? B.?1??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????? D.?3

（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图）
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝ ，则线段BN的长为（?? ）
A.??????????????????????????????????? B.????????????????????????????????????? C.?2 ?????????????????????????????????? D.?1
4.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与A点重合，则EF（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝ AD．其中正确的有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
6.如图，点A，B在直线l上两点，以AB为边作菱形ABCD，M、N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连接MP，若∠D=140°，则∠MPB的度数为（??? ）
A.?100°????????????????????????????????????B.?110°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?130°

（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F，若AB＝2，∠ABC＝60° ， 则AE的长为（????? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2=4CF?CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
如图，矩形ABCD的面积为1cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（??? ）
A.??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?

（第9题图） （第10题图）
10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（?? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为________
（第11题图） （第12题图） （第13题图） （第14题图）
12.（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为________．
14.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为________．
15.如图，在矩形ABCD中， ， ，点E为射线DC上一个动点，把 沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为________．
（第15题图） （第16题图） （第17题图）
16.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则BE的值为________。
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（4分）正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.求 ∠AFD的度数.
18.（8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求AG的长.
19.（9分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形ABCD的边长为4，AE= ，求菱形BEDF的面积．

20.（9分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．
21.（12分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG= ，求EB的长．
22.（12分）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根，且OC＞BC.
（1）求直线BD的解析式.
（2）求△OFH的面积.
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
23.（12分）如图1，过正方形ABCD的顶点A作直线AE，作DG⊥AE于点G，若G是AE的中点，连接DE．

（1）求证：ED＝AB；
（2）如图2，若∠CDE的平分线交EA的延长线于F点，连接BF，求证：DF＝FA+FB；
（3）若正方形的边长为2，连接FC，交AB于点P．当P为AB的中点时，请直接写出AF的长．