26.2 2. 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
一、选择题
1．抛物线y＝4x2－3的顶点坐标是( )
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(0，3) D．(0，－3)
2．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝2x2＋1共有的性质是( )
A．开口向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．顶点都是原点
3．下列函数中，当x<0时，y随着x的增大而增大的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1
C．y＝ D．y＝－x2＋1
4．将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为( )
A．y＝x2－3 B．y＝x2＋3
C．y＝(x－3)2 D．y＝(x＋3)2
5．关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法中正确的是( )
A．它的图象开口向下
B．当x＜－1时，y随x的增大而减小
C．它的图象的顶点坐标是(2，3)
D．当x＝0时，y有最大值是3
6．与抛物线y＝－x2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式为( )
A．y＝－x2
B．y＝x2－1
C．y＝－x2＋1
D．y＝x2＋1
7．若正比例函数y＝mx(m≠0)中的y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
图K－3－1
8．2017·苏州若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝
D．x1＝－4，x2＝0
9．2017·泸州已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图K－3－2，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是( )
图K－3－2
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
10．抛物线y＝－3x2＋7的开口向____，对称轴是______，顶点坐标是________，顶点是最______点，所以函数有最______值，为______．
11．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为____________．
12．抛物线y＝－2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________；抛物线y＝－2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位，就得到抛物线__________；把抛物线y＝ax2向下平移m(m＞0)个单位，就得到抛物线__________．
13．当m＝________时，抛物线y＝(m＋1)xm2＋m＋9的开口向下，对称轴是__________，在对称轴左侧，y随x的增大而________，当x＞0时，y随x的增大而________.
14．如图K－3－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长为________．
图K－3－3
15．二次函数y＝－x2＋5中，若x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为________．
16．若抛物线y＝2xm2－4m－3＋m－5的顶点在x轴的下方，则m＝________．若二次函数y＝(k＋1)x2＋k2－k的图象的顶点坐标为(0，2)，则k＝________.
17．填写下表：
函数
图象
的开
口方
向
图象
的顶
点坐
标
图象
的对
称轴
最值
对称轴右侧
函数值随自
变量的变化
情况
y＝3x2
____
____
____
________
______
______
y＝－3x2＋1
____
____
____
________
______
______
y＝－3x2－1
____
____
____
________
______
______
三、解答题
18．已知抛物线y＝mx2＋n向下平移2个单位后，得到抛物线y＝3x2－1.求m，n的值．
19．不画出图象，回答下列问题：
(1)函数y＝3x2＋2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象通过怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝3x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)函数y＝3x2＋2有哪些性质？
(4)如果要将函数y＝3x2的图象经过适当的平移，得到函数y＝3x2－5的图象，那么应该怎样平移？
20．设直线y1＝x＋b与抛物线y2＝x2＋c交于点A(3，5)和点B.
(1)求b，c的值和点B的坐标；
(2)在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x分别在什么范围内时，y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2?
21．在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2＋1与二次函数y＝－x2－1的图象．
(1)从开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
(2)说出两个函数的性质的相同点与不同点．
1．[解析] D 由二次函数y＝4x2－3的图象可知，其顶点坐标为(0，－3)．
2．[答案] B
3．[答案] D
4．[答案] A
5．[解析] B A项，∵a＝2＞0，故它的图象开口方向是向上，故此选项错误；B项，在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜－1时，y随x的增大而减小，正确； C项，它的图象的顶点坐标是(0，3)，故此选项错误； D项，当x＝0时，y有最小值是3，故此选项错误．故选B.
6．[答案] B
7．[解析] A 因为正比例函数y＝mx(m≠0)中的y随x的增大而减小，所以m＜0，故正比例函数的图象经过第二、四象限，所以二次函数y＝mx2＋m的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的负半轴上，故A正确．
8．[解析] A 根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a＋1＝0，a＝－，则－(x－2)2＋1＝0，解一元二次方程，得x1＝0，x2＝4.
