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第一章 三角形的初步认识 单元复习
三角形的概念
如图，将房屋顶的框架抽象成了一个几何图形，指出图中一共有多少个三角形，并分别写出这些三角形．
如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有__________个．
三角形的内角和
在△ABC中，若∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A的度数为( )
A．30° B．60° C．120° D．140°
如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于( )
A．585° B．540° C．270° D．315°
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
在如图所示的图形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝__________．
三角形的内角和与平行线综合
如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( )
A．50° B．45° C．40° D．30°
如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝__________度．
如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，试判断∠A与
∠F的关系，并说明理由．
三角形内角和：列方程
已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x°，y°，z°，x，y，z满足x2＋y2＝z2，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△ABC中，若∠A＝50°，∠B＝70°，则△ABC __________(填“是”或“不是”)美好三角形．
（2）已知△ABC是美好三角形，∠A＝60°，求∠B，∠C的度数(∠B＜∠C)．
三角形的三边关系
如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，
测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是( )
A．20米 B．15米
C．10米 D．5米
小刚准备用一段长50m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知该三角形第一条边长为a(m)，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2m．
（1）用含a的代数式表示第三条边长．
（2）第一条边长能否为10m？为什么？
（3）若第一条边长最短，且三条边长均为整数，求三条边长．
从长为3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形的为( )
A．3cm，6cm，8cm B．3cm， 8cm，9cm
C．3cm，6cm，9cm D．6cm，8cm，9cm
若一个三角形的三条边长分别为3，2a－1，6，则整数a的值可能是( )
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
已知两条线段的长为5 cm和8 cm，要钉成一个三角形，试求：
（1）第三条线段的长度范围；
（2）若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长．
已知三角形的三条边长为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
（1）请写出一个符合上述条件的三角形的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
三边关系与非负性综合
若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
记三角形的三条边长分别为a，b，c，请化简代数式：|a＋b－c|－|a－b－c|．
三角形的按角分类
在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝55°，则下列关于∠C的说法正确的是( )
A．它是个钝角 B．它等于70° C．它是个锐角 D．它是个直角
在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝2︰5︰7，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
现有若干个三角形，在所有的内角中，有6个钝角，3个直角，51个锐角，则有__________个锐角三角形．
已知在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A．
（1）求∠A，∠B，∠C的度数．
（2）按角分类，△ABC属于什么三角形？
三角形高线的作法及性质
下列各图中，正确画出AC边上的高线的是( )
A． B． C． D．
如图，已知△ABC的高BE，CF相交于点D，且∠A＝58°，则∠BDC的度数为__________．
如图所示，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．
（1）求△ABC的面积．
（2）画出△ABC中BC边上的高线AD，并求出AD的长．
三角形的角平分线
如图所示，在△ABC中，CE是角平分线，∠ACB＝90°，若∠A＝35°，则∠CEB的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．90°
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝__________．
第26题图 第27题图
如图所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，求∠BDE的度数．
如图所示，在△ABC中，P是∠B，∠C的平分线的交点．
（1）若∠A＝80°，求∠BPC的度数．
（2）有位同学在解答（1）后得出∠BPC＝90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．
三角形的中线
下列说法错误的是（ ）
A．三角形的角平分线一定在三角形的内部
B．三角形的中线一定在三角形的内部
C．三角形的高一定在三角形的内部
D．三角形中任意两边中点的连线一定在三角形的内部
到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，
且S△ABC＝8cm2，则阴影部分的面积等于__________．
如图所示，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝60°，∠EBC＝20°，求∠ADC的度数．
定义与命题
下列描述不属于定义的是（ ）
A．无限不循环小数叫做无理数
B．正三角形是特殊的等腰三角形
C．在同一平面内三条线段首尾顺次连结得到的图形叫做三角形
D．含有未知数的等式叫做方程
下列语句中是命题的有（ ）
（1）如果两个角都等于70°，那么这两个角是对顶角；
（2）直角三角形一定不是轴对称图形；
（3）画线段AB＝3 cm；
（4）在同一平面内的两条直线不相交就平行；
（5）一条直线的垂线只有一条；
（6）同角的补角相等；
（7）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（8）内错角相等；
（9）延长线段AB至点C，使B是AC的中点；
（10）如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等吗？
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
命题的条件与结论、命题的真假
命题“邻补角的和为180°”的条件是（ ）
A．两角的和为180° B．邻补角的和为180°
C．和为180°的两角为邻补角 D．两个角是邻补角
已知四个命题：（1）如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；（2）一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；（3）一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；（4）如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C`．3个 D．4个
反例
以下可以用作证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝0，b＝－1 C．a＝2，b＝－1 D．a＝5，b＝0
