5.1 矩形（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.1 矩 形
第1课时 矩 形(1)
【知识清单】
1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形.
2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
【经典例题】
例题1、如图：矩形ABCD的对角线AC=20，AB=12，则图中五个小矩形的周长之和为______．
【考点】平移的性质，矩形的性质．
【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，
下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于
CD，即五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=20，AB=12，
∴BC=.
将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
∴五个小矩形的周长之和=2(AB+BC)=2×(12+16)=56．
故答案为：56．
【点评】本题考查了平移的性质和矩形的性质的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．
例题2、如图，在矩形ABCD中，E，F为直线BC上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)△AOD是等腰三角形．
【考点】1.矩形的性质；
2.全等三角形的判定与性质；
3.等腰三角形的判定．
【分析】试题分析：(1)根据矩形的性质可得∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，然后求出∠DAF=∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可．
【解答】(1)在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，
∵BE=CF，BF=BC+FC，CE=BC+BE，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE(SAS)；
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠BAF=∠EDC，
∵∠DAF=90°∠BAF，∠EDA=90°∠EDC，
∴∠DAF=∠EDA，
∴△AOD是等腰三角形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记性质确
定出三角形全等的条件和等腰三角形的判定是解题的关键．
【夯实基础】
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2、下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.平行四边形 C.等腰三角形 D.矩形
3、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运
动，那么△BCP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是(????)

4、如图，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF经过点O分别与边BC，AD交于点E，
F，连接CF，若∠CEF=2∠CBD，DC=，有下面的结论：①FD=BE；②∠EOD=150°；
③BE2+AB2=AF2；④BC=6；⑤直线FC是线段OD的垂直平分线.其中正确的个数为(　)个.
A.?2?????????????????????? B.?3???????????? ???? C.?4???????????? ?? ?????D.?5


5、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，
AD于点F，若AB=5cm，AC=13 cm，则阴影部分的面积为 ．
6、如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，
∠AEB=15°，则AD的长度为 ．
7、如图，在矩形ABCD中，线段AD绕点A旋转与BC相交于点E，若点E为BC的中点，AB=，
求AC的长.

8、已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AD=8,
(1)若∠DAE︰∠BAE=3︰1，求∠EAC的度数；
(2)若ED=3BE，求AE的长．

【提优特训】
9、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于
点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是(　　)
A.?4????????????????????????????B.?4.6????????????????????????????C.4.8???????????? ? ??????????D.?5
10、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=15°，则AC=12，则AB的大小
为(?? )
A.3???????????? ??? B.?3()???????????????? C.?3?????????????? ? D.?3()
11、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OP⊥AC
交AD于点P，则AP的长是(　　)
A.?3??????????? B.??????????? ?? C.?????? ? D.?
12、矩形的两条对角线的一个交角为120°，两条对角线的长度的和为24cm，则这个矩形的一条较
短边为 cm.
13、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE平分∠ADC，若∠BDE=15°，则∠OEC
的度数为 .
14、如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上点P时，
则∠DAP=________度
15、如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在处，连接B交AD于点E，AB=4，
BC=6. 求证：
(1)AE=E；
(2)△EBD面积.

16、如图，已知矩形ABCD的周长为44cm，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，
且EF=EC.
(1)若AF=6cm，求FC的长．
(2)连接BE，求证：BE平分∠ABC.

??17、在矩形ABCD中，已知AD=4，AB=3，点P是直线AD上的一点，PE⊥AC，PF⊥BD，E，F分别是垂足，AG⊥BD与点G，
(1) 如图①点P在线段AD上，求PE+PF的值；
(2) 如图②点P在直线AD上，求PEPF的值.

18、如图所示，四边形ABCD是矩形，已知PB=PC.?
(1)若P是矩形外一点，求证：PA=PD；?
(2)若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA PD；
(3)若点P在矩形ABCD内部，上述结论是否仍然成立？

【中考链接】
19、(2018?山东威海)矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，
连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=(　　)
A．1 B． C． D．
20、(2018?陕西)4、如图，在矩形ABCD中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经
过点C，则k的取值为(　　)
A． B． C．2 D．2
21、(2018?广东)22．(7分)如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线
折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
(1)求证：△ADE≌△CED；
(2)求证：△DEF是等腰三角形．


22、(2018?天津24．10.00分)在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，
点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，
点O，B，C的对应点分别为D，E，F．
(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，
求点D的坐标；
(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，
AD与BC交于点H．
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标．
(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果
即可)．