9．[答案] C
10．[答案] 下 y轴 (0，7) 高 大 7
[解析] y＝－3x2＋7，－3<0，则抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，7)，顶点是最高点，所以y有最大值，为7.
11．[答案] (0，－1) (0.5，0)，(－0.5，0)
12．[答案] y＝－2x2＋3 y＝－2x2－4 y＝ax2＋k
y＝ax2－m
13．[答案] －2 y轴(或直线x＝0) 增大 减小
14．[答案] 8
[解析] ∵抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，4)．
当y＝4时，x2＝4，解得x＝±4，
∴点B的坐标为(－4，4)，点C的坐标为(4，4)，
∴BC＝4－(－4)＝8.
15．[答案] 5
16．[答案] －1 2
[解析] 由题意可得解得m＝－1；由题意可得k2－k＝2且k＋1≠0，解得k＝2.
17．[答案] 第二行依次为：向上 (0，0) y轴 最小值为0 y随x的增大而增大 第三行依次为：向下 (0，1) y轴 最大值为1 y随x的增大而减小 第四行依次为：向下 (0，－1)
y轴 最大值为－1 y随x的增大而减小
18．解：∵抛物线y＝3x2－1由抛物线y＝mx2＋n向下平移2个单位得到，∴m＝3，n＝－1＋2＝1.
故m＝3，n＝1.
19．解：(1)向上平移2个单位．
(2)开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)．
(3)略．
(4)向下平移5个单位．
20．解：(1)b＝2，c＝－4，B(－2，0)．
(2)画图象略．当x＜－2或x＞3时，y1＜y2；
当x＝－2或x＝3时，y1＝y2；
当－2＜x＜3时，y1＞y2.
21．解：如图：
(1)相同点：图象都是抛物线，且形状相同，对称轴都是y轴．
不同点：抛物线y＝x2＋1的开口向上，顶点坐标是(0，1)；抛物线y＝－x2－1的开口向下，顶点坐标是(0，－1)．
(2)两个函数的性质的相同点：图象的开口程度相同．不同点：y＝x2＋1，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；y＝－x2－1，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
26.2 2. 第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
一、选择题
1．关于函数y＝3x2，y＝3(x－4)2，y＝3(x＋4)2的图象，下列说法正确的是( )
A．顶点坐标相同 B．对称轴相同
C．最低点相同 D．形状相同
2．已知点(8，a3)在抛物线y＝a(x－6)2上，那么a的值是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．±2
3．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的函数关系式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
4．若二次函数y＝a(x－k)2的图象如图K－4－1所示，则下列选项正确的是( )
图K－4－1
A．a>0，k>0
B．a>0，k<0
C．a<0，k>0
D．a<0，k<0
5．顶点坐标为(－3，0)，开口方向、形状与二次函数y＝x2的图象相同的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2 B．y＝(x＋3)2
C．y＝－(x－3)2 D．y＝－(x＋3)2
6．已知二次函数y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，将y轴向右平移2个单位，则在新坐标系下抛物线所对应的函数关系式是( )
A．y＝2x2＋2 B．y＝2x2－2
C．y＝2(x＋2)2 D．y＝2(x－2)2
二、填空题
7．填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2
y＝－4(x＋3)2
8.抛物线y＝－的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标是________，在对称轴的左侧，即当x________时，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，即当x________时，y随x的增大而________．
9．抛物线y＝4(x－2)2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标为________．
10．二次函数y＝2(x－1)2的图象可以看成是将y＝2x2的图象向____平移____个单位得到的，它的对称轴是直线________，顶点坐标是________．
11．已知点A(2，y1)，B(a，y2)在函数y＝－(x－1)2的图象上，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“＝”)．
12．已知二次函数图象的顶点坐标为(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，1)，则此函数的关系式为________，点(－m，2m－1)________(填“在”或“不在”)该二次函数图象上．
13．把二次函数y＝(x－1)2的图象绕其顶点旋转180°后得到的图象对应的函数关系式为__________．
三、解答题
14．已知抛物线y＝a(x－h)2可以由抛物线y＝－x2平移得到，且当x＝2时，函数有最大值．
(1)求此抛物线的关系式；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？
15．(1)抛物线y＝3(x－1)2与抛物线y＝－3(x－1)2有何关系？可以通过怎样的变换由抛物线y＝3(x－1)2得到抛物线y＝－3(x－1)2?