已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
证明的概念
命题“若n是自然数，则代数式(3n＋1)(3n＋2)＋1的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明．
如图所示，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是____________________．
如图所示，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，
∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF．
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
三角形的外角
一副三角形，按如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数是（ ）
A．75° B．65° C．60° D．55°
图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ ）
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
第45题图 第46题图
如图所示，已知AD是∠EAC的平分线，∠B＝∠EAD，求证：∠B＝∠C．
内外角平分线的交角
如图所示，∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
第48题图 第49题图 第50题图
如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ，则（1）∠A1＝__________；（2）∠An＝__________．
外角平分线的交角
如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
则∠AEC＝__________°．
已知在△ABC中，
（1）如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；
（2）如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；
（3）如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A．
上述说法中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三角形角度内折问题
如图所示，把△ABC沿EF翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．
第52题图 第53题图 第54题图 第55题图
如图所示，将△ABC沿着DE翻折，B点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．
燕尾形
如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是（ ）
A．61° B．60° C．37° D．39°
如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BE与CE交于G，若∠BDC＝140°，
∠BGC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．80° D．70°
如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE与∠BCD的平分线相交于点P，若∠B＝80°，∠FEC＝70°，则∠1－∠2＝__________°；∠P＝__________°．
全等三角形的概念
用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有__________对．
第57题图 第58题图 第59题图 第60题图
如图所示，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，若∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝15°，则∠DGB＝__________．
边边边定理(SSS)
我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收扰，其中AE＝AF，DE＝DF，则△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
如图所示，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x为__________．
如图所示，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，AC与DE交于点F，求证：∠CDE＝∠BAD．
三角形的稳定性
在生活中，我们经常会见到如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆，
这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性 B．全等性
C．灵活性 D．对称性
工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条(即图中的AB，CD两根木条)，这样做根据的数学道理是____________________________．
说出等角作图的原理
如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
第66题图 第67题图 第68题图
边角边定理(SAS)
如图所示，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，则判定△ADC与△AEB全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
如图所示，已知线段AB＝18m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向点A运动，每秒移动1m，点Q从点B向点D运动，每秒移动2m，点P，Q同时从点B出发，则出发x(s)后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（ ）
A．4 B．6 C．4或9 D．6或9
如图所示，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连结BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）试猜想BD，CE有什么特殊的位置关系，并加以证明．
中垂线定理
如图所示，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
第71题图 第72题图
如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝2.5cm，△ABD的周长是9cm，则△ABC的周长是__________．
如图所示，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长．
（2）分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
角边角定理(ASA)
如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先过点B作BF⊥AB，在BF上找点D，过点D作DE⊥BF，再取BD的中点C，连结AC并延长，与DE交于点E，此时测得DE的长度就是AB的长度．这里判定△ABC和△EDC全等的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
第74题图 第75题图
如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请你补充一个条件__________，使△ABC≌△CDA．
如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：
（1）∠EAC＝∠DBC．
（2）BD平分∠ABC．
角角边定理(AAS)
如图所示，若AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据（ ）
A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．能用ASA或AAS
第77题图 第78题图
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，BD＝3，CE＝6，则DE的长为__________．
