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2.2 一元二次方程的解法（4）
学习目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程的根的情况． 3．会用公式法解一元二次方程．
学习过程
下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．请完成下面的填空： 方程的两边同除以，得x2＋x＋＝0． 移项，得x2＋x＝． 方程的两边同时加上，得x2＋x＋＝－＋， 即(x＋)2＝． 若b2－4ac≥0，(判别式) 可得x＋＝，x＋＝－． ∴ x1＝，x2＝． 我们也可以简单地表示为x＝．
根的判别式 从一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2－4ac的值来决定．因此b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： b2－4ac＞0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
填空： 一元二次方程b2－4ac的值方程根的情况x2－3x－6＝0＞0有两个不相等的实数根x2－4x＝3＞0有两个不相等的实数根x2＋9＝6x＝0有两个相等的实数根－2x2＝3x＋2＜0没有实数根x2－2x＋3＝0＜0没有实数根2x2－3＝x2－2x＞0有两个不相等的实数根
用公式法解一元二次方程： （1） 2x2－5x＋3＝0 解：对于方程2x2－5x＋3＝0， a＝2，b＝－5，c＝4， b2－4ac＝(－5)2－4×2×3＝1， ∴x＝＝， ∴x1＝＝，x2＝＝1． （2） 4x2＋4x＋1＝0 解：移项，得4x2＋4x＋1＝0， 则a＝4，b＝4，c＝1， b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝＝－， ∴x1＝x2＝－．
（3） x2＋x＋1＝0 解：a＝1，b＝1，c＝1， b2－4ac＝12－4×1×1＝－3＜0． ∴此方程无实数解． （4） x2－2x－＝0 解：方程两边同乘4，得3x2－8x－2＝0． 则a＝3，b＝－8，c＝－2， b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－2)＝88， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝．
公式法的一般步骤 1．变形：化已知方程为一般形式； 2．确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3．计算： b2－4ac的值； 4．代入：把有关数值代入公式计算； 5．定根：写出原方程的根．
例4． 解方程：x＝(x－2)2． 解：去括号，得x2－x＝x2－4x＋4， 化简，得x2－3x－4＝0． 则a＝，b＝－3，c＝4， b2－4ac＝(－3)2－4××4＝1， ∴x＝＝3±1， 即x1＝4，x2＝2． 2x2－x－1＝0． 解：a＝2，b＝－，c＝－1， b2－4ac＝(－)2－4×2×(－1)＝10， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝．
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2.2 一元二次方程的解法（4）
学习目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程的根的情况． 3．会用公式法解一元二次方程．
学习过程
下面我们来探讨怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．请完成下面的填空： 方程的两边同除以，得x2＋x＋＝0． 移项，得x2＋x＝． 方程的两边同时加上，得x2＋x＋＝－＋， 即(x＋)2＝． 若b2－4ac≥0，(判别式) 可得x＋＝，x＋＝－． ∴ x1＝，x2＝． 我们也可以简单地表示为x＝．
根的判别式 从一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b2－4ac的值来决定．因此b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： b2－4ac＞0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根； b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
填空： 一元二次方程b2－4ac的值方程根的情况x2－3x－6＝0＞0有两个不相等的实数根x2－4x＝3＞0有两个不相等的实数根x2＋9＝6x＝0有两个相等的实数根－2x2＝3x＋2＜0没有实数根x2－2x＋3＝0＜0没有实数根2x2－3＝x2－2x＞0有两个不相等的实数根
用公式法解一元二次方程： （1） 2x2－5x＋3＝0 解：对于方程2x2－5x＋3＝0， a＝2，b＝－5，c＝4， b2－4ac＝(－5)2－4×2×3＝1， ∴x＝＝， ∴x1＝＝，x2＝＝1． （2） 4x2＋4x＋1＝0 解：移项，得4x2＋4x＋1＝0， 则a＝4，b＝4，c＝1， b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝＝－， ∴x1＝x2＝－．
（3） x2＋x＋1＝0 解：a＝1，b＝1，c＝1， b2－4ac＝12－4×1×1＝－3＜0． ∴此方程无实数解． （4） x2－2x－＝0 解：方程两边同乘4，得3x2－8x－2＝0． 则a＝3，b＝－8，c＝－2， b2－4ac＝(－8)2－4×3×(－2)＝88， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝．
公式法的一般步骤 1．变形：化已知方程为一般形式； 2．确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3．计算： b2－4ac的值； 4．代入：把有关数值代入公式计算； 5．定根：写出原方程的根．
例4． 解方程：x＝(x－2)2． 解：去括号，得x2－x＝x2－4x＋4， 化简，得x2－3x－4＝0． 则a＝，b＝－3，c＝4， b2－4ac＝(－3)2－4××4＝1， ∴x＝＝3±1， 即x1＝4，x2＝2． 2x2－x－1＝0． 解：a＝2，b＝－，c＝－1， b2－4ac＝(－)2－4×2×(－1)＝10， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝．
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