(2)求与抛物线y＝3(x－1)2关于y轴对称的抛物线的函数关系式．
(3)求与抛物线y＝3(x－1)2关于原点对称的抛物线的函数关系式．
16．已知二次函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2.
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的函数图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－x2的图象得到函数y＝－(x＋2)2和函数y＝－(x－2)2的图象；
(4)分别说出各个函数的性质．
17．若抛物线的顶点坐标是(－5，0)，且过点(－3，1)．
(1)求此抛物线的函数关系式；
(2)当x为何值时，y随x 的增大而增大？
(3)若这条抛物线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求△AOB的面积．
1．[答案] D
2．[解析] C 由已知，得a3＝(8－6)2a，解得a＝0或a＝±2.因为a为二次项系数，不能取零，所以a＝±2.
3．[答案] C
4．[解析] C 因为抛物线开口向下，所以a<0.由图象知，对称轴在y轴右侧，故抛物线y＝a(x－k)2是由抛物线y＝ax2向右平移得到的，所以k>0.故选C.
5．[答案] B
6．[解析] C 将y轴向右平移2个单位，相当于将二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位．
7．[答案] 第二行填：向上 直线x＝－3 (－3，0)
第三行填：向下 直线x＝1 (1，0)
第四行填：向下 直线x＝－3 (－3，0)
8．[答案] 下 x＝－1 (－1，0) <－1 增大
>－1 减小
9．[答案] (2，0) (0，16)
10．[答案] 右 1 x＝1 (1，0)
11．[答案] >
[解析] 因为二次项系数为－1，小于0，所以在对称轴直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故填>.
12．[答案] y＝(x－2)2 不在
[解析] 根据题意，可设二次函数的关系式为y＝a(x－2)2.将(0，1)代入，得4a＝1，解得a＝，故函数的关系式为y＝(x－2)2.若点(－m，2m－1)在函数y＝(x－2)2的图象上，则(－m－2)2＝2m－1，整理，得m2－4m＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×8＝－16，∴方程无解，故点(－m，2m－1)不在该二次函数图象上．
13．[答案] y＝－(x－1)2
[解析] 抛物线y＝(x－1)2的开口向上，顶点坐标是(1，0)，绕其顶点旋转180°后，顶点不变，开口向下．
14．解：(1)∵抛物线y＝a(x－h)2可以由抛物线y＝－x2平移得到，∴a＝－1.
∵当x＝2时，函数有最大值，∴h＝2，
∴此抛物线的关系式为y＝－(x－2)2.
(2)∵抛物线y＝a(x－h)2有最大值，
∴该抛物线的开口方向向下．
又∵当x＝2时，函数有最大值，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
15．解：(1)两个抛物线关于x轴对称，可以将抛物线y＝3(x－1)2绕其顶点旋转180°或以x轴为对称轴翻折就可得到抛物线y＝－3(x－1)2.
(2)y＝3(x＋1)2.
(3)y＝－3(x＋1)2.
16．解：(1)图象略．
(2)二次函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2的图象的开口方向都向下；对称轴分别为直线x＝0(或y轴)，直线x＝－2，直线x＝2；顶点坐标分别为(0，0)，(－2，0)，(2，0)．
(3)二次函数y＝－x2的图象向左平移2个单位可得二次函数y＝－(x＋2)2的图象，向右平移2个单位可得二次函数y＝－(x－2)2的图象．
(4)略．
17．解：(1)设抛物线的函数关系式为y＝a(x＋5)2.
将(－3，1)代入关系式，得(－3＋5)2a＝1，
解得a＝，
所以此抛物线的函数关系式为y＝(x＋5)2.
(2)因为a＝＞0，对称轴为直线x＝－5，
所以当x＞－5时，y随x 的增大而增大．
(3)当x＝0时，y＝，
所以点B的坐标为.
