4.6 反证法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册4.6反证法
【知识清单】
反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
【经典例题】
例题1、反证法证明题实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
【考点】反证法与缩放法．
【分析】此题主要考查了反证法与缩放法，解决问题的关键是“至多”、 “至少”题型的证明方法，解决本题应假设a≥0、b≥0、c≥0、d≥0，然后证明得出矛盾即可.
【解答】证明：假设a≥0、b≥0、c≥0、d≥0，
∵a+b=c+d=1，
∴1=(a+b)(c+d)．
∴1=ac+bd+bc+ad≥ac+bd．
这与ac+bd＞1矛盾．
所以假设不成立，即a，b，c，d中至少有一个负数．
【点评】此题主要考查了反证法与缩放法，解决问题的关键是“至多”、 “至少”题型的证明方法，解决问题的关键的理解“至多”、 “至少”的含义以及使用缩放法的技巧.
例题2、试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数．
【考点】一元二次方程的整数根与有理根、反证法．
【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x=
要使二次方程的为有理数根，一定存在有理数n，则有n=，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为奇数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．
【解答】解答：证明：假设a、b、c全为奇数，△=b24ac≥0，
则有x=
要使二次方程有有理数根，一定存在为有理数n，使得n=，
∴b24ac=n2，
∴(bn)(b+n)=4ac，
∵若n为偶数，(bn)(b+n)=奇数×奇数=奇数≠4ac，
∴n只能为奇数，
∴bn为偶数，b+n也为偶数，
∴(bn)(b+n)=偶数×偶数=2a×2c，
即bn=2a，b+n=2c或bn=2c，b+n=2a
解得：b=a+c，
此时b=奇数+奇数=偶数，与原假设矛盾，
∴原假设不成立．
∴如果整系数二次方程ax2+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．
【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．
【夯实基础】
1、要证明命题“若a2>b2，则a>b ”是假命题，下列a、b的值不能作为反例的是 ( )
A．a=1，b=0 B．a=3，b=2 C．a=2，b=1 D．a=3，b=4
2、用反证法证明“在同一平面内，若b⊥a，a⊥c，则b∥c”，应假设( )．
A．a不垂直于b B．b、c都不垂直于a C．b⊥c D．b不平行于c或b 与c相交
3、选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(　　)
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
4、设a，b，c都是正实数，x＝a＋，y＝b＋，z＝c＋，则x，y，z三个数( )
A．至少有一个不大于2????B．都小于2? C．至少有一个不小于2????D．都大于2?
5、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设 .
6、设a1、a2、a3、a4、a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5＝1，那么这五个数中至少有一个大于或等于.用反证法证明这一结论的第一步是________．
7、用反证法证明(填空)：
两条直线被第三条直线所截．如果内错角相等，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1=∠2．
求证：l1___l2
证明：假设l1____l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠2+∠3+∠P______180°______
所以∠2+∠3______180°，
∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∴这∠2+∠3=______，与______矛盾，故______不成立．
证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠2+∠3+∠P=180°(三角形内角和定理)，
所以∠2+∠3＜180°，
∠2+∠3=180°
这与∠2+∠3<180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2
8、试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
举例：如果mn<0，那么m+n<0.
反例：设m＝5，n＝3，mn＝5×(3)＝15＜0，而m+n＝5+(3)＝2>0.
所以，这个命题是假命题．
(1)如果a+b<0，那么ab>0；
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么ab是无理数；
(3)一组对边相等，一组对角相等的四边形的四边形是平行四边形．
解：(1)取a＝4，b＝2，则a+b＝2<0，但ab＝8＜0.
所以此命题是假命题
(2)取a＝，b＝，a，b均为无理数．
但ab＝1是有理数，所以此命题是假命题
(3)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，
点D是底边BC上的一点BD≠DC，连接AD，
作∠EDA＝∠BAD，截取DE=AB，
可以得到△ABD≌△DEA，
所以AB=DE，∠E＝∠B，BD=EA.
由AB＝AC，∠B=∠C，所以∠E＝∠C.
在四边形AEDC中，DE=AB，∠E＝∠C，AE≠DC.
所以四边形AEDC不是平行四边形，
因此，此命题是假命题.
【提优特训】
9、用反证法证明命题“若a+b+c≥0，abc≤0，则a、b、c三个实数中最多有一个小于零”的反设
内容为(　　)
A． a、b、c三个实数中最多有一个不大于零
B． a、b、c三个实数中最多有两个小于零
C． a、b、c三个实数中至少有两个小于零
D． a、b、c三个实数中至少有一个不大于零
10、对假命题“任何一个角的补角都不大于这个角”举反例，正确的反例是(?? )
A．∠α=75°，∠α的补角∠β=105°，∠β＞∠α B．∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠α
C．∠α=110°，∠α的补角∠β=70°，∠β＜∠α D．两个角互为邻补角
11、用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设(　　)
A. 四边形中每个角都是锐角 B. 四边形中至多有一个钝角或直角
C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角
12、用反证法证明“若a≠b，则a2≠b2”的第一步是_____________.
13、为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是 ．
14、用反证法证明：已知a证明：假设a不是负数，那么a是__________或a是________.
①如果a=0，那么a=a，这与题设矛盾，所以a不可能是零；
②如果a是______，那么a>a，这与______矛盾，所以a不可能是______；
综合①和②知a不能是______也不可能是______，
所以a必为负数.
15、用反证法证明：是一个无理数．(说明：任何一个有理数均可表示成的形式，且a，b
互质)

