课题
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，并能与二次函数y＝ax2比较异同.
2.理解a，k对二次函数y＝ax2＋k的图象的影响，能正确说出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数值的变化情况.
3.了解二次函数y＝ax2＋k的图象上下平移的规律．
数学思考
利用二次函数y＝ax2的图象研究二次函数y＝ax2＋k的图象，体会类比的思想和平移的规律．
问题解决
经历探索二次函数y＝ax2＋k的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想和方法．
情感态度
进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识间的转化、图象平移的规律，感受数形之间转化的魅力．
教学
重点
作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们的异同，了解y＝ax2＋k的性质．
教学
难点
对函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
(续表)
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1．填空：
二次函数y＝2x2的图象是________，它的开口方向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，函数有________值，其最值为________．二次函数y＝－2x2呢？
2．二次函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
学生自主解答问题1，教师根据学生回答做好总结，同时提出问题2，从而引入新课．
通过复习二次函数y＝ax2的图象及其性质，进一步巩固旧知，同时又为学习新知打好基础做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图26－2－17的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋10.
图26－2－17
你能看得出来中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？为解决以上实际问题，我们需要运用形如y＝ax2＋k的二次函数的图象和性质，那我们一起来探究吧！
通过对抛物线实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能对抛物线y＝ax2＋k进行初步的了解和认识．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 二次函数y＝ax2＋k的图象
提出问题：在同一坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象．
师生活动：先让学生回顾画二次函数图象的步骤：列表、描点、连线，先画出y＝2x2的图象．
1．列表：教师给出表格，学生填表．
x
…
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
…
y＝2x2＋1
…
…
y＝2x2－1
…
…
2.描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点.
3.连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象．
1.利用画图象的步骤依次画出各个二次函数的图象，主要培养学生的画图能力、对比能力和学生严谨的学习态度.
2.在探究过程中，引导学生认真观察思考，积极回答，让学生充分感受到解决问题带来的喜悦.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
让学生思考当x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
观察讨论：观察二次函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象，探究函数y＝2x2＋1与y＝2x2－1的图象之间的关系．
(1)先让学生观察函数的图象，研究自变量相同的两个函数图象上点的位置有何关系？
(2)函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象有什么关系？
学生自主归纳：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2－1的图象向上平移2个单位得到的．
【探究2】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
(1)抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？
(2)抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？
(3)它们的形状由什么决定？它们的位置关系由什么决定？
教师指导学生观察函数图象，学生自主进行回答，达成共识：
开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是(0，1)、(0，－1)；把抛物线y＝2x2向上平移1个单位得到抛物线y＝2x2＋1，向下平移1个单位得到抛物线y＝2x2－1；其中a决定了函数y＝ax2＋k的图象的开口方向，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；k决定了函数图象与y轴交点的纵坐标．
归纳总结：
展示问题：你能根据抛物线y＝ax2＋k的图象，结合y＝ax2的性质得出y＝ax2＋k的性质吗？
师生活动：学生小组交流、讨论，做好总结归纳，教师指导各个小组发表见解，最后师生共同总结：
(1)若a>0时，开口向上，顶点坐标为(0，k)，对称轴为y轴即直线x＝0，当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数值y取最小值，最小值为y＝k；
(2)若a<0时，开口向下，顶点坐标为(0，k)，对称轴为y轴即直线x＝0，当x<0时，函数值y随x的增大而增大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数值y取最大值，最大值为y＝k；
(3)当k>0时，二次函数y＝ax2＋k的图象由二次函数y＝ax2的图象向上平移k个单位得到；当k<0时，二次函数y＝ax2＋k的的图象由二次函数y＝ax2的图象向下平移|k|个单位得到．
3.通过观察、对比得到函数的性质和图象之间的关系，易于培养学生的分析能力和总结能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小、开口方向相同，且顶点坐标是(0，3)，则其表达式为______________，它是由抛物线y＝－5x2向________平移________个单位得到的．
“应用举例”和“变式训练”是对于课题学习的针对性练习.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
变式训练
与抛物线y＝－x2＋1顶点相同，对称轴相同，但开口方向相反的抛物线是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2－1 C．y＝x2－1 D．y＝－3x2＋1
例2 下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( )
A．y＝－2x B．y＝x2－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－7x2
学生自主进行解答问题后，学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.
【拓展提升】
例3 在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1和二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )
图26－2－18
例4 若抛物线y＝ax2＋c与y＝－2x2＋5关于x轴对称，求a，c的值．
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，对学有困难的学生适当引导、点拨．
学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣进行深层次的合作探究，并体验解决问题的过程，提高了思维能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.二次函数y＝3x2＋5与y＝3x2的图象的不同之处是( )
A．开口方向不同 B．对称轴不同
C．顶点坐标不同 D．形状不同
2．抛物线y＝－3x2＋2的开口方向________，对称轴是________，顶点坐标是________，函数有最________值为________．
3．抛物线y＝4x2－3是将抛物线y＝4x2向________平移________个单位得到的．
4．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( )
图26－2－19
5．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数表达式：
(1)通过点(－3，2)；
(2)与y＝－0.5x2的开口大小相同，方向相反．
学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂小结】
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师总结：对二次函数y＝ax2＋k的图象形状、画法、对称轴、开口方向和大小以及函数值的变化情况和平移规律等方面进行总结．
布置作业：教材P10练习第1，2题．
“课堂小结”环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，学生动手操作，大胆质疑，教师能够适时评价，对学生思维起到极好的助推作用，多媒体的辅助增添了二次函数之间的平移变化规律，方便学生理解知识和掌握知识．
②[讲授效果反思]
教师强调难点：抛物线平移的规律，上加下减(在k的位置上)；重点分析函数的图象和性质．
③[师生互动反思]
课堂教学过程中，学生能够积极表现，教师做好点拨、适时评价．
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数值的变化情况等.
