26.2 .2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象与性质（1）
教学目标
【知识与能力】
会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，并通过图象认识其性质。
【过程与方法】
理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出二次函数y＝ax2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【情感态度价值观】
体会数形结合的思想方法。
教学重难点
【教学重点】
理解二次函数y＝ax2＋k的图象与性质。
【教学难点】
抛物线的平移规律。
课前准备
多媒体
教学过程
阅读教材，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．认真理解教材P8例2发现：将抛物线y＝x2向上平移1个单位，就得到抛物线y＝x2＋1.
2．将抛物线y＝－x2向下平移1个单位，就得到抛物线y＝－x2－1.
3．函数y＝－x2＋1，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有最大值，最大值是1，其图象与y轴的交点坐标是(0,1)，与x轴的交点坐标是(1,0)，(－1,0).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】抛物线y＝ax2与y＝ax2±k(k>0)有什么关系？
【互动探索】(引发学生思考)画出函数图象，观察这两个抛物线之间的关系．
【解答】(1)抛物线y＝ax2±k的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；
(2)抛物线y＝ax2y＝ax2＋k；
抛物线y＝ax2y＝ax2－k.
【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线y＝ax2的上下平移规律：上加下减常数项的绝对值．
【例2】已知抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，求a的值．
【互动探索】(引发学生思考)抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，那么a－2<0，且a2－2＝2.
【解答】∵抛物线y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，
∴
解得a＝－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果二次函数y＝ax2＋k的图象有最高点，那么a＜0；最高点的纵坐标为k，即最高点的坐标为(0，k)．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若二次函数y＝(3m－6)x2－1的开口方向向下，则m的取值范围为( B )
A．m＞2 B．m＜2
C．m≠2 D．m＞－2
2．若二次函数y＝a1x2与二次函数y＝a2x2＋3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为( A )
A．a1＝a2 B．a1＝－a2
C．a1＝±a2 D．无法判断
3．将二次函数y＝－2x2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为( A )
A．(0，－6) B．(0,4)
C．(5，－1) D．(－2，－6)
4．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：
(1)通过点(－3,2)；
(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反．
解：(1)y＝x2－1.
(2)y＝－x2－1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )
A．a＋c B．a－c
C．－c D．c
【互动探索】二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称．∵当x取x1、x2 (x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时(如图)，函数值相等，∴x1＋x2＝0，∴当x＝x1＋x2，即x＝0时，函数值为c，故选项D正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，那么x1与x2互为相反数．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
26.2 .2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象与性质（2）
教学目标
【知识与能力】
能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解a、h对二次函数图象的影响。
【过程与方法】
能够正确说出二次函数y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【情感态度价值观】
体会数形结合的思想方法。
教学重难点
【教学重点】
理解抛物线y＝a(x－h)2的图象与性质。
【教学难点】
抛物线y＝a(x－h)2的平移规律。
教学过程
阅读教材，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．对于函数y＝(x－2)2，当x＜2时，函数值y随x的增大而减小；当x＞2时，函数值y随x的增大而增大；当x＝2时，函数取得最小值0.
2．抛物线y＝(x－2) 2的开口方向是向上，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2,0)，可以看成是由抛物线y＝x2向右平移2个单位而得到．
3．抛物线y＝－(x＋2)2的开口方向是向下，对称轴是x＝－2，顶点坐标是(－2,0)，可以看成是由抛物线y＝－x2向左平移2个单位而得到．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】顶点为(－2,0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为( )
A．y＝(x－2)2
B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x＋2)2
D．y＝－(x－2)2
【互动探索】(引发学生思考)因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)．而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.因为抛物线的顶点为(－2,0)，所以h＝2.把a＝－，h＝2代入y＝a(x＋h)2，得y＝－(x＋2)2.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)决定抛物线形状的是二次项系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
【例2】向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)假设法：设出抛物线y＝－x2平移后的解析式y＝－(x＋h)2→代入点(－9，－8)，求出h→若h存在，则假设成立；反之假设不成立．
【解答】能．理由如下：
设平移后的函数解析式为y＝－(x＋h)2.
将x＝－9，y＝－8代入，得－8＝－(－9＋h)2，
解得h＝5或h＝13.
所以平移后的函数解析式为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.
即平移后抛物线的顶点为(－5,0)或(－13,0)，
所以应向左平移5或13个单位．
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象向左(或右)平移h(h>0)个单位长度得到的图象的解析式为y＝a(x±h)2.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( D )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时， y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2．已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2,0)，且图象经过点(－4,2)，求a、h的值．
解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2,0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4,2)，∴a(－4＋2)2＝2，∴a＝.
3．抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1,4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2.把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
【互动探索】结合已知，求出A、B、C的坐标→根据坐标画出大致图形→求△ABC的面积．
【解答】平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4,0)．
解方程组
得或
∵点A在点B的左边，
∴A(2,2)，B(8,8)，
∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的，这个解就是两个函数图象的交点坐标．(2)抛物线的平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
26.2 .2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象与性质（3）
教学目标
【知识与能力】
会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质。
【过程与方法】
掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律。
【情感态度价值观】
体会数形结合的思想方法。
教学重难点
【教学重点】
二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质。
【教学难点】
二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系。
教学过程
阅读教材，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是(－2，－4)，当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大．
2．若抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－3,0).
