5.1 矩形（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.2 矩 形
第2课时 矩 形(2)
【知识清单】
矩形的判定方法
1.定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
【经典例题】
例题1、下列说法中：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤四个角都相等的四边形是矩形；⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形．正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】矩形的判定．
【分析】利用矩形的两个判定定理和定义分别进行判断后即可确定题目的答案．
【解答】①对角线相等的四边形还有可能是等腰梯形，故错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确
③有一个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④有三个角是直角的四边形是矩形，故正确
⑤四个角都相等的四边形是矩形，故正确
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形，故错误.
故正确的有3个．故选B．
【点评】本题考查矩形的判定定理，牢记判断定理及定义是解答本题的关键，难度较小．
例题2、已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
求证：四边形EFGH是矩形．
【考点】矩形的判定.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，
那么AB∥DC，利用平行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°，
而BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，则∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，那么有∠HBC+∠HCB =90°，再利用三角形内角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB =90°，∴∠H=90°，
同理∠HEF=∠F=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，矩形的判定，熟记矩形的判定是解题的关键．
【夯实基础】
1、如图，AC，BD是□ABCD的两条对角线，要使□ABCD成为矩形，不能添加的条件是( )
A．AC=BD B．BC⊥DC C．∠1+∠3＝∠90° D．∠1＝∠2
2、要判断一个四边形门框是否为矩形，下面给出4个测量的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分 B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否垂直 D．任选三个内角测量其是否都为直角
3、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于
E、F，连接PB.若△PEB 的面积为S1，△APF的面积为S2，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1>S2 B．S14、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.有如下的结论：①∠ECB+∠FCD=90°；②EO=FO；③CO=EF；④AC⊥MN；⑤当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.其中结论正确的个数为( )个.
A．5 B．4 C．3 D．2

5、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8cm，BD=12cm，则四边形EFGH的面积是　 　cm2．
6、如图，在△ABO中，AB=OB，将△ABO绕点O顺时针旋转180°得到△CDO，连结AD，BC.当∠AOB为____度时，四边形ABCD为矩形．
7、如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，若四边DBEF
是平行四边形，连结AF.求证：四边形ADEF是矩形．

8、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，DG⊥AC于点G，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
【提优特训】
9、如图，宽60的矩形图案是由10个相同的小矩形拼成，则小矩形的长为( )
A．12 B．36 C．40 D．48

10、如图，点P是矩形ABCD外一点，PA=PD，设△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则矩形ABCD的面积为 ( )
A．S2S1 B．2S2S1 C．2(S2S1) D．S22S1
11、如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，E、F为BC上两点，EQ∥BM，FN∥CM，EQ与FN相交于点P，若四边形PQMN为矩形，则AB与BC应满足的条件是( )．
A．AB=BC B．BC=2AB C．BC=3AB D．AB⊥BC
12、矩形的三个顶点坐标分别是（3，4），（2，5），（3，5），那么第四个顶点坐标是 .

13、如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的一动点(不与A、B重合)，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC＝3，AC＝4，则线段EF长的最小值为 ．
14、在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，有下列结论：①若AB=DC，AD=BC，那么四边形ABCD是矩形；②若对角线AC，BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；③若∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；④若对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形；⑤若AB=DC，
AB∥DC，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的结论有 (填序号)．
15、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO=10，BO=DO，且AB=12，BC=16．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠ADF︰∠FDC=3︰2，DF⊥AC于E，则∠BDF的度数是多少？
16、如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，对角线
AC⊥BD于点O.
求证：四边形EFGH为矩形.

??17、如图，已知矩形ABCD，延长CB至E，使CE=AC，F为AE的中点，求证：BF⊥DF．

18、如图①，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
(1)如图②，若∠1=70°，求∠MKN的度数；
(2)如图③，△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
【中考链接】
19、2018.遵义如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
20、(2018.重庆A) 14．如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________(结果保留)．
21、(2018?达州)14．(3分)如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(﹣6，0)，C(0，2)．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　 　．


22、(2018?江西)10．(3.00分)如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为　 　．

参考答案
1、D 2、D 3、C 4、B 5、24 6、60 9、D 10、C 11、B 12、(2，4)
13、2.4 14、①②③⑤ 19、C 20、 21、 (，6) 22、
7、解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴D为AB的中点，AE=BE，
∵四边形DBEF是平行四边形，?
∴DB∥EF，DB=EF， BE=DF.
∵D为AB的中点，?
∴AD=BD.
∴AD∥EF，AD=EF.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AE=BE，?
∴DF=BE.
∴AE= DF.
∴平行四边形ADCE是矩形.
8、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD且AC=BD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形；
(2)∵OH=OG，HG=OH=HD，
∴△OGH是等边三角形，
∴∠CDO=∠GHO=60°，
∴△OCD是等边三角形，
而OF= 2cm，
∴OB=OD=2OF=4 cm，
∴△OCD 的面积== cm2.
∴矩形ABCD的面积=4S△OCD= cm2.
15、(1)证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO=CO=10，
∴AC=20，
∴122+162=400=202.
∴AB2+BC2=AC2.
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是矩形；
(2) ∵∠ADC=90°，∠ADF︰∠FDC=3︰2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC∠FDC=18°．
16、证明∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△BCD的中位线，
∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，
∴EH＝FG，EH∥FG，?
∴四边形EFGH为平行四边形，
又HG为△ACD的中位线，
∴HG∥AC，又HE∥BD，
∴四边形HMON为平行四边形，
又AC⊥BD，即∠AOD＝90°，
∴四边形HMON为矩形，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形.
??17、证明：连接CF，
∵CE=CA，F为AE的中点，
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ABE=∠BAD=90°，BC=AD，
∵F为AE的中点，
∴BF=AF=EF，∠FBA=∠FAB，
∴∠ABC+∠FBA =∠BAD+∠FAB，
即∠FBC=∠FAD.
在△FBC和△FAD中，
∵，
∴△FBC≌△FAD(SAS).
∴∠1=∠3，∠2+∠3=90°.
∴BF⊥DF．
18、解：(1)如图②，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．
(2)不能．理由如下：
如图③，过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME≥1，
∴NK≥1．
∴△MNK的面积=NK?ME≥．∴△MNK的面积不可能小于．
(3)分两种情况：
情况一：如图④，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MB=x，则AM=5x．
由勾股定理得12+(5x)2=x2，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
∴S△MNK=S△MND=1.3.
情况二：如图⑤，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=5x．
同理可得MK=NK=2.6．
∵MD=1，
∴S△MNK==1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．