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上的一点，DE⊥AB于点D，交AC于点M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB，AC于点F，N．
（1）试说明：△ABC≌△EFD．
（2）若∠A＝25°，求∠EMN的度数．
角平分线定理
如图，AD是Rt△ABC的角平分线，若斜边AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
第80题图 第81题图
如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，
且OD＝3，则△ABC的面积是__________．
如图所示，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：DE＝DF．
三角形全等的判定：综合
如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
第83题图 第84题图
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为__________．
如图，四边形ABCD中，∠BCD＝75°，∠ABC＝90°，AD∥BC，点E为AB上一点，△DEC为等边三角形．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB＝BC．
根据命题构造证明题并证明
证明命题“全等三角形对应边上的高线相等”．
尺规作图
已知△ABC，用直尺和圆规作下列图形：(保留作图痕迹)
（1）AC边上的中线．
（2）角平分线AM．
已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠A＝∠α．
如图所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB＝∠α＋∠β．
如图所示，A，B，C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇想联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请画出变电站的位置(用点P表示)，并简单说明理由．
已知下列条件，不能作出三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边 C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上，现以A，B，C，D，E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
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第一章 三角形的初步认识 单元复习
三角形的概念
如图，将房屋顶的框架抽象成了一个几何图形，指出图中一共有多少个三角形，并分别写出这些三角形．
解：图中三角形有△BDF，△BDA，△BEA，△BCA，△DFA，△EDA，△EGA， △CGE，△ACE，△ACD，共10个三角形．
如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．
三角形的内角和
在△ABC中，若∠A＝60°＋∠B＋∠C，则∠A的度数为( C )
A．30° B．60° C．120° D．140°
如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于( A )
A．585° B．540° C．270° D．315°
在如图所示的图形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝．
三角形的内角和与平行线综合
如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( C )
A．50° B．45° C．40° D．30°
如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝度．
如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，试判断∠A与
∠F的关系，并说明理由．
解：∠A＝∠F． 理由：∵∠AGB＝∠DGF，∠AGB＝∠EHF， ∴∠DGF＝∠EHF， ∴BD∥CE， ∴∠C＝∠ABD． 又∵∠C＝∠D， ∴∠D＝∠ABD， ∴DF∥AC， ∴∠A＝∠F．
三角形内角和：列方程
已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( A )
A．40° B．60° C．80° D．90°
对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x°，y°，z°，x，y，z满足x2＋y2＝z2，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△ABC中，若∠A＝50°，∠B＝70°，则△ABC (填“是”或“不是”)美好三角形．
（2）已知△ABC是美好三角形，∠A＝60°，求∠B，∠C的度数(∠B＜∠C)．
解：（1）∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°－50°－70°＝60°．
∵502＋602≠702，
∴△ABC不是美好三角形．
故答案为：不是．
（2）设∠B＝x°．∵∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°－x°＝(120－x)°．
∵△ABC是美好三角形，∠A＝60°，∠B＜∠C，
∴602＋x2＝(120－x)2，解得x＝45，120－x＝75．
∴∠B＝45°，∠C＝75°．
三角形的三边关系
如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是( D )
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
小刚准备用一段长50m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知该三角形第一条边长为a(m)，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2m．
（1）用含a的代数式表示第三条边长．
（2）第一条边长能否为10m？为什么？
（3）若第一条边长最短，且三条边长均为整数，求三条边长．
解：（1）∵第二条边长为(3a－2)m，
∴第三条边长为50－a－(3a－2)＝(52－4a)m．
（2）当a＝10时，三条边长分别为10m，28m，12m，
∵10＋12＜28，
∴不能构成三角形，即第一条边长不能为10m．
（3）由题意得解得＜a＜9．
∵三边长均为整数，
∴a＝7或8．
∴三边长分别为7m，19m，24m或8m，22m，20m．
从长为3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形的为( C )
A．3cm，6cm，8cm B．3cm， 8cm，9cm C．3cm，6cm，9cm D．6cm，8cm，9cm
若一个三角形的三条边长分别为3，2a－1，6，则整数a的值可能是( B )
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
已知两条线段的长为5 cm和8 cm，要钉成一个三角形，试求：
（1）第三条线段的长度范围；
（2）若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长．
解：（1）3 cm＜第三边＜13 cm；
（2）当第三边长为5 cm时，周长为18 cm；
当第三边长为7 cm时，周长为20 cm；
当第三边长为9 cm时，周长为22 cm；
当第三边长为11 cm时，周长为24 cm．
已知三角形的三条边长为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
（1）请写出一个符合上述条件的三角形的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
解：已知两边长分别为9和7，设第三边长为x，则9－7＜x＜7＋9，即2＜x＜16．
（1）第三边长是4．(答案不唯一)
（2）∵2＜x＜16，且x是偶数，
∴x的值为4，6，8，10，12，14，共六个．
∴a＝6．
三边关系与非负性综合
若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋＝0，则c的值可以为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
记三角形的三条边长分别为a，b，c，请化简代数式：|a＋b－c|－|a－b－c|．
解：∵a，b，c是三角形的三条边长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
