中小学教育资源及组卷应用平台
4.6 反证法
学习目标 1．了解反证法的含义． 2．了解反证法的基本步骤． 3．会用反证法证明简单命题． 4．了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．”
学习过程
路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子．小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动． 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李．” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李． 王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 王戎的推理方法是：
反证法 在证明一个命题时，人们有时先__________命题不成立，从这样的假设出发，经过__________得出和____________________矛盾，或者与__________，__________，__________等矛盾，从而得出假设命题__________是__________，即所求证的命题正确．这种证明方法叫做反证法． 反证法是一种间接证法．
反证法的一般步骤：
你能说出下列结论的反面吗？ a⊥b d是正数 a≥0 a∥b 常用的互为否定的表述方式：
例1 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：如图，四边形ABCD． 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
合作学习 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （1）你首先会选择哪一种证明方法？ （2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？
1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60． 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的内角， 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60． 证明：假设所求证的结论不成立， 即∠A60 ，∠B60，∠C60． 则∠A＋∠B＋∠C＜180， 这于矛盾， 所以假设命题， 所以，所求证的结论成立． 2、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”． 在下面证明过程中填空． 已知：如图l1∥l2，l1、l2被l3所截． 求证：∠1＋∠2＝180． 证明：假设． ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． ∴≠180?，这与平角的定义相矛盾． ∴假设不成立． ∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
4.6 反证法
学习目标 1．了解反证法的含义． 2．了解反证法的基本步骤． 3．会用反证法证明简单命题． 4．了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．”
学习过程
路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子．小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动． 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李．” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李． 王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 王戎的推理方法是： 假设李子不苦， 则因树在“道”边， 李子早就被别人采摘而没有了， 这与“多子”产生矛盾． 所以假设不成立，李为苦李．
反证法 在证明一个命题时，人们有时先命题不成立，从这样的假设出发，经过得出和矛盾，或者与，，等矛盾，从而得出假设命题是，即所求证的命题正确．这种证明方法叫做反证法． 反证法是一种间接证法．
反证法的一般步骤：
你能说出下列结论的反面吗？ a⊥b a不垂直于b d是正数 d不是正数，即d≤0 a≥0 a＜0 a∥b a≠b 常用的互为否定的表述方式： 不是——是； 不存在——存在； 不平行——平行； 不垂直——垂直； 不等于——等于； 不都是——都是； 不大于——大于； 不小于——小于； 至少有一个——一个也没有； 至少有三个——至多有两个； 至少有n个——至多有(n－1)个．
例1 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 已知：如图，四边形ABCD． 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
证：假设四边形中没有一个角是钝角或直角． 即∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，∠D＜90°， 于是∠A＋∠B＋∠C＋∠D＜360°． 这与四边形内角和等于360°相矛盾， 所以四边形中至少有一个角是钝角或直角．
合作学习 求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （1）你首先会选择哪一种证明方法？ （2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？
已知：如图，l1∥l2 ，l2 ∥l3． 求证：l1∥l3． 证明：假设l1不平行l3，则l1与l3相交，设交点为P． ∵l1∥l2，l2∥l3，则过点P就有两条直线l1、l3都与l2平行， 这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． ∴假设不成立，所求证的结论成立，即l1∥l3． 证明：∵l1∥l3， l2∥l3(已知) ∴∠1＝∠3，∠2＝∠3． (两直线平行，同位角相等) ∴∠1＝∠2． ∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)．
1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60． 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的内角， 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60． 证明：假设所求证的结论不成立， 即∠A60 ，∠B60，∠C60． 则∠A＋∠B＋∠C＜180， 这于矛盾， 所以假设命题， 所以，所求证的结论成立． 2、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”． 在下面证明过程中填空． 已知：如图l1∥l2，l1、l2被l3所截． 求证：∠1＋∠2＝180． 证明：假设． ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． ∴≠180?，这与平角的定义相矛盾． ∴假设不成立． ∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
