中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 正方形（1）
学习目标 1．掌握正方形的概念． 2．了解正方形与矩形、菱形的关系． 3．掌握正方形的判定．
学习过程
回顾并思考： 1．我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？ 2．是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若它存在，它是什么图形？ 3．是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？ 请在下图中填上各种图形的名称和转化的条件：
正方形的定义
判断题(对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”)： （1）对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形．( ) （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．( ) （3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形．( ) （4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．( ) （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形．( ) （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．( )
你认为判定一个图形是正方形有哪些方法？
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F． 求证：四边形CFDE是正方形．
1．已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝Rt∠． 求证：四边形ABCD是正方形．
2．求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．
3．已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标依次是A(－a，－b)，B(a，－b)，C(a，b)，D(－a，b)．这个四边形是正方形吗？如果认为是正方形，请给出证明；如果认为不一定是正方形，请给出一个条件，使它是正方形(不必证明)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
5.3 正方形（1）
学习目标 1．掌握正方形的概念． 2．了解正方形与矩形、菱形的关系． 3．掌握正方形的判定．
学习过程
回顾并思考： 1．我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？矩形，菱形． 2．是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？若它存在，它是什么图形？存在，是正方形． 3．是否存在一个角是直角的菱形？若存在，它是什么图形？存在，是正方形． 请在下图中填上各种图形的名称和转化的条件：
正方形的定义 我们把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形同时具有矩形和菱形的性质．
判断题(对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”)： （1）对角线互相垂直，一个角是直角的四边形是正方形．( × ) （2）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．( √ ) （3）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形．( √ ) （4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．( √ ) （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形．( √ ) （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴．( × )
你认为判定一个图形是正方形有哪些方法？ 1．先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角． 2．先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等． 3．先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角．
例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F． 求证：四边形CFDE是正方形．
证明 ∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°． 而∠ACB＝90°， ∴四边形CFDE是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)． 又∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠1＝∠2， ∴DE＝DF． ∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．
1．已知：如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝Rt∠． 求证：四边形ABCD是正方形．
证明：由已知可得： ∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形．
2．求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．
已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点． 求证：四边形EFGH是正方形． 证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA(正方形的四条边相等)． ∵E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点， ∴AE＝EB＝BF＝CF＝CG＝GD＝DH＝HA． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D(正方形的四个角都是直角)， ∴△AEH，△BEF，△CFG，△DGH是四个全等的等腰直角三角形， ∴HE＝EF＝FG＝GH， ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形)． ∵∠FEB＝∠AEH＝45°， ∴∠HEF＝180°－(45°＋45°)＝90°， ∴菱形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
3．已知在直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点坐标依次是A(－a，－b)，B(a，－b)，C(a，b)，D(－a，b)．这个四边形是正方形吗？如果认为是正方形，请给出证明；如果认为不一定是正方形，请给出一个条件，使它是正方形(不必证明) 解：不一定是正方形．当|a|＝|b|时，四边形ABCD是正方形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