参考答案
1、A 2、D 3、B 4、D 5、15cm2 6、 9、C 10、B 11、D
12、6 13、75° 14、30° 19、C 20、A
7、解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠B=90°
∵AE是AD旋转得到，
∴AE=AD=BC.
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=BC=AE，
∴BE2+AB2=AE2，
∴BE2+()2=4BE 2，
解得BE=1.
∴BC=2BE=2.
在Rt△ABC中，
AC=.
8、(1)解：如图
∵∠DAE︰∠BAE=3︰1，
∴∠BAE=22.5°，
∴∠ABE=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABE=67.5°
∴∠EAC=∠OAB∠BAE=67.5°22.5°=45°．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
∴OE+OD=3BE，
∴OBBE+OB=3BE，
∴OB =2BE，
∴点E为OB的中点，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=8，
∴AE=AD=4.
15、证明：(1)证法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠C=∠=90°，AB=DC，AD∥BC，
在△ABE和△DE中，
∵，
∴△ABE≌△DE(AAS).
∴AE=E；
证法二：∵△BD是△BCD沿对角线BD对折得到的，
∴∠1=∠2.
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴ BE=DE.
在Rt△ABE和Rt中，
∵，
∴Rt△ABE≌△Rt(HL).
∴AE=E；
(2)设DE=x，则BE=x，
∵AB=4，BC=6.
∴AE=6x
在Rt△ABE中,
BE2=AB2+AE2，
即x2=42+(6x)2.
解得x=.
∴△EBD面积=4×=.
16、(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，?
∴∠ABC=∠DCB=∠A=∠D=90°，AB=DC，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°.?
∵EF⊥ED，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．?
在△AEF和△DCE中，
∵，
∴△AEF≌△DCE (AAS)．?
∴AE=DC，AF=DE=6cm.
∵矩形ABCD的周长为44cm，
∴AD+DC=22cm.
∴AE+ED+DC=22cm.
∴2AE+AF=22cm.
∴2AE+6 cm =22cm.
解得AE=8 cm.
在Rt△AEF中，
FE=
EF=EC=10.
在Rt△EFC中，
FC=.
(2)由(1)得AE=DC，
∴AE=AB，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°.?
∴AE平分∠ABC.?
??17、 (1)解：如图③过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，?
∴OA＝OD，∠BAC＝90°.
在Rt△ABD中，AD=4，AB=3，
由勾股定理得BD=.
∵AG⊥BD，
∴ S△ABD=AB·AD=BD·AG
∴AB·AD=BD·AG
∴3×4=5AG，解得AG=.
∵S△AOD=S△AOP+S△POD，
∴ OD·AG= OA·PE + OD·PF.
∵OA=OD，
∴AG =PE+PF.
∴PE+PF= AG=.
(2)解：如图④过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，
∵S△AOD=S△AOPS△POD，
∴ OD·AG= OA·PE OD·PF.
∵OA=OD，
∴AG =PEPF.
∴PEPF= AG=.
18、解：(1)证明：如图①∵四边形ABCD是矩形，?
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.
? ∵PB=PC，?
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD.
在△APB和△DPC中，
∵，
∴△APB≌△DPC (SAS)，?
∴PA=PD.?
(2) =
(3)成立．理由如下：
如图②，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠PBA=∠PCD，
在△PBA和△PCD中，
∵，
∴△PBA≌△PCD(SAS)，
∴PA=PD．
21、【分析】(1)根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，
结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证
出△ADE≌△CED(SSS)；
(2)根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，
利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．
【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：(1)
根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；(2)利用全等三角形的性质找出
∠DEF=∠EDF．
22、【考点】LO：四边形综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】(Ⅰ)如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；
(Ⅱ)①根据HL证明即可；
②，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5﹣m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方
程求出m即可解决问题；
(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，
△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
【解答】解：(Ⅰ)如图①中，
∵A(5，0)，B(0，3)，
∴OA=5，OB=3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，
∴AD=AO=5，
在Rt△ADC中，CD==4，
∴BD=BC﹣CD=1，
∴D(1，3)．
(Ⅱ)①如图②中，
由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，
∵点D在线段BE上，
∴∠ADB=90°，
由(Ⅰ)可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)．
②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，
又在矩形AOBC中，OA∥BC，
∴∠CBA=∠OAB，
∴∠BAD=∠CBA，
∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC﹣BH=5m，
在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，
∴m2=32+(5m)2，
∴m=，
∴BH=，
∴H(，3)．
(Ⅲ)如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=DE?DK=×3×(5)
=，
当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=D′E′?KD′=×3×(5+)
=．
综上所述，≤S≤．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问
题，属于中考压轴题