又知A(－5，0)，
所以S△AOB＝×5×＝.
26.2 2. 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
一、选择题
1．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．2017·金华对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的对称轴是直线x＝－1，且抛物线有最高点．如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是( )
A. x＜－1 B．x＞－1 C．x＜1 D．x＞1
4．2018·哈尔滨将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线为( )
A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3
5．如图K－5－1，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线y＝x上的点A处，则平移后抛物线所对应的函数关系式是( )
图K－5－1
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
6．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2
7．如图K－5－2，A是抛物线y＝a(x－3)2＋k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线于另一点B，C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )
图K－5－2
A. B. C. D．1
二、填空题
8．因为抛物线y＝2(x－1)2 的顶点坐标是________，抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标是________， 所以把抛物线y＝2(x－1)2向________平移____________个单位，就可以得到抛物线y＝2(x－1)2＋3.
9．将抛物线y＝x2平移，得到的新的抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，则新抛物线的函数关系式为________，若得到的新的抛物线的顶点坐标为(2，3)，则新抛物线的函数关系式为______________．
10．已知抛物线y＝a(x－1)2＋2过点(3，4)，则a的值为________，开口向________，顶点坐标为________，对称轴是________．当x________1时，y随x的增大而增大；当x________1时，y随x的增大而减小．
11．如果二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过点(－2，0)和(4，0)，那么h 的值为________．
12．抛物线y＝－(x＋1)2＋4的顶点坐标是________，将抛物线y＝－(x＋1)2＋4向下平移4个单位，得到的抛物线是________，再向右平移1个单位，得到的抛物线是________．把抛物线y＝－x2绕其顶点顺时针旋转180°，得到的抛物线是________．
13．抛物线y＝2(x－2)2－6与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是______________，这三点围成的三角形的面积是________．
三、解答题
14．对于二次函数y＝2x2与二次函数y＝2(x－1)2＋4，请写出它们的两个相同点：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
再写出它们的两个不同点：
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________．
15．已知二次函数y＝－(x－2)2＋9.
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(2)当x＝______时，函数有最______值，是______．
(3)当x________时，y随x的增大而增大；当x________时，y随x的增大而减小．
(4)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
(5)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数y＝x2的图象？
16．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝－2，且该抛物线过点(1，－3)．
(1)求该抛物线的函数关系式，并写出其顶点坐标；
(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？
17．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2).
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2 的大小．
1．[答案] C
2．[解析] B 由抛物线的关系式y＝－(x－1)2＋2，可知对称轴是直线x＝1，开口方向向下，所以函数有最大值2.
3．[答案] B
4．[答案] A
5．[解析] C 把抛物线y＝x2沿直线y＝x向斜上方平移个单位，即将抛物线y＝x2向上平移1个单位后再向右平移1个单位，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线所对应的函数关系式为y＝(x－1)2＋1.故选C.
6．[解析] A ∵函数y＝－(x＋1)2＋a的大致图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，∴点A关于对称轴x＝－1的对称点A′的坐标是(0，y1)，那么点A′，B，C都在对称轴的右边，而在对称轴右边，y随x的增大而减小，于是y1>y2>y3.故选A.
7．[解析] C 如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵抛物线y＝a(x－3)2＋k的对称轴为直线x＝3，△ABC为等边三角形，且AB∥x轴，∴AD＝3，CD＝3 ，C(3，k)．
∵当x＝0时，y＝9a＋k，
∴A(0，9a＋k)，∴D(3，9a＋k)，
∴9a＋k－k＝3 ，∴a＝.故选C.
8．[答案] (1，0) (1，3) 上 3
9．[答案] y＝(x＋2)2－3 y＝(x－2)2＋3
[解析] 平移不改变抛物线的形状、大小及开口方向，所以所求函数关系式的二次项系数是.当得到的新的抛物线的顶点坐标为(－2，－3)时，抛物线的函数关系式为y＝(x＋2)2－3；当得到的新的抛物线的顶点坐标为(2，3)时，抛物线的函数关系式为y＝(x－2)2＋3.
