5.3 正方形（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第5章特殊平行四边形
5.3 正 方 形
第1课时 正 方 形(1)
【知识清单】
1、正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2、判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
3、判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形.
【经典例题】
例题1、如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
【考点】正方形的判定；三角形的面积．
【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为96=3，
由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即(a+b)2=15，
∴a+b=，即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3，
故答案为：+3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
例题2、已知矩形ABCD中，P是BC边上的一个动点，点E，F，G分别是DP，AD，AP的中点．
(1)求证：△AGF≌△FHC；
(2)设BC=a，当四边形PEFG是正方形时，
求矩形ABCD的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：(1)∵E，F，G分别是DP，AD，AP的中点，
∴FE∥AP，FE =AP，FE =AG，AF=FD，
同理FG=DE，
∴△AGF≌△FHC；
(2)当四边形PEFG是正方形时，可得：PF⊥GE且PF=GE，
∵在△APD中，点G，E分别是AP，DP的中点，
∴GE=AD =BC=a，且GE∥AD，
∴PF⊥AD，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=PF=GE=a，
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=a·a=a2．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．
【夯实基础】
1、下列说法不正确的是(　　)
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、四边形ABCD中，AC、BD相交于O，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是( )
A. AO = BO = CO = DO，AC⊥BD B. AB∥CD，AC = BD
C. AD∥BC，∠A =∠C D. AO = CO，BO = CO，AB = BC
3、四边形ABCD的对角线AC=BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是( ).
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
4、如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为144，DE=5，则EF的长为( )
A．13 B． C．24 D．
5、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加
任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是 ．
6、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE:ED=2:1．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．有下列结论：①∠GAE=45°；②GB=GC=GF；③S△FGC=3；④AG∥CF；⑤图中与∠AGB相等的角有5个．其中，正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上)．
7、如图，在△ABC中，AB=CB，BD平分∠ABC交AC于点D，BE是△ABC外角平分线，CE⊥BE于点E.
(1)求证：四边形CDBE是矩形；
(2)当∠ABC为多少度时，四边形CDBE是正方形？并说明理由．
8、如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，四边形AEFC为菱形，若AB=a，求：
(1)菱形AECF的高CG；
(2)求证：CG=CE．

【提优特训】
9、如图所示，在正方形ABCD中，CE=FG，∠BCE=28°，则∠AGF的度数为(　 　)
A．38° B．42° C．52° D．62°
10、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使[它形状改变，当∠B=90°时如图①，测得AC=，当∠B=60°时如图②，AC=( )
A. B. C.3 D.6
11、顺次连接某个四边形各边中点得到一个正方形，则原四边形一定是(　　)
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形
12、如图，已知正方形ABCD的边长是12，M在DC上，且DM=7，N是AC边上的一动点，则DN+NM的最小值是__13_.
13、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是 ．
14、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CD．连结DE，DF，EF．?在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④S四边形CDFE=；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是 (填序号).
15、在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、
CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

16、已知正方形ABCD的面积40cm2，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为7.5cm2，△BCE的面积为12cm2，求四边形BEGF的面积．

17、(1)如图①，在正方形ABCD中，点 E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G.求证AG=AB；????
(2)如图②在△ABC中，∠BAC=45°，AD是边BC上的高，若BD=6，CD=4，求S△ABC.
18、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE(不须证明)．
(1)如图②，若点E、F是正方形ABCD的边BC、CD的点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程．
【中考链接】
19、(2018?武汉) 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 .
20、(2018?淮安)如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为(1，0)，过 点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过
点C1作直线l的垂 线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂 足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是　 　．
21、(2018?呼和浩特)如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为　 　．
22、(2018?青岛)如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
　
23、(2018?咸宁)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为
(2，3)，则点F的坐标为　 　．
24、(2018?遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
(1)求证：OM=ON．
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，
求MN的长．

参考答案
1、D 2、A 3、B 4、D 5、AC=BD 6、①②④ 9、D 10、C 11、D
12、13 13、②③或①④ 14、①④⑤ 19、30°或150° 20、 21、①②③
22、 23、（1，5）
7、解：(1)证明：∵BD平分∠ABC，BE是△ABC外角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠DBE=90°；
∵AB=CB，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=DC，
∴∠CDB=90°，
∵CE⊥BE，
∴∠E=90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠ABC =90°时，四边形CDBE是正方形；
理由如下：∵∠ABC =90°，AD=DC，
∴BD=DC；
又由(1)知四边形CDBE是矩形，则四边形CDBE是正方形；
因此，当∠ABC =90°时，四边形CDBE是正方形．
8、解：(1)连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，AB=a，
∴AB=BC=a，S正方形ABCD=AB·BC= a2.
在Rt△ABC中，
AC=.
∵四边形AEFC是菱形，
∴AC=AE=EF=FC=.
∵AC//BF
∴S△AEC=S△ABC，
∴S菱形AEFC=S正方形ABCD=a2.
即EF·CG= a2.
∴·CG= a2.
∴CG=.
(2)证明：在Rt△CGF中，
∵CF=，CG=，
∴CG=CF，∠F=30°.
∴∠CAE=30°，
∵AE=AC，
∴∠CEA==75°，
∵∠CGE=∠CAE +∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠CEA =∠CGE，
∴CG=CE．
15、证明：(1)∵正方形ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF(SAS)；
(2)连接AC，四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
16、解:如图，连接AC、GB，
∵正方形ABCD的面积40cm2，△ABF的面积为7.5 cm2，
∴△ABC的面积20 cm2.
∴，
∴BF=BC，则FC=BC，
∴.
同理.
∴BE=AB，则AE=，
∴.
设S△AGE=a，S△EGB=b，S△BGF=c，S△FGC=d．
则有a=b，c=d.
由已知a+b+c=7.5，b+c+d=12，
即：
解得：b=， c=.
因此：S四边形BEGF=b+c=.
17、 (1)证明：如图③，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，到△ABM的位置.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，如图，
∴AM=AF，∠FAM=90°，∠ABM=∠D=90°，
而∠ABC=90°，
∴点M在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE=90°∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠EAM，
在△AME和△AFE中，
∴，
∴△AME≌△AFE(SAS)，
∴ME=FE，
∵AB⊥ME，AG⊥FE，
∴AB=AG．
(2)如图④，将△ABD沿AB折叠到△ABE的位置，将△ACD沿AC折叠到△ACF的位置，
延长EB、FC相交于点G，
则AD=AE=AF，∠E=∠F=∠ADB=90°.
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=2∠BAC=90°.
∴四边形AEGF矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEGF为正方形.
设正方形AEGF的边AE=x，
则BG=x6，GC=x4，
在Rt△BCG中，
BC2=BG2+GC2，
即(x6)2+(x4)2=102.
解得：x1=12，x2=2(舍去)
∴AD=AE=12.
∴S△ABC=BC·AD=×10×12=60.
18、解答：
(1)∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴结论①、②成立(1分)
(2)结论①、②仍然成立．理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
∵，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD(SAS)，
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；(5分)
(3)结论：四边形MNPQ是正方形
证明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=DE，
同理可证：PN∥DE，PN=DE；
MN∥AF，MN=AF；PQ∥AF，PQ=AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．
24、【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°，
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN(ASA)，
∴OM=ON；
(2)如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH=HA=2，
∵E为OM的中点，
∴HM=4，
则OM==2，
∴MN=OM=2．