5.2 菱形（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.2 菱 形
第2课时 菱 形(2)
【知识清单】
1、判定定理1：四条边相等的四边形是菱形.
2、判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【经典例题】
例题1、如图，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD.
添加一个条件，能使□ABCD是菱形的有( )
A．①或③　　　B．②或③
C．③或④　　　D．①或②或③
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
【解答】A． 因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
则能使□ABCD是菱形的有①或③，A正确
B．因为②∠BAD=90°不能判定□ABCD是菱形，所以B不正确
C．因为④AC=BD. 不能判定□ABCD是菱形，所以C不正确
D．因为②∠BAD=90°不能判定□ABCD是菱形，所以D不正确
故正确答案为A.
【点评】本题考查菱形的判定，需熟练掌握菱形的两个基本判定．平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
例题2、在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，当AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．
【考点】菱形的判定；三角形中位线定理．
【分析】本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是△ADB的中位线，同理，HF是△ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF ，EG=HF．
因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
【解答】　当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．
证明如下：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，EG =AB.
同理，HF∥AB，HF=AB.
HE∥DF∥CD，HE=DF=CD.
∴EG∥HF，EG =HF.
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG=AB，GF=CD，AB=CD，
∴EG=GF，
∴四边形EGFH是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【夯实基础】
1、下列命题中，真命题个数为(　 )
①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②有一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；⑤对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；⑥ 一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA=BC B．AC=BD C．OA=OB，OC=OD D．∠ABC=60°
3、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若BC=，则菱形AECF的面积为( )
A．
B．
C．
D．8
4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD，BD，则下列结论：①AD=CE；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形；④BD=BE.其中正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


5、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，其周长为________．
6、如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点， G、F分别为AB、CD上的点，且GE⊥FE，垂足为E，若GB=3，FC=1，则GF的长度为　 　．
7、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB·AC=48，BC=10，求EF的长．
8、如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC、AF⊥DC，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且AG=AH．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=13，BD=24，求□ABCD的面积.
【提优特训】
9、如图，在□ABCD中，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
10、在直角坐标系中，点A(2，0)，B(2，1)，C(1，3)，若四边形ABCD为菱形，则点D的坐标为( )
A．(3，4) B．(5，2) C．(3，4) D．(5，2)
11、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　)
A. B. C. D.
12、如图，作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据作图方法可知，四边形ADBC一定是 .
13、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠1=∠2=30°，A点的坐标是(4，2)，则直线AB的表达式是　 　．
14、如图，矩形ABCD的周长为28，AB=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结AF，CE，且EF与AC相交于点O.有如下的结论：① AC=10；②四边形AECF是菱形；③ EF；④求S△ABF︰S△AEC=7︰25．其中正确的是 (填序号).
15、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点 A、B是线段EF的三等分点， 连接CE、DF分别交AD、BC于点M、N. ????
(1)求证：四边形DMNC是平行四边形；????
(2)若要使四边形DMNC为菱形. 则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之.
16. 如图，在□ABCD中，AE是边BC上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C 重合，得△GFC.
(1)求证: BE=DG；
(2)若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形?证明你的结论.

17、如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长DE到F，使DE=DE，连接CF，取BD的中点G，连结CG.若∠A=30°，求证：
(1)四边形BCFD是菱形．
(2)AC=2CG.
18、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=72 cm，∠A=60°，点P从点C出发沿CA方向以6 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以3cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒(0＜t≤12)．过点P作PD⊥BC于点D，连结PQ，DQ.
(1)四边形APDQ能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(2)当t为何值时，△PDQ为直角三角形？请说明理由．
【中考链接】
19、(2018?黑龙江)如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　使平行四边形ABCD是菱形．
20、(2018?内江)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
21、(2018?遂宁)如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
　
22、(2018?郴州)如图，在□ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