3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k).
4．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝ax2的形状相同(因为a值相同)，而位置不同．将抛物线y＝ax2上下平移，可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移－k个单位)，再将抛物线y＝ax2＋k左右平移后，可得到抛物线y＝a(x－h)2＋k(h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象有最低点
D．图象的顶点坐标为(－1,2)
【互动探索】(引发学生思考)∵－1＜0，∴函数图象的开口向下，图象有最高点，故A、C错误．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1,2)，∴对称轴是直线x＝－1，故B错误，D正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、最高(低)点由a决定；对称轴由h决定；顶点坐标由h、k共同决定．
【例2】已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数图象的顶点坐标，设顶点式y＝a(x－h)2＋k.
【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，
∴设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2.
把点(1，－3)代入解析式，得a＝－.
故抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.
(2)由(1)可得抛物线的开口向下，对称轴为x＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知二次函数图象的顶点，可以将二次函数的解析式设为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，再根据题目中的条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确结论的个数为( A )
①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限；④当x＞－2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3
C．2 D．1
2．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是y＝－(x＋4)2＋3.
4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．
解：(1)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线解析式为y＝a(x－h＋2)2＋k＋4，则解得
(2)由(1)得y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1.故它的开口方向向下；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为(1，－1)．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知抛物线y＝(x＋h)2＋k的顶点坐标为(1，－4)．
(1)求抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；
(2)将抛物线沿y轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式；
(3)写出抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)求出函数解析式→画出函数图象→观察抛物线沿y轴翻折，沿x轴翻折后的形状、位置特点→求出解析式．
【解答】(1)抛物线y＝(x＋h)2＋k的顶点坐标为(1，－4)．则h＝－1，k＝－4.
即函数的解析式是y＝(x－1)2－4.
令y＝0，则(x－1)2－4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
则A、B的坐标是(－1,0)或(3,0)．
(2)∵抛物线沿y轴翻折，∴顶点坐标是(－1，－4)，则函数的解析式是y＝(x＋1)2－4.
(3)抛物线关于x轴对称的顶点坐标是(1,4)，则函数的解析式是y＝－(x－1)2＋4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数的图象沿y轴翻折，则开口方向不变，即二次项系数不变，翻折前后的顶点关于y轴对称；沿x轴翻折，则开口方向改变，即二次项系数变成相反数，翻折前后的顶点关于x轴对称．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
26.2 .2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象与性质（4）
教学目标
【知识与能力】
能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式。
【过程与方法】
能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象
【情感态度价值观】
体会数形结合的思想方法。
教学重难点
【教学重点】
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质。
【教学难点】
用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴。
教学过程
阅读教材，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝a2＋.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是.
3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出：如果a>0，当x<－，y随x的增大而减小，当x>－，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－，y随x的增大而增大，当x>－，y随x的增大而减小.
4．将二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝－(x－2)2＋9，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2,9).
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
【解答】见教材第16～17页例4.
【例2】求抛物线y＝2x2－x－1的开口方向、对称轴及顶点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)用配方法将y＝2x2－x－1转化为y＝a(x－h)2＋k的形式→得出开口方向与顶点坐标．
【解答】配方，得y＝2x2－x－1＝22－，
∴抛物线的对称轴是直线x＝，顶点坐标为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝a2＋，其对称轴是x＝－，顶点是.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．当a<0时，则抛物线y＝x2＋2ax＋1＋2a2的顶点在第一象限．
2．利用配方法，把下列函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝－x2＋6x＋1； (2)y＝2x2－3x＋4；
(3)y＝－x2＋nx； (4)y＝x2＋px＋q.
解：(1)∵y＝－x2＋6x＋1＝－(x－3)2＋10，∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3,10)，开口向下．
(2)∵y＝2x2－3x＋4＝22＋，∴对称轴为直线x＝，顶点坐标为，开口向上．
(3)∵y＝－x2＋nx＝－2＋，∴对称轴为直线x＝，顶点坐标为，开口向下．
(4)∵y＝x2＋px＋q＝2＋，∴对称轴为直线x＝－，顶点坐标为，开口向上．
3．已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．
解：A(2，－9)．
4．已知二次函数y＝－x2－2x＋6.
(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？
解：(1)配方，得y＝－(x＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.
(2)当－6＜x＜2时，y＞0，当x＞－2时，y随x的增大而减小．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
【互动探索】已知抛物线的顶点在坐标轴上→分两种情况讨论：顶点在x轴上，顶点在y轴上．
【解答】∵y＝x2－(a＋2)x＋9＝2＋9－，
∴抛物线的顶点坐标是.
当顶点在y轴上时，有＝0，
解得a＝－2.
当顶点在x轴上时，有9－＝0，
解得a＝4或a＝－8.
∴当抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时，a的值可以是－8，－2,4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论，不要漏解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
(1)开口方向：当a>0时，向上；当a<0时，向下．
(2)对称轴：直线x＝－.
(3)顶点坐标：.
(4)增减性：如果a>0，当x<－，y随x的增大而减小，当x>－，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－，y随x的增大而增大，当x>－，y随x的增大而减小．
