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1.3 二次根式的运算（3）
教学目标 1．会应用二次根式解决简单的实际问题． 2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值．
教学设计
一名自行车极限运动爱好者准备从点A处骑到点B处．(如图) 问题1：若斜坡AB的坡比(即线段BE与AE长度之比)为1：1，AE＝2米，该爱好者从点A处骑到点B处后升高了多少米？他通过的路程是多少米？
解：∵＝，∴＝，即BE＝2． 在Rt△ABE中，AB＝＝＝2． ∴该爱好者从点A处骑到点B处后升高了2米，通过的路程是2米．
问题2：若这名爱好者从点A处出发，沿着A→B→C→D的路线前进至点D，已知斜坡AB的坡比(即BE与AE的长度之比)为1：1，AE＝2米，BE＝CF，斜坡CD的坡比(即CF与FD的长度之比) 为1：2，BC＝CD，那么该爱好者经过的路程是多少米？
解：∵＝，∴＝，即BE＝2． ∵＝，∴＝，即FD＝4． 在Rt△ABE中， AB＝＝＝2． 在Rt△CFD中， CD＝＝＝2． ∵BC＝CD，∴BC＝． ∴他通过的路程为＝AB＋BC＋CD ＝2＋＋2 ＝2＋3(米)．
1．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD∶BD＝4∶3，云梯底部离地面的距离BC为2m．你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
解：由＝，可设AD＝4x，BD＝3x， 在Rt△ABD中， ∵AB2＝AD2＋BD2， ∴(4x)2＋(3x)2＝152，解得x1＝3，x2＝－3(舍) ∴AD＝4×3＝12m， 由题意可得DE＝BC＝2m， ∴AE＝AD＋DE＝12＋2＝14m． 答：云梯的顶端离地面的距离为14米．
如图，是一张等腰直角三角形的彩色纸，AC＝BC＝40cm． 小红的操作步骤： 1、用铅笔作出斜边AB上的高CD，并且把CD进行四等分． 2、过分点E作直线与斜边AB平行，并且与两腰AC、BC分别交于点M、N，再分别过M、N点分别作斜边AB的垂线段，从而得到长方形彩条．然后依次过其它分点，依照相同方法作出另外两条彩条． 问题1：这3张长方形彩条的宽是多少？它们的总长度又是多少呢？ 问题2：若把上面的彩带剪成四段相等的彩条，做成一幅正方形美术作品的边框(彩条不重叠)． 那么该正方形美术作品的面积最大是多少？
解（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝40(cm)， ∴AB＝＝＝40(cm)． ∵CD⊥AB，AD＝BD，∴CD＝AB＝20(cm)． ∴CD＝×20＝5(cm)． ∴最上而长方形纸条的长是CD的2倍， ∴其长度为2×CD＝2×5＝10(cm)． 同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为： 2×CD＝2×10＝20(cm)，2×CD＝2×15＝30(cm)． 答：三张长方形纸条的长度分别为10cm．20cm，30cm．
（2）三张长方形纸条连接在一起的总长度为10＋20＋30＝60(cm)． 因此，给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为5cm，长为l5cm的彩色纸条围成如图样子． 则正方形的边长＝15－5＝10(cm)． 正方形的面积＝(10)2＝200(cm2)． 答：这幅正方形关术作品的面积为200cm2．
如图：一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1时回到O港．已知快艇的速度是60千米/时，问AB这段路程是多少千米？
解：由题意得△OAB为等腰Rt△， 则OA＝AB，OB＝AB， ∴OA＋AB＋OB＝(＋1)AB＝60， ∴AB＝≈24.9(km) 答：AB这段路程大约24.9km．
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1.3 二次根式的运算（3）
教学目标 1．会应用二次根式解决简单的实际问题． 2．进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值．
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一名自行车极限运动爱好者准备从点A处骑到点B处．(如图) 问题1：若斜坡AB的坡比(即线段BE与AE长度之比)为1：1，AE＝2米，该爱好者从点A处骑到点B处后升高了多少米？他通过的路程是多少米？
解：∵＝，∴＝，即BE＝2． 在Rt△ABE中，AB＝＝＝2． ∴该爱好者从点A处骑到点B处后升高了2米，通过的路程是2米．
问题2：若这名爱好者从点A处出发，沿着A→B→C→D的路线前进至点D，已知斜坡AB的坡比(即BE与AE的长度之比)为1：1，AE＝2米，BE＝CF，斜坡CD的坡比(即CF与FD的长度之比) 为1：2，BC＝CD，那么该爱好者经过的路程是多少米？
解：∵＝，∴＝，即BE＝2． ∵＝，∴＝，即FD＝4． 在Rt△ABE中， AB＝＝＝2． 在Rt△CFD中， CD＝＝＝2． ∵BC＝CD，∴BC＝． ∴他通过的路程为＝AB＋BC＋CD ＝2＋＋2 ＝2＋3(米)．
1．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD∶BD＝4∶3，云梯底部离地面的距离BC为2m．你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
解：由＝，可设AD＝4x，BD＝3x， 在Rt△ABD中， ∵AB2＝AD2＋BD2， ∴(4x)2＋(3x)2＝152，解得x1＝3，x2＝－3(舍) ∴AD＝4×3＝12m， 由题意可得DE＝BC＝2m， ∴AE＝AD＋DE＝12＋2＝14m． 答：云梯的顶端离地面的距离为14米．
如图，是一张等腰直角三角形的彩色纸，AC＝BC＝40cm． 小红的操作步骤： 1、用铅笔作出斜边AB上的高CD，并且把CD进行四等分． 2、过分点E作直线与斜边AB平行，并且与两腰AC、BC分别交于点M、N，再分别过M、N点分别作斜边AB的垂线段，从而得到长方形彩条．然后依次过其它分点，依照相同方法作出另外两条彩条． 问题1：这3张长方形彩条的宽是多少？它们的总长度又是多少呢？ 问题2：若把上面的彩带剪成四段相等的彩条，做成一幅正方形美术作品的边框(彩条不重叠)． 那么该正方形美术作品的面积最大是多少？
解（1）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝40(cm)， ∴AB＝＝＝40(cm)． ∵CD⊥AB，AD＝BD，∴CD＝AB＝20(cm)． ∴CD＝×20＝5(cm)． ∴最上而长方形纸条的长是CD的2倍， ∴其长度为2×CD＝2×5＝10(cm)． 同理可得，其余两张长方形纸条的长度依次为： 2×CD＝2×10＝20(cm)，2×CD＝2×15＝30(cm)． 答：三张长方形纸条的长度分别为10cm．20cm，30cm．
（2）三张长方形纸条连接在一起的总长度为10＋20＋30＝60(cm)． 因此，给这幅美术作品所镶的边框可以看做由四张宽为5cm，长为l5cm的彩色纸条围成如图样子． 则正方形的边长＝15－5＝10(cm)． 正方形的面积＝(10)2＝200(cm2)． 答：这幅正方形关术作品的面积为200cm2．
如图：一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1时回到O港．已知快艇的速度是60千米/时，问AB这段路程是多少千米？
解：由题意得△OAB为等腰Rt△， 则OA＝AB，OB＝AB， ∴OA＋AB＋OB＝(＋1)AB＝60， ∴AB＝≈24.9(km) 答：AB这段路程大约24.9km．
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