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4.4 平行四边形的判定（2）
学习目标 1．掌握平行四边行的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 2．会运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断一个四边形是不是平行四边形． 3．会综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．
学习过程
证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例2：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF． 求证：四边形AECF是平行四边形．（请写出至少两种证法）
变1 如图，E，F是□ ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF． 求证：四边形AECF是平行四边形．
变2：如图，在□ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
练一练 已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：A(?，?)，B(1，?1)， C(，)，D(?1，1)．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明．
平行四边形 条件 结论
性质 定理 1
2
3
判定 定理 1
2
3
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4.4 平行四边形的判定（2）
学习目标 1．掌握平行四边行的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 2．会运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断一个四边形是不是平行四边形． 3．会综合运用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．
学习过程
证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 已知：在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：在△AOD与△COB中． ∵ AO＝CO，DO＝BO，∠AOD＝∠COB． ∴ △AOD≌△COB． ∴ AD＝CB． 同理：AB＝CD． ∴ 四边形ABCD是平行四边形．(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
例2：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF． 求证：四边形AECF是平行四边形．（请写出至少两种证法）
证明：在平行四边形ABCD中， AB∥DC(平行四边形的定义)， ∴∠ABE＝∠CDF． 又∵BE＝DF，AB＝DC(平行四边形的对边相等)， ∴△ABE≌△CDF． ∴AE＝CF． 同理，AF＝CE． ∴四边形AECF是平行四边形． 证法二：连接AC，利用对角线互相平分的性质解题．
变1 如图，E，F是□ ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF． 求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连结AC，交BD于点O， 在□ABCD中，BO＝DO，AO＝CO， (平行四边形的对角线互相平分) ∵AB∥CD(平行四边形的定义) ∴∠ABE＝∠CDF． 又∵∠BAE＝∠CDF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF． ∴BE＝DF．∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO． ∴四边形AECF是平行四边形． (对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
变2：如图，在□ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
练一练 已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：A(?，?)，B(1，?1)， C(，)，D(?1，1)．四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明． 解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵A(?，?)与C(，)关于原点对称，B(1，?1)与D(?1，1)关于原点对称． ∴∴O平分AC，O平分BD， 连接对角线AC，BD则有OA＝OC，OB＝OD． ∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形 条件 结论
性质 定理 1 四边形是平行四边形 对角相等
2 四边形是平行四边形 对边相等
3 四边形是平行四边形 对角线互相平分
判定 定理 1 一组对边平行且相等 四边形是平行四边形
2 两组对边分别相等 四边形是平行四边形
3 对角线互相平分 四边形是平行四边形
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