10．[答案] 上 (1，2) 直线x＝1 > <
11．[答案] 1
12．[答案] (－1，4) y＝－(x＋1)2 y＝－x2 y＝x2
13．[答案] (0，2) (2＋，0)，(2－，0) 2
14．[答案] 答案不唯一．相同点：(1)函数图象的开口都向上；(2)函数图象的开口程度相同．
不同点：(1)函数图象的对称轴不同；(2)函数的最值不同．
15．解：(1)因为a＝－<0，所以该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，9)．
(2)2 大 9 (3)<2 >2
(4)当y＝0时，－(x－2)2＋9＝0，解方程，得x1＝2＋3，x2＝2－3，所以该函数图象与x轴的交点坐标是(2＋3 ，0)，(2－3 ，0)．
(5)将该函数图象先向下平移9个单位，再向左平移2个单位，可以得到二次函数y＝－x2的图象，再将其绕原点顺时针或逆时针旋转180°，即可得到二次函数y＝x2的图象．
16．解：(1)根据题意，得
解得
所以该抛物线的函数关系式是y＝－(x＋2)2，其顶点坐标是(－2，0)．
(2)当x＜－2时，y随x的增大而增大．
17．解：(1)把(1，－2)代入y＝a(x－3)2＋2，
得(1－3)2a＋2＝－2，解得a＝－1.
(2)由(1)得a＝－1 ＜0，抛物线的开口向下，所以在对称轴直线x＝3的左侧，y随x的增大而增大．因为m＜n＜3，所以y1 ＜y2.
26.2 2. 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、选择题
1．2018·山西用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．2018·攀枝花抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3)
3．2017·宁波抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( )
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x>1时，y随x的增大而减小
5．2018·德州如图K－6－1，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图K－6－1
6．抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中，错误的是( )
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)
B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)
C．抛物线的对称轴是直线x＝0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
7．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数关系式是( )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
二、填空题
8．把抛物线y＝x2－4x＋3化为顶点式为____________，顶点坐标是________，对称轴是直线________．
9．二次函数y＝a(x－1)2＋bx＋c的图象经过原点的条件是________．
10．二次函数y＝x2＋x－1的图象是由函数y＝x2的图象先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．
11．已知关于x的二次函数y＝mx2－2x＋1，当x<时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．
12．已知点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
13．把抛物线y＝x2＋bx＋8向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线对应的函数关系式为y＝x2－2x＋3，则b的值为________．
三、解答题
14．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
(1)该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是________；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图K－6－2中的平面直角坐标系内描点画出该抛物线；
x
…
…
y
…
…
图K－6－2
(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1>x2>1，试比较y1与y2的大小．
15．已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求函数图象的对称轴、顶点坐标；
(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
(4)x为何值时y≥0?
16．如图K－6－3所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.
(1)求m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
图K－6－3
17．如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为[2，3]，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
1．[答案] B
2．[解析] A 化为顶点式，得y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，所以抛物线的顶点坐标为(1，1)，故选A.
3．[解析] A ∵y＝x2－2x＋m2＋2＝(x－1)2＋(m2＋1)，∴抛物线的顶点坐标为(1，m2＋1)．∵1＞0，m2＋1＞0，∴抛物线的顶点在第一象限．
4．[答案] D
5．[解析] B 当a＞0时，二次函数的图象开口向上，且对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象经过第一、三、四象限，排除A、C；当a＜0时，二次函数的图象开口向下，且对称轴在y轴的左侧，排除D.故选B.
6．[解析] C 当x＝－2时，y＝0，∴抛物线过点(－2，0)，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，故A正确；当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)，故B正确；当x＝0和x＝1时，y＝6，∴对称轴为直线x＝，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确．故选C.
7．[解析] B ∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的函数关系式是y＝(x－3－1)2－4＋2＝(x－4)2－2.
