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5.1 矩形（1）
学习目标 1．经历矩形的概念、性质的发现过程． 2．掌握矩形的概念． 3．掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”． 4．掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”． 5．探索矩形的对称性．
学习过程
六根火柴制作一个如图所示的平行四边形模具，当平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会出现怎样的特殊情况？这时的图形是什么图形？
矩形的定义： （1）能摆多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？ （2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由； （3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？量一量它的两条对角线的长度，你有什么发现？
定理：
定理：
例1 已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120，AB＝4cm． （1）判断△AOB的形状； （2）求矩形对角线的长．
思考：△AOB，△AOD，△COB，△COD的面积之间的关系是怎样的？
探讨：矩形的对称性？如果它是中心对称图形，请找出它的对称中心， 如果它是轴对称图形，请找出它的对称轴．
如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：四边形AEFD是矩形．
如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使点落在对角线BD上的点A处，折痕为DG．已知AB＝2，BC＝1，求AG的长．
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5.1 矩形（1）
学习目标 1．经历矩形的概念、性质的发现过程． 2．掌握矩形的概念． 3．掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”． 4．掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”． 5．探索矩形的对称性．
学习过程
六根火柴制作一个如图所示的平行四边形模具，当平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会出现怎样的特殊情况？这时的图形是什么图形？
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （1）能摆多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？ 无数个，都是平行四边形…… （2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由； 有，当邻边互相垂直时平行四边形有高的最大值． （3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？量一量它的两条对角线的长度，你有什么发现？ 四个内角都是直角，对角线相等．
定理：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形，其中∠B＝90． 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝Rt∠．
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC(平行四边形的对边平行)． ∴∠B＋∠C＝180． ∵∠B＝90， ∴∠C＝90． 同理可得，∠A＝∠D＝90． ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝Rt∠．
定理：矩形的对角线相等． 已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线． 求证：AC＝BD．
证明 在矩形ABCD中， ∵AB＝CD(平行四边形的对边相等)， ∠ABC＝∠DCB＝Rt∠(矩形的四个角都是直角)， BC＝CB， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(SAS)． ∴AC＝BD．
例1 已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120，AB＝4cm． （1）判断△AOB的形状； （2）求矩形对角线的长．
解（1）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD． ∵ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴ OA＝OC＝OB＝OD． ∵∠AOD＝120，∴∠AOB＝60． ∴△AOB是等边三角形． （2）∵ AB＝4cm， ∴ AC＝BD＝2AB＝8cm，即矩形对角线的长为8cm．
思考：△AOB，△AOD，△COB，△COD的面积之间的关系是怎样的？ 归纳：矩形被对角线分成四个等腰三角形，且它们的面积相等．
探讨：矩形的对称性？如果它是中心对称图形，请找出它的对称中心， 如果它是轴对称图形，请找出它的对称轴． 归纳：矩形即是轴对称图形，又是中心对称图形．
如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：四边形AEFD是矩形．
证明 在矩形ABCD中， ∵AB＝CD，AB∥CD，(平行四边形对边平行且相等) DF＝CD，AE＝AB，(中点的定义) ∴DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形． 又∵∠A＝Rt∠， ∴四边形AEFD是矩形．
如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使点落在对角线BD上的点A处，折痕为DG．已知AB＝2，BC＝1，求AG的长．
解：设AG＝x，则AG＝x，BG＝2－x． AB＝BD－AD＝－1． 由勾股定理，得x2＋(－1)2＝(2－x)2． 解得x＝．即AG的长为．
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