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4.1 多边形（1）
学习目标 1．了解四边形的定义以及相关概念． 2．经历四边形内角和定理的发现过程． 3．理解四边形内角和定理的证明．会用四边形内角和定理解决简单的图形问题． 4．体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思．
学习过程
回顾： 三角形的定义：由不在同一条直线上的__________条线段__________顺次相接形成的图形叫做__________． 做一做：任意画一个△ABC，指出这个三角形的内角，并指出三角形的内角和的度数、外角和的度数．
问题：由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫什么？它具有哪些性质？
四边形的定义： 试一试： 四边形表示为： 四边形的边： 四边形的内角： 思考：四边形的内角和是多少度？请证明．
你还有其他添辅助线方法来证明吗？
想一想：在上述例题中，你能求出四边形ABCD四个不同顶点的外角的度数吗？
1．已知四边形ABCD中，∠A与∠C互补，若∠D＝70，则∠B＝__________． 2．已知四边形ABCD中，∠A＝85，∠D＝110，∠B的外角为71，则∠B＝_________，∠C＝_________．
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1︰1︰0.6︰1．求它的四个内角的度数．
3．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠D＝∠C，求证：AB∥CD．
4．已知一个四边形的四个内角的度数之比为1︰2︰3︰4，求这个四边形四个内角的度数．
5．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，DF平分 ∠ADC，交AB于点F．求证：BE∥DF．
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4.1 多边形（1）
学习目标 1．了解四边形的定义以及相关概念． 2．经历四边形内角和定理的发现过程． 3．理解四边形内角和定理的证明．会用四边形内角和定理解决简单的图形问题． 4．体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思．
学习过程
回顾： 三角形的定义：由不在同一条直线上的条线段顺次相接形成的图形叫做． 做一做：任意画一个△ABC，指出这个三角形的内角，并指出三角形的内角和的度数、外角和的度数． 内角和的度数为180°，外角和的度数为360°．
问题：由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫什么？它具有哪些性质？
四边形的定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形叫做四边形． 试一试： 四边形表示为：四边形ABCD或四边形ADCB 四边形的边：线段AB，BC，CD，AD． 四边形的内角：∠A，∠B，∠C，∠D． 思考：四边形的内角和是多少度？请证明． 四边形的内角和等于360． 证明：连结AC ∵∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180， ∠D＋∠DCA＋∠CAD＝180， (三角形三个内角的和等于180) ∴∠B＋∠BAC＋∠BCA＋∠D＋∠DCA＋∠CAD ＝180＋180＝360． 即∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360．
你还有其他添辅助线方法来证明吗？
想一想：在上述例题中，你能求出四边形ABCD四个不同顶点的外角的度数吗？ 四边形ABCD四个不同顶点的外角的度数为360°．
1．已知四边形ABCD中，∠A与∠C互补，若∠D＝70，则∠B＝． 2．已知四边形ABCD中，∠A＝85，∠D＝110，∠B的外角为71，则∠B＝，∠C＝．
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1︰1︰0.6︰1．求它的四个内角的度数． 解：设∠A为x度，由题意可得： ∠B，∠C，∠D分别为x，0.6x，x． ∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360 (四边形的内角和为360) ∴x＋x＋0.6x＋x＝360， 解得，x＝100． ∴∠A＝∠B＝∠D＝100，∠C＝60．
3．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠D＝∠C，求证：AB∥CD．
证明：∵∠A＝∠B，∠D＝∠C，且∠A＋∠B＋∠D＋∠C＝360°， ∴2(∠A＋∠D)＝360°，即∠A＋∠D＝180°， ∴AB∥CD．
4．已知一个四边形的四个内角的度数之比为1︰2︰3︰4，求这个四边形四个内角的度数． 解：36°，72°，108°，144°．
5．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，DF平分 ∠ADC，交AB于点F．求证：BE∥DF．
证明：在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝360°－90°－90°＝180° (四边形四个内角的和等于360°)． ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∠ABE＝∠CBE，∠ADF＝∠FDC， ∴∠EBC＋∠FDC＝90°． 又∵∠EBC＋∠BEC＝90°， ∴∠FDC＝∠BEC． ∴BE∥DF．
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