8．[答案] y＝(x－2)2－1 (2，－1) x＝2
9．[答案] a＋c＝0
10．[答案] 左 2 下 2
[解析] 二次函数y＝x2＋x－1＝(x＋2)2－2，它的图象是由函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到的．
11．[答案] 0＜m≤3
[解析] 由当x<时，y随x的增大而减小，得抛物线开口向上，则m＞0，且≥，解得m≤3，故答案为0＜m≤3.
12．[答案] <
13．[答案] 4
14．解：(1)直线x＝1 (1，3)
(2)答案不唯一，如：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
－1
…
画图如下：
(3)因为在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小，所以由x1>x2>1，可得y115．解：(1)∵y＝2x2－4x－6，
∴y＝2(x－1)2－8，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
(2)当y＝0时，0＝2x2－4x－6，
可得x1＝－1，x2＝3，
当x＝0时，y＝－6，
∴图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，－6)．
(3)∵a＝2＞0，函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
(4)当x≤－1或x≥3时，y≥0.
16．解：(1)将(3，0)代入二次函数关系式，
得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3.
(2)∵m＝3，
∴二次函数的关系式为y＝－x2＋2x＋3.
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝3或x＝－1.
∴点B的坐标为(－1，0)．
(3)∵S△ABD＝S△ABC，点D在第一象限，
∴点C，D关于函数图象的对称轴对称．
∵由二次函数关系式可得其图象的对称轴为直线x＝1，点C的坐标为(0，3)，
∴点D的坐标为(2，3)．
17．解：(1)由题意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．
(2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5.
∵函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴平移后的图象对应的函数关系式为y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3，
∴得到的图象对应的函数的特征数为[2，－3]．
②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，
特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，即y＝＋，
∴平移过程为先向左平移个单位，再向下平移个单位．
26.2 2. 第5课时 二次函数最值的应用
一、选择题
1．2018·连云港已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
2．已知二次函数的部分图象如图K－7－1，在该函数所给自变量的取值范围(0≤x≤4)内，下列说法正确的是( )
图K－7－1
A．有最大值 2，有最小值－2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 1.5，有最小值－2.5 D．有最大值 2，无最小值
3．如图K－7－2，在△ABC中，∠B＝90°，tanC＝，AB＝6 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )
图K－7－2
A．18 cm2 B．12 cm2 C．9 cm2 D．3 cm2
4．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形，则a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
5．小聪、小明、小伶、小俐四人共同探究代数式2x2－4x＋6的值的情况．他们作了如下分工：小聪负责求代数式值为0时x的值，小明负责求代数式值为4时x的值，小伶负责求代数式的最小值，小俐负责求代数式的最大值．下列四人的探究结果中，错误的是( )
A．小聪认为找不到实数x，使2x2－4x＋6的值为0
B．小明认为只有当x＝1时，2x2－4x＋6的值为4
C．小伶发现2x2－4x＋6的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D．小俐发现当x取大于1的实数时，2x2－4x＋6的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值
6．若m为实数，则代数式的最小值是( )
A．5 B．3 C．9 D．0
7．如图K－7－3，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝12，AD＝8，矩形EFGH的边EF在BC上，点G，H分别在AC，AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是( )
图K－7－3
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．矩形的周长为20 cm，当矩形的长为________cm时，面积有最________(填“大”或“小”)值，是________cm2.
9．2018·武汉飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
10．如图K－7－4，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围成，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80 m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为________m.
图K－7－4
11．如图K－7－5，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．
图K－7－5
12．如图K－7－6，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE长的最小值是________．
图K－7－6
三、解答题
13．求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝x2－3x＋4； (2)y＝－6x2＋12x.
14．2018·淮安某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为________件；
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
15．如图K－7－7，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
(1)设运动开始t s后，五边形APQCD的面积为S cm2，写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
(2)当t为何值时，S取得最小值？最小值是多少？
图K－7－7
1．[解析] D A项，当t＝9时，h＝－81＋216＋1＝136，当t＝13时，h＝－169＋312＋1＝144，即点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同，故A选项说法错误；B项，当t＝24时，h＝－576＋576＋1＝1，即点火后24 s火箭的升空高度是1 m，故B选项说法错误；C项，当t＝10时，h＝－100＋240＋1＝141，即点火后10 s的升空高度为141 m，故C选项说法错误；D项，可得火箭升空的最大高度为＝＝145(m)，故D选项说法正确，故选D.
