5.2 菱形（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.2 菱 形
第1课时 菱 形(1)
【知识清单】
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
2、菱形的性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平方一组对角.
【经典例题】
例题1、如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
(1)求证：BD=EC；
(2)若∠E=65°，求∠BAO的度数．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】(1)根据菱形的四条边都相等，且对边平行等可得AB=CD，AB∥CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；
(2)根据两直线平行，同位角相等可得∠ABO=∠E，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD?是平行四边形，
∴BD=EC；
(2)∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠AOB=∠ACE，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACE=90°.
∴∠BAO=90°∠E=40°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
例题2、如图，在菱形ABCD中，AD=6，菱形ABCD的面积为24，P是对角线AC上的任意点，PE⊥AD于点E，则PE+PD的最小值为 .
【考点】菱形的性质.
【分析】找出D点关于AC的对称点B，过点B作EB⊥AD交AD于E，连接PD，此时PE+PD最小，且BE就是PE+PD的最小值，求出BE的值即可．
【解答】过点B作EB⊥AD交AD于E，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴线段AC、BD互相垂直平分，
∴B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PD=PE+BP=BE，
即BE就是PE+PD的最小值．
∵AD=6，菱形ABCD的面积为24，
∴AD·BE=24，
∵BE=4，
∴PE+PD的最小值4．
【点评】本题主要考查轴对称、最短路线问题、菱形的性质、轴对称的性质等知识点，确定点P的位置是解答本题的关键．
【夯实基础】
1、平行四边形、矩形、菱形关于性质有如下结论：①对边相等；②四条边都相等；③对角线互相平分；④对角相等；⑤四个角都是直角.其中平行四边形、矩形、菱形共同具有的性质的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形高的长度是( )
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．19.2
3、菱形的边长是4 cm，有一个内角为60°，则较长的一条对角线的长为(　)
A．cm B．cm C．cm D．8cm
4、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( )
A．80° B．75° C．70° D．65°

5、若菱形的周长为24cm，高是3cm，则菱形的各内角的度数分别是________．
6、菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，P为BD上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，则PE+PF= .
7、如图，在△ABC中，DB＝FC，四边形ADEF是菱形，求证：点E为BC的中点.
8、如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，若∠AEB=∠CFD.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；?
(2)若BC=16，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长.
【提优特训】
9、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于(　)
A．75° B．60° C．45° D．30°
10、如图，如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、DC上的点，若AE=EF=FA=AB，则∠C的度数为( ).
A．80° B．100° C．120° D．160°
11、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的周长为(　)
A．32 B．24 C．16 D．12
12、如图，已知矩形ABCD，E、F、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，若AB=6，BC=8，则图中阴影部分的面积为 .
13、如图，已知菱形ABCD的边长为cm，∠B:∠BAD=1:3，则∠EAC度数为__22.5°_______， 菱形ABCD的面积为________cm2．
14、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE分别交AC、AD于E、F，点G为BC上的点，若四边形AFGE是菱形，有下列结：①BA⊥CA =90°； ②BG=CG ；③∠EGF=∠ABC； ④AB=GB； ⑤(AC+AE)(ACAE)=GC2.其中正确的是 (填序号).
15、如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若BE=DF，连接CE交BD于G，连接CF交BD于H，连接EH、FG.求证：EH=FG.
16、如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
(1)求证: AM=DM；
(2)若DF=a，求菱形ABCD的周长.
?17、如图，在周长为20cm的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点B作
BE∥AC交DC的延长线于点E，若AC=6cm.
(1)求△BDE的周长；
(2)求四边形 ACEB的面积．
18、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，M为对角线BD延长线上一点，连结AM和CM，E为AM上一点，且满足AB＝AE，连结BE，交AD于点F.
(1)若∠AMB＝30°，求∠EBM的度数；
(2)证明：CM＝AF＋AB.
【中考链接】
19、(2018?十堰)菱形不具备的性质是(　　)
A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
20、(2018?淮安)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(　　)
A．20 B．24 C．40 D．48　
21、(2018?孝感)7．(3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为(　　)
A．52 B．48 C．40 D．20
22、(2018?广东)10．(3分)如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为(　　)
23、(2018?广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
　

24、(2018?随州)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为　 　．
25、(2018?广东)19．(6分)如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
26、(2018?柳州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC=2，求BD的长．