16、设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c＝0，bx2+2cx+a＝0，cx2+2ax+b＝0
至少有一个方程有实数根．

17、阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．

18、已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B+A′C＞AB+AC．用反证法证明：点A′在△ABC的外部．

【中考链接】
19、(2017?山西) 9.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导
致了第一次数学危机．是无理数的证明如下：假设是一个有理数，
则存在a，b使=(其中，a，b是正的自然数且互质.)所以2=，所以b2=2a2．
所以b2可以被2整除，所以b也能被2 整除.设b=2p(p是正的自然数)，2 a2= b2=4p2，
所以a2=2 p2，这样 a2也能被2整除，a也能被2整除，此a与b有公因数2.这与a，b互质
相矛盾，假设是一个有理数不成立，所以为无理数.
这种证明“是无理数”的方法是(??)
A．综合法????B．反证法????C．举反例法????D．数学归纳法
20、(2018?重庆B) 6.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数定是0
21、(2018?北京) 11. 用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值
可以是 ， ， .
参考答案
1、D 2、D 3、A 4、C 5、每个内角都大于60° 6、假设a1、a2、a3、a4、a5都小于
9、C 10、A 11、A 12、a2=b2 13、等腰直角三角形 14、零，正数 正数、题设、正数 零、正数 19、B 20、A 21、a=1、b=2、c=0
7、证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠2+∠3+∠P=180°(三角形内角和定理)，
所以∠2+∠3＜180°，
∠2+∠3=180°
这与∠2+∠3<180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2
8、解：(1)取a＝4，b＝2，则a+b＝2<0，但ab＝8＜0.
所以此命题是假命题
(2)取a＝，b＝，a，b均为无理数．
但ab＝1是有理数，所以此命题是假命题
(3)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，
点D是底边BC上的一点BD≠DC，连接AD，
作∠EDA＝∠BAD，截取DE=AB，
可以得到△ABD≌△DEA，
所以AB=DE，∠E＝∠B，BD=EA.
由AB＝AC，∠B=∠C，所以∠E＝∠C.
在四边形AEDC中，DE=AB，∠E＝∠C，AE≠DC.
所以四边形AEDC不是平行四边形，
因此，此命题是假命题.
15、证明：假设是一个有理数，
则存在a，b使=(其中，a，b是正的自然数且互质.)
所以5=，所以b2=5a2．
所以b2可以被5整除，所以b也能被5 整除.
设b=5p(p是正的自然数)
则5 a2= b2=25p2，
所以a2=5 p2
这样 a2也能被5整除，a也能被5整除
因此a与b有公因数5.
这与a，b互质相矛盾
假设是一个有理数不成立，所以为无理数.
所以假设不成立，原命题成立.
16、 解：假设题中的三个方程都没实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为Δ1，Δ2，Δ3，则有：
Δ1＝4b24ac<0①，Δ2＝4c24ab<0②，Δ3＝4a24bc<0③，
而①+②+③得：
4a2+4b2+4c24ab4ac4bc
=2(2a2+2b2+2c22ab2bc2ca)
=2〔(a22ab+b2)+ (b22bc+c2) +(c22ca+a2)〕
=2〔(ab) 2+ (bc) 2 +(ca) 2〕>0
∴这与Δ1+Δ2+Δ3<0矛盾，
故题中的三个方程至少有一个方程有实数根．
17、有错误．改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
所以∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC=BC不成立，所以AC≠BC．
18、 解答：证明：如图1，设点A′在△ABC的边上时，
∵AA′+AC＞A′C，
∴A′B+A′C＜AB+AC，
与已知矛盾，故假设不成立，原命题正确；
如图2，若点A′在△ABC内部时：
延长BA′交AC于点E
在△ABE中，AB+AE＞BE=BA′+A′E，
在△CA′E中，A′E+CE＞A′C
∴AB+AE+A′E+CE＞A′B+A′E+A′C
即有：AB+AC＞A′B+A′C，
与已知矛盾，故假设不成立，原命题正确；
由此可见，与△ABC共一条边BC的三角形中，另一顶点A'在AB、AC或△ABC内时都有A'B+A'C
＜AB+AC
因此满足条件的点A'必在△ABC外部．