∴a＋b－c＞0，a－b－c＜0，
∴原式＝a＋b－c＋a－b－c＝2a－2c．
三角形的按角分类
在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝55°，则下列关于∠C的说法正确的是( C )
A．它是个钝角 B．它等于70° C．它是个锐角 D．它是个直角
在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝2︰5︰7，则△ABC是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
现有若干个三角形，在所有的内角中，有6个钝角，3个直角，51个锐角，则有个锐角三角形．
已知在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B＝2∠A．
（1）求∠A，∠B，∠C的度数．
（2）按角分类，△ABC属于什么三角形？
解：（1）由题意得解得
（2）按角分类，△ABC属于直角三角形．
三角形高线的作法及性质
下列各图中，正确画出AC边上的高线的是( D )
A． B． C． D．
如图，已知△ABC的高BE，CF相交于点D，且∠A＝58°，则∠BDC的度数为．
如图所示，在△ABC中，BE⊥AC，BC＝5cm，AC＝8cm，BE＝3cm．
（1）求△ABC的面积．
（2）画出△ABC中BC边上的高线AD，并求出AD的长．
解：（1）∵BE⊥AC， ∴S△ABC＝×AC×BE＝×8×3＝12(cm2)． （2）如图所示． ∵S△ABC＝×BC×AD＝12cm2， ∴×5×AD＝12． ∴AD＝cm．
三角形的角平分线
如图所示，在△ABC中，CE是角平分线，∠ACB＝90°，若∠A＝35°，则∠CEB的度数为（ C ）
A．70° B．75° C．80° D．90°
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝．
如图所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，且∠C＝76°，∠A＝60°，求∠BDE的度数．
解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝76°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝44°． ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠CBD＝∠ABC＝×44°＝22°． ∵ED∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD＝22°．
如图所示，在△ABC中，P是∠B，∠C的平分线的交点．
（1）若∠A＝80°，求∠BPC的度数．
（2）有位同学在解答（1）后得出∠BPC＝90°＋∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．
解：（1）∵BP，CP为角平分线， ∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝×(180°－80°)＝50°． ∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－50°＝130°． （2）正确．理由如下： ∵BP，CP为角平分线， ∴∠PBC＋∠PCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)＝90°－∠A． ∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(90°－∠A)＝90°＋∠A．
三角形的中线
下列说法错误的是（ C ）
A．三角形的角平分线一定在三角形的内部
B．三角形的中线一定在三角形的内部
C．三角形的高一定在三角形的内部
D．三角形中任意两边中点的连线一定在三角形的内部
到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ C ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ A ）
A．1 B． C． D．2
三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ B ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则阴影部分的面积等于．
解：∵F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BEC．
∵D，E分别是BC，AD的中点，
同理可得S△BEC＝S△ABC．
∴S△BEF＝S△ABC＝×8＝2(cm2)．
故答案为：2cm2．
如图所示，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝60°，∠EBC＝20°，求∠ADC的度数．
解：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝30°． 又∵BE是△ABC的高，∠BAC＝60°， ∴∠ABE＝30°． ∵∠EBC＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠ADC＝∠ABC＋∠BAD＝50°＋30°＝80°．
定义与命题
下列描述不属于定义的是（ B ）
A．无限不循环小数叫做无理数
B．正三角形是特殊的等腰三角形
C．在同一平面内三条线段首尾顺次连结得到的图形叫做三角形
D．含有未知数的等式叫做方程
下列语句中是命题的有（ D ）
（1）如果两个角都等于70°，那么这两个角是对顶角；
（2）直角三角形一定不是轴对称图形；
（3）画线段AB＝3 cm；
（4）在同一平面内的两条直线不相交就平行；
（5）一条直线的垂线只有一条；
（6）同角的补角相等；
（7）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（8）内错角相等；
（9）延长线段AB至点C，使B是AC的中点；
（10）如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等吗？
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
命题的条件与结论、命题的真假
命题“邻补角的和为180°”的条件是（ D ）
A．两角的和为180° B．邻补角的和为180°
C．和为180°的两角为邻补角 D．两个角是邻补角
已知四个命题：（1）如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；（2）一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；（3）一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；（4）如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有（ B ）
A．1个 B．2个 C`．3个 D．4个
反例
以下可以用作证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例的是（ B ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝0，b＝－1 C．a＝2，b＝－1 D．a＝5，b＝0
已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
解：（1）假命题．
反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；
（2）逆命题：若a2＞b2，则a＞b．
此命题为假命题．
反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b．
证明的概念
命题“若n是自然数，则代数式(3n＋1)(3n＋2)＋1的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明．
解：真命题．
证明：(3n＋1)(3n＋2)＋1＝9n2＋9n＋3＝3(3n2＋3n＋1)．
∵n是自然数，
∴3n2＋3n＋1也是自然数，
∴3(3n2＋3n＋1)是3的倍数，即(3n＋1)(3n＋2)＋1是3的倍数．
如图所示，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是．
如图所示，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，
∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF．
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