参考答案
1、B 2、C 3、C 4、B 5、30°、150°、30°、150° 6、4.8 9、B 10、B
11、C 12、24 13、 14、①③④⑤ 19、B 20、A 21、A 22、B
23、(5，4) 24、()
7、解：∵四边形ADEF是菱形，
∴DE＝FE，AB∥EF，AC∥DE.
∴∠A＝∠BDE，∠A＝∠CFE.
∴∠BDE＝∠CFE.
在△DBE和△FCE中，
∴△DBE≌△FCE(SAS).
∴BE＝CE.
∴点E为BC的中点.
8、解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，?
∴AD∥BC，
∴∠CFD=∠FCB.
∵∠AEB=∠CFD，?
∴∠AEB=∠FCB.
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形AECF是菱形
∴AE=EC，
∴∠2=∠3.
∵∠BAC=90°，
∴∠3=90°∠B，∠2=90°∠1，?
∴∠B=∠1，?
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=BC=8.
15、证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，∠ABC=∠ADC
在△BCE和△DCF中，
∵，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴EC=FC，∠ECB=∠FCD.
∵BC=DC，
∴∠CBG=∠CDH.
在△BCG和△DCH中，
∵，
∴△BCG≌△DCH(ASA)，
∴GC=HC.
在△ECH和△FCG中，
∵，
∴△ECH≌△FCG(SAS)，
∴EH=FG.
16、解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，?
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，
∵AC⊥EF，
∴∠AHM=∠AHE=90°
在△AMH和△AEH中，
∵，
∴△AMH≌△AEH(ASA)，
∴AM=AE，
∴∠AMH=∠AEH，
即∠AME=∠AEM.
∵点E为AB的中点，
∴点M为AD的中点.
∴AM=DM；
(2)由(1)得△AMH≌△AEH(SAS)，
∴AM=AE，
∴∠AMH=∠AEH.
∵AB∥DC，
∴∠AEM=∠F，
∴∠F=∠AME，
∵∠AME=∠DMF，
∴∠F=∠DMF，
∴FD=DM=a
∴AD=2DM=2a.
∴菱形ABCD的周长为8a.
?17、解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=DC=5，
∵AC=6，
∴AO=AC=3cm，
∴DO＝，
∴BD=2DO=2×4=8.
∵BE∥AC，AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴BE=AC=6，CE=AD=5，
∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE=8＋10＋6＝24(cm)，
即△BDE的周长是24 cm.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ADC=S△ACB.
∵四边形ACEB是平行四边形，
∴S△ACB =S△ECB.
∴S菱形ABCD =S□ACEB.
∴S□ACEB = S菱形ABCD=AC·BD=24cm2.
18、 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠BCD= 60°，△ABD，△BCD的是等边三角形，
∴∠ADB=60°，BA=BC，
∵∠AMB=30°，∠ADB=∠AMB＋∠5，
∴∠5=∠DMA=30°，
∴∠BAM=90°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°.
∵∠AEB=∠2+∠AMB，
∴∠2=∠AEB∠AMB=45°30°=15°.
即∠EBM=15°.
(2)在BD上取一点G，使得BG＝DF，连结AG交BE于P.
在△ABG和△BDF中，
∵
∴△ABG≌△BDF(SAS)，
∴AM=AE，
∴∠1＝∠2，∠AGB＝∠BFD，
∴∠AGM＝∠BFA，
∵∠CPF＝∠ABP＋∠1＝∠ABP＋∠2＝60°.
在△APE中，∠APE＋∠AEP＋∠PAE＝180°，
在△ABF中，∠ABF＋∠BFA＋∠BAF＝180°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAF＝∠APE＝60°，
∴∠PAE＝∠BFA＝∠AGM，
∴MA＝MG，
由(1)可知△BMA≌△BMC，
∴AM＝MC＝MG，
∵MG＝DG＋DM，
∵BD＝AD，BG＝DF，
∴DG＝AF，
∴CM＝AF＋AB
25、(2018?广东) 【分析】(1)分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，
过两弧的交点作直线即可；
(2)根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：(1)如图所示，直线EF即为所求；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
26、(2018?柳州)【分析】(1)由菱形的四边相等即可求出其周长；
(2)利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．
【解答】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2
∴AC⊥BD，AO=1，
∴BO=，
∴BD=2.
【点评】本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出BO的长是解题关键．