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5.3 正方形（2）
学习目标 1．掌握正方形的性质定理：正条形的四个角是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 2．会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题．
学习过程
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 “√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
正方形的性质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
1．正方形具有而菱形不一定有的性质是( ) A．四条边相等． B．对角线互相垂直平分． C．对角线平分一组对角． D．对角线相等．
2．如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA．求∠CAE的度数．
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE垂直于CD，GF垂直于BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF． 求证：AG＝EF．
3．已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF． 求证：AE＝BF．
4．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的对角线交点是原点O，两组对边分别与x轴，y轴平行．若正方形的对角线长为2，求正方形各顶点的坐标．
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5.3 正方形（2）
学习目标 1．掌握正方形的性质定理：正条形的四个角是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 2．会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题．
学习过程
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打 “√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 √ √ √ √
四边都相等 √ √
四个角都是直角 √ √
对角线互相平分 √ √ √ √
对角线互相垂直 √ √
对角线相等 √ √
正方形的性质
边 角 对角线 对称性
图形语言 轴对称图形 中心对称图形
文字语言 对边平行四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角
符号语言 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝BC＝CD＝AD． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BD， OA＝OB＝OC＝OD．
1．正方形具有而菱形不一定有的性质是( D ) A．四条边相等． B．对角线互相垂直平分． C．对角线平分一组对角． D．对角线相等．
2．如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA．求∠CAE的度数．
解：在正方形ABCD中， ∠ACB＝45°，即∠CAE＋∠E＝45°． ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E， ∴∠CAE＝22.5°．
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE垂直于CD，GF垂直于BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF． 求证：AG＝EF．
证明：连结CG． 在△AGD和△CGD中， ∠ADG＝∠CDG(正方形的对角线平分一组对角)， DG＝DG，AD＝CD(正方形的四条边相等)， ∴△AGD≌△CGD， ∴AG＝CG． ∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴∠GFC＝∠GEC＝Rt∠． 又∵∠BCD＝Rt∠(正方形的四个角都是直角)， ∴四边形FCEG是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． ∴EF＝CG(矩形的两条对角线相等)， ∴AG＝EF．
3．已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE⊥BF． 求证：AE＝BF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，且AE⊥BF， ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠FBC＝90°， ∴∠BAE＝∠FBC． 又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF， ∴AE＝BF．
4．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的对角线交点是原点O，两组对边分别与x轴，y轴平行．若正方形的对角线长为2，求正方形各顶点的坐标．
解：A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)．
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