解：（1）∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF． （2）∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD． ∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG． ∴AB∥CD．∴∠AED＋∠D＝180°． （3）∵∠DHG＝∠EHF＝100°，∠D＝30°， ∴∠HGD＝180°－100°－30°＝50°． ∵CE∥GF，∴∠C＝50°． ∵AB∥CD，∴∠AEC＝50°． ∴∠AEM＝180°－50°＝130°．
三角形的外角
一副三角形，按如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数是（ A ）
A．75° B．65° C．60° D．55°
图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（ C ）
A．∠2＝∠4＋∠7 B．∠3＝∠1＋∠6
C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360°
如图所示，已知AD是∠EAC的平分线，∠B＝∠EAD，求证：∠B＝∠C．
证明：∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠EAD＝∠DAC＝∠EAC． ∵∠B＝∠EAD， ∴AD∥BC． ∴∠DAC＝∠C． ∴∠B＝∠C．
内外角平分线的交角
如图所示，∠BAC＝40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为（ A ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ，则（1）∠A1＝__________；（2）∠An＝__________．
【答案】
外角平分线的交角
如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
则∠AEC＝__________°．
【答案】66.5
已知在△ABC中，
（1）如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；
（2）如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；
（3）如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A．
上述说法中真命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
三角形角度内折问题
如图所示，把△ABC沿EF翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．
【答案】25°
如图所示，将△ABC沿着DE翻折，B点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．
【答案】40°
燕尾形
如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是（ ）
A．61° B．60° C．37° D．39°
【答案】C
如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BE与CE交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．80° D．70°
【答案】C
如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE与∠BCD的平分线相交于点P，若∠B＝80°，∠FEC＝70°，则∠1－∠2＝__________°；∠P＝__________°．
【答案】15；95
全等三角形的概念
用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有__________对．
【答案】2
如图所示，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
简要答案
D
如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，若∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝15°，则∠DGB＝__________．
简要答案
65°
边边边定理(SSS)
我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收扰，其中AE＝AF，DE＝DF，则△AED≌△AFD的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
简要答案
D
如图所示，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
简要答案
C
已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x为__________．
简要答案
3
如图所示，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE，AC与DE交于点F，求证：∠CDE＝∠BAD．
简要答案
解：在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E．
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
∴∠BAD＝∠CAE．
∵∠CAE＋∠E＋∠AFE＝∠CDE＋∠C＋∠CFD，
又∵∠AFE＝∠CFD，∠C＝∠E，
∴∠CAE＝∠CDE＝∠BAD．
三角形的稳定性
在生活中，我们经常会见到如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性 B．全等性 C．灵活性 D．对称性
简要答案
A
工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条(即图中的AB，CD两根木条)，这样做根据的数学道理是____________________________．
简要答案
三角形的稳定性
说出等角作图的原理
如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
简要答案
B
边角边定理(SAS)
如图所示，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，则判定△ADC与△AEB全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
简要答案
B
如图所示，已知线段AB＝18m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向点A运动，每秒移动1m，点Q从点B向点D运动，每秒移动2m，点P，Q同时从点B出发，则出发x(s)后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（ ）
A．4 B．6 C．4或9 D．6或9
简要答案
B
如图所示，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连结BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）试猜想BD，CE有什么特殊的位置关系，并加以证明．
简要答案
（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋CAD，
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
∵
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
（2）BD⊥CE．
证明：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°．
∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°．
∴BD⊥CE．
中垂线定理
如图所示，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
简要答案
B
如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
简要答案
C
如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝2.5cm，△ABD的周长是9cm，则△ABC的周长是__________．
简要答案
14
如图所示，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长．