参考答案
1、B 2、C 3、C 4、D 5、4a 6、4 9、D 10、A 11、D 12、菱形
13、y=2x6 14、①②④ 19、AB=BC或AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等，
7、证明：(1)∵AD∥BC，AE∥DC，?
∴四边形AECD是平行四边形，?
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
? ∴AE=CE=BC，?
∴四边形AECD是菱形；
(2)∵AB·AC=48，BC=10，?
∴AE=BC=5.
∴△ABC的面积=AB·AC=24.
∵E是BC的中点，，
∴△ABE的面积=△AEC的面积.?
∵四边形AECD是菱形，
∴△ADC的面积=△AEC的面积.
∴△ABC的面积=菱形AECD的面积，
?∴AE·EF=24.
?∴EF=．
8、 (1)证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∵∠AGH=∠BGE，∠DHF=∠AHG，
∴∠BGE=∠DHF，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，
∴∠BEG=∠DFH，
∴∠EBG=∠FDH即∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形；
∴AC⊥BD，
∴BO=DO=12，
在Rt△AOB中，
AO=，
∴□ABCD的面积=
15、 (1)证明：∵点 A、B是线段EF的三等分点，
∴EA=AB=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，????
∴DC=AB，DC∥AB，?AD∥BC，?
∴∠1=∠E.?
在△EAM和△CDM中，
∵，
∴△EAM≌△CDM(AAS)
∴AM=MD，
∴点M是AD的中点.
同理点N为DF的中点.
∴MN是△ADF的中位线.
∴MN∥AF，
∵?AD∥BC，?
∴四边形DC是平行四边形.
(2)解：当 AD=2AB时，四边形DMNC是菱形.
∵CD∥AB，
∴∠CDM=∠EAM，∠DCM=∠E.?
又CD=AB=AE，
∴△CDM≌△EAM.
∴CM=EM，
在△CEB中，M、N分别为 CE、CB的中点，?
∴MN=BE=AB.
又 AD= 2AB，DM=?AD，
∴DM＝MN.
∴四边形DMNC是菱形.

16、解答： (1)∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AE是边BC上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴CG⊥AD，∠AEB=∠CGD=90°.
∴AE∥CG，
∴AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG，
∴BE=DG；
(2)当BC=AB时，四边形ABFG是菱形.
∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形.
在Rt△ABE中，∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，BE=.
∵BE=CF，BC=,
∴EF=，
∴AB=BF.
四边形ABFG是菱形.
17、解　(1)∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴AD=CF，∠ADE=∠F，
∴DB=FC，FC∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形．
∵∠BCA=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=BD，[来源:Zxxk.Com]
∴□ABDF是菱形．
(2)∵四边形ABDF是菱形，
∴FD=DB，∠FDC=∠BDC，
∴DE=DF，∴DG=DB.
在△CDE和△CDG中，
∵，
∴△CDE≌△CDG(SAS)
∴CE=CG，
∴CE=AC，
∴CG=AC.
∴AC=2CG.
18、 解：(1)能．理由：
在△CDP中，∠PDC=90°，∠C=30°，CP=6t，
∴PD=3t，
又∵AQ=3t，
∴PD=AQ，
∵PD⊥BC，AB⊥BC，
∴PD∥AB，
∴四边形APDQ为平行四边形，
当AP=AQ时，四边形AEFD为菱形，
即726t=3t，解得t=8.
∴当t=8秒时，四边形AEFD为菱形
(2)①当∠PQD=90°时，由(1)知四边形AQDP为平行四边形，
∴DQ∥AD，∴∠APQ=∠PQD=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AQP=30°，∴AP＝AQ=t，又AP=726t，即726t=t，
解得t=；
②当∠QPD=90°时，四边形QBDP为矩形，
在Rt△APQ中，∠A=60°，则∠APQ=30°，∴AP=2AQ，
即726t=6t，解得t=6；③若∠PDE=90°，则D与B重合，
P与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t=或6秒时，△PDQ为直角三角形.
20、【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
∵，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
21、【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
22、【解答】证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∵，
∴△DOE≌△BOF(ASA)；
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．