中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 一元二次方程
学习目标 1．经历一元二次方程概念的发生过程． 2．理解一元二次方程的概念． 3．了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
学习过程
合作学习：列出下列问题中关于未知数x的方程 （1）把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长． 设正方形的边长为xm，可列出方程为． （2）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．这种放射性元素平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为x，可列出方程：．
观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处． 相同之处： （1）两边都是整式； （2）只含有一个未知数； 不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数是1次，以上方程未知数的最高次数是2次．
定义： 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．
1．判断下列方程是否为一元二次方程： ①10x2＝9( √ ) ②2(x－1)＝3x( × ) ③2x2－3x－1＝0( √ ) ④－＝0( × ) ⑤2xy－7＝0?( × ) ⑥9x2＝5－4x( √ ) ⑦4x2＝5x( √ ) ⑧3y2＋4＝5y＋3y2( × )
想一想： 你能找到使x2＝4x两边相等的x的值吗？ x＝4或x＝2 定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)．
2．判断未知数的值x＝－1，x＝0，x＝2是不是方程x2－2＝x的根． 解：当x＝－1时，左边＝x2－2＝(－1)2－2＝1－2＝－1， 右边＝x＝－1， ∵左边＝右边， ∴x＝－1是原方程的解． 同理，x＝0不是方程的根，x＝2是方程的根．
3．已知关于x的方程x2＋ax＋a＝0的一个根是3，求a的值． 解：把x＝3代入方程，得：32＋3a＋a＝0解得：a＝－．
合作学习二 （1）x2＋3x－4＝0 （2）6700x2＋13400x－2500＝0 （3）4x2＋24x－85＝0 上述方程的书写格式有什么特征？ 定义： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式． a为二次项系数，b是一次系数，c为常数项．
例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
9x2＝5－4x 9x2＋4x－5＝0 9 4 －5
3y2＋1＝2y 3y2－2y＋1＝0 3 －2 1
4x2＝5 4x2－5＝0 4 0 －5
(2－x)(3x＋4)＝3 －3x2＋2x＋5＝0 －3 2 5
2x2－x＝4 2x2－x－4 2 －1 4
y－4y2＝0 －4y2＋y＝0 －4 0
(2x)2＝(x＋1)2 3x2－2x－1＝0 3 －1 －1
例2 已知一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个根x1＝1和x2＝－3．求这个方程．关于x的一元二次方程． 解：将x1＝1和x2＝－3代入方程2x2＋bx＋c＝0 得：解得 ∴这个一元二次方程是2x2＋4x－6＝0．
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根为1，求a＋b＋c的值． 解：将x＝1代入ax2＋bx＋c＝0，得a＋b＋c＝0．
思考：若a＋b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝1 拓展：若a－b＋c＝0， 你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝－1 拓展：若4a＋2b＋c＝0， 你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 一元二次方程
学习目标 1．经历一元二次方程概念的发生过程． 2．理解一元二次方程的概念． 3．了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
学习过程
合作学习：列出下列问题中关于未知数x的方程 （1）把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长． 设正方形的边长为xm，可列出方程为． （2）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．这种放射性元素平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为x，可列出方程：．
观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处． 相同之处： （1）两边都是整式； （2）只含有一个未知数； 不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数是1次，以上方程未知数的最高次数是2次．
定义： 两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程．
1．判断下列方程是否为一元二次方程： ①10x2＝9( √ ) ②2(x－1)＝3x( × ) ③2x2－3x－1＝0( √ ) ④－＝0( × ) ⑤2xy－7＝0?( × ) ⑥9x2＝5－4x( √ ) ⑦4x2＝5x( √ ) ⑧3y2＋4＝5y＋3y2( × )
想一想： 你能找到使x2＝4x两边相等的x的值吗？ x＝4或x＝2 定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根)．
2．判断未知数的值x＝－1，x＝0，x＝2是不是方程x2－2＝x的根． 解：当x＝－1时，左边＝x2－2＝(－1)2－2＝1－2＝－1， 右边＝x＝－1， ∵左边＝右边， ∴x＝－1是原方程的解． 同理，x＝0不是方程的根，x＝2是方程的根．
3．已知关于x的方程x2＋ax＋a＝0的一个根是3，求a的值． 解：把x＝3代入方程，得：32＋3a＋a＝0解得：a＝－．
合作学习二 （1）x2＋3x－4＝0 （2）6700x2＋13400x－2500＝0 （3）4x2＋24x－85＝0 上述方程的书写格式有什么特征？ 定义： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0 (a≠0，a，b，c为常数)的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式． a为二次项系数，b是一次系数，c为常数项．
例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
9x2＝5－4x 9x2＋4x－5＝0 9 4 －5
3y2＋1＝2y 3y2－2y＋1＝0 3 －2 1
4x2＝5 4x2－5＝0 4 0 －5
(2－x)(3x＋4)＝3 －3x2＋2x＋5＝0 －3 2 5
2x2－x＝4 2x2－x－4 2 －1 4
y－4y2＝0 －4y2＋y＝0 －4 0
(2x)2＝(x＋1)2 3x2－2x－1＝0 3 －1 －1
例2 已知一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个根x1＝1和x2＝－3．求这个方程．关于x的一元二次方程． 解：将x1＝1和x2＝－3代入方程2x2＋bx＋c＝0 得：解得 ∴这个一元二次方程是2x2＋4x－6＝0．
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根为1，求a＋b＋c的值． 解：将x＝1代入ax2＋bx＋c＝0，得a＋b＋c＝0．
思考：若a＋b＋c＝0，你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝1 拓展：若a－b＋c＝0， 你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝－1 拓展：若4a＋2b＋c＝0， 你能通过观察，求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一个根吗？ x＝2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