（2）分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
简要答案
解：（1）∵l1，l2分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE．
∴AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC．
∵△ADE的周长为6cm，即AD＋DE＋AE＝6cm，
∴BC＝6cm．
（2）∵l1，l2分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴OA＝OC＝OB．
∵△OBC的周长为16cm，即OC＋OB＋BC＝16cm，
∴OC＋OB＝16－6＝10(cm)．
∴OC＝5cm．
∴OA＝OC＝OB＝5cm．
角边角定理(ASA)
如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先过点B作BF⊥AB，在BF上找点D，过点D作DE⊥BF，再取BD的中点C，连结AC并延长，与DE交于点E，此时测得DE的长度就是AB的长度．这里判定△ABC和△EDC全等的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
简要答案
A
如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请你补充一个条件__________，使△ABC≌△CDA．
简要答案
AD＝BC或AB∥CD
如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：
（1）∠EAC＝∠DBC．
（2）BD平分∠ABC．
简要答案
证明（1）∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°＝∠C．
∴∠EAC＋∠ADE＝90°，∠DBC＋∠BDC＝90°．
∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAC＝∠DBC．
（2）如答图所示，延长AE，BC交于点F．
在△ACF和△BCD中，
∵
∴△ACF≌△BCD(ASA)．∴AF＝BD．
∵BD＝2AE，AE＋EF＝BD，
∴AE＝FE．
在△ABE和△FBE中，
∵
∴△ABE≌△FBE(SAS)．
∴∠ABE＝∠FBE．
∴BD平分∠ABC．
角角边定理(AAS)
如图所示，若AB∥CD，且AB＝CD，则△ABE≌△CDE的根据（ ）
A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．能用ASA或AAS
简要答案
D
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在一条直线上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，BD＝3，CE＝6，则DE的长为__________．
简要答案
9
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上的一点，DE⊥AB于点D，交AC于点M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB，AC于点F，N．
（1）试说明：△ABC≌△EFD．
（2）若∠A＝25°，求∠EMN的度数．
简要答案
证明：（1）∵DE⊥AB于点D，∴∠EDF＝90°．
∵∠C＝90°，∴∠C＝∠EDF．
∵EF∥BC，∴∠B＝∠EFD．
在△ABC和△EFD中，
∵
∴△ABC≌△EFD(AAS)．
（2）∵∠EDF＝90°，∴∠ADM＝180°－∠EDF＝90°．
在△ADM中，∠A＋∠AMD＋∠ADM＝180°，且∠A＝25°，
∴∠AMD＝180°－∠A－∠ADM＝65°．
∴∠EMN＝∠AMD＝65°．
角平分线定理
如图，AD是Rt△ABC的角平分线，若斜边AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
简要答案
A
如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是__________．
简要答案
30
如图所示，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证：DE＝DF．
简要答案
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，
即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
三角形全等的判定：综合
如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
简要答案
A
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为__________．
简要答案
6
详细解析
证明：延长CB到F′，使BF′＝DF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，
在△ABF′和△ADF中
∵
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，
∴AF′＝AF，∠1＝∠2，
∴∠EAF′＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
在△EAF′和△EAF中
∵
∴△EAF′≌△EAF(SAS)，
∴EF′＝EF，
∴C△CEF＝EC＋CF＋EF＝EC＋CF＋EF′＝EC＋BE＋CF＋BF′＝BC＋CF＋DF＝BC＋CD＝2AB＝6，
故答案为：6．
如图，四边形ABCD中，∠BCD＝75°，∠ABC＝90°，AD∥BC，点E为AB上一点，△DEC为等边三角形．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB＝BC．
简要答案
解：（1）∵ ∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°．
∵ △DEC是等边三角形，
∴ ∠DCE＝60°，
∴ ∠BCE＝15°，
∴ ∠BEC＝75°，
∵ △DEC是等边三角形，
∴ ∠DEC＝60°，
∴ ∠AED＝180°－75°－60°＝45°．
（2）过D作DH⊥BC于点H，则DH＝AB，
可以证明△EBC≌△CHD(AAS)，
∴ DH＝BC，
∴ AB＝BC．
根据命题构造证明题并证明
证明命题“全等三角形对应边上的高线相等”．
解：如答图所示，已知△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高线．
求证：AD＝EH．
证明：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F．
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高线，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°．
在△ABD和△EFH中，
∴△ABD≌△EFH(AAS)．
∴AD＝EH．
尺规作图
已知△ABC，用直尺和圆规作下列图形：(保留作图痕迹)
（1）AC边上的中线．
（2）角平分线AM．
已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠A＝∠α．
如图所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB＝∠α＋∠β．
简要答案
如答图所示，∠AOB就是所求作的角．
如图所示，A，B，C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇想联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请画出变电站的位置(用点P表示)，并简单说明理由．
简要答案
解：连结AB，AC，作两边的垂直平分线，其交点就是点P的位置．理由如下：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知下列条件，不能作出三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边 C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
简要答案
D
如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上，现以A，B，C，D，E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
简要答案
解：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