2．[解析] A 由二次函数的图象(0≤x≤4)知，当x＝1时，y有最大值 2，当x＝4时，y有最小值－2.5.故选A.
3．[解析] C 设P，Q两点的运动时间为t s．由题意，得BC＝8 cm，BP＝(6－t)cm，BQ＝2t cm，
∴S△PBQ＝(6－t)·2t＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，当t＝3时，S△PBQ有最大值为9.故选C.
4．[解析] D 设矩形的一边长是x cm，则与其相邻的另一边长是(20－x)cm.根据题意，得a＝x(20－x)＝－x2＋20x.∵a最大值＝＝＝100，∴a的值不可能为120.
5．[答案] C
6．[解析] A 原式＝＝.∵(m－1)2≥0，∴当m＝1时，最小值是＝5，即当m为实数1时，代数式有最小值，最小值是5.故选A.
7．[解析] B 设HG＝x，KD＝y.
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC.
∵AD是BC边上的高，
∴AK⊥HG，∴AK∶AD＝HG∶BC.
∵BC＝12，AD＝8，∴＝，
解得y＝－x＋8，
∴矩形EFGH的面积为xy＝x·＝－(x－6)2＋24，
∴当x＝6，即HG＝6时，矩形EFGH的面积最大，最大面积是24，
∴EF＝HG＝6.故选B.
8．[答案] 5 大 25
[解析] ∵设矩形的一边长为x cm，则与其相邻的另一边长为(10－x)cm，∴其面积为S＝x(10－x)＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25，而二次项系数为负，∴当x＝5时，S最大＝25，∴当矩形的长为5 cm时，面积有最大值是25 cm2.故答案为5，大，25.
9．[答案] 24
[解析] ∵y＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，飞机滑行到最大距离600 m时停止；当t＝16时，y＝576，∴最后4 s滑行的距离是24 m.
10．[答案] 15
[解析] ∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍，
∴AE＝2BE.
设BC＝x m，BE＝a m，则AE＝2a m，
∴8a＋2x＝80，
∴a＝－x＋10，3a＝－x＋30.
设矩形花圃ABCD的面积为y m2，
则y＝x＝－x2＋30x.
∵a＝－x＋10＞0，∴x＜40，
则y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300，
当x＝20时，a＝－x＋10＝5，
∴AB＝AE＋BE＝3a＝15.
11．[答案] 5
[解析] 设BE＝x，CF＝y.∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF∴＝，即＝，化简，得y＝＝－(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值，为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝＝5.
12．[答案] 1
13．解：(1)y＝x2－3x＋4
＝x2－2×x＋－＋4
＝＋.
∴当x＝时，y最小值＝.
(2)y＝－6x2＋12x
＝－6(x2－2x＋1)＋6
＝－6(x－1)2＋6.
∴当x＝1时，y最大值＝6.
14．[解析] (1)根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可得每天的销售数量为200－10×(52－50)＝200－20＝180(件)；
(2)根据等量关系“利润＝(单件售价－单件进价)×销售量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
解：(1)180
(2)由题意得
y＝(x－40)[200－10(x－50)]
＝－10x2＋1100x－28000
＝－10(x－55)2＋2250，
∴当x＝55时，y取得最大值，最大值为2250，
故当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得最大利润，最大利润为2250元．
15．解：(1)运动开始t s后，AP＝t cm，BQ＝2t cm，故PB＝(6－t)cm.
S△PBQ＝·(6－t)·2t＝－t2＋6t.
∵S矩形ABCD＝6×12＝72(cm2)，
∴S＝72－S△PBQ＝t2－6t＋72(0(2)S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63.
∵0＜t＜6，∴当t＝3时，S取得最小值，最小值是63.