2.掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象的平移规律．
数学思考
采用多媒体教学，逐步引导学生运用观察、分析、比较、抽象、类比、概括等方法，直观呈现抛物线的运动和变化过程．
问题解决
让学生经历二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的探索过程，加深理解其图象和性质．
情感态度
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合的思想、动手操作能力和逻辑思维能力．
教学
重点
掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
教学
难点
掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象与抛物线y＝ax2之间的平移规律．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1．将二次函数y＝5x2－3的图象向上平移7个单位后所得抛物线的函数表达式为____________．
2．写出一个顶点坐标为(0，－3)，开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线的函数表达式为____________．
3．与抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线的函数表达式为____________．
学生自主解答问题，教师做好提示，做好点评．
以题组的形式进行引入，不仅复习回顾了原学的函数的图象和性质，也为学习新知奠定基础.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－(x＋1)2和y＝－(x－1)2的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
学生在准备好的坐标纸上，动手列表、描点、连线，作出函数的图象．
在列表过程中，教师允许学生交流计算的准确性．
教师巡视指导，做好纠正和点拨．
利用画图象的步骤依次画出各个二次函数的图象，主要培养学生的画图能力和学生严谨的学习态度.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
(1)(展示表格)观察图象，然后进行填表：
函数
图象的开
口方向
图象的
对称轴
图象的顶
点坐标
最值
函数值的
变化情况
y＝－(x＋1)2
y＝－(x－1)2
学生完成填表后，然后描点画出函数图象.
(2)观察函数图象并思考下列问题：
①观察函数对应值表，你能猜想出这两个函数的图象之间的关系吗？
②思考抛物线y＝－(x＋1)2、y＝－(x－1)2的开口方向，顶点坐标和对称轴有什么异同呢？
教师展示学生回答情况，共同定制答案.
③请以小组为单位总结抛物线y＝a(x－h)2的特点？
教师在学生总结的基础上总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质.
师生活动：学生小组讨论后，师生共同归纳二次函数的性质.
【探究2】 抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2的平移规律
(展示问题)观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题：
(1)抛物线y＝－(x＋1)2，y＝－x2，y＝－(x－1)2的形状和大小之间有什么关系？
1.通过观察、分析、探索出图象的特征及函数的有关性质，培养学生数形结合的思想.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
(2)把抛物线y＝－x2向________平移________个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2；
(3)把抛物线y＝－x2向________平移________个单位，就得到抛物线y＝－(x－1)2.
教师用多媒体展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律．
提出问题：
(1)分析抛物线y＝a(x－h)2和y＝ax2之间的的区别和联系．
(2)讨论y＝a(x－h)2中a和h的作用．
师生活动：学生小组内讨论得到结论，教师给予补充和总结：
抛物线y＝a(x－h)2和y＝ax2的开口大小和方向相同，对称轴和顶点不同，抛物线y＝a(x－h)2可由y＝ax2通过平移得到．
归纳：a决定抛物线的开口方向和大小，h决定对称轴的位置．抛物线的平移规律：当h>0时，将抛物线向右平移h个单位；当h<0时，将抛物线向左平移|h|个单位．
2．通过归纳、小组合作探究，引导学生完成对知识从特殊到一般的归纳，符合学生的认知规律，从而培养学生分析问题、解决问题、归纳总结的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 二次函数y＝－2(x－4)2的图象是由抛物线y＝－2x2向________平移________个单位得到的；开口向________，对称轴是________，当x＝________时，y有最________值是________．
例2 已知二次函数y＝a(x－h)2的图象的对称轴是直线x＝3，且过点(1，1)，试确定该抛物线的函数表达式．
变式训练
1．二次函数y＝3(x－2)2的图象怎样平移就能得到二次函数y＝3(x＋2)2的图象？
2．已知二次函数y＝a(x－h)2，当x＝1时有最小值，且此函数的图象经过点(2，2)，求h的值，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小？
学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己DE 答案，共同得到正确的结论．
学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程，提高了思维能力．
【拓展提升】
(课件展示)
例3 已知抛物线y＝－(x－2)2上有两点(x1，y1)和(x2，y2)，且x1
”“<”或“＝”)
例4 在平面直角坐标系中，函数y＝－x－1和y＝－(x－1)2的图象大致是( )
活动
三：
开放
训练
体现
应用
图26－2－30
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，对学有困难的学生适当引导、点拨．
学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究，从而体验解决问题的过程，提高了他们的思维能力.
【达标测评】
1．二次函数y＝3(x＋4)2的图象是________，开口________，对称轴是________，当x＝________时，y有最________值，是________．
2．将抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位后，得到抛物线y＝－4(x－4)2，则m＝________，n＝________．
3．一条抛物线的对称轴是直线x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口向下，则这条抛物线的函数表达式为__________(任写一个即可)．
4．将函数y＝3(x－4)2的图象沿x轴对折后得到的图象对应的函数表达式是什么？将函数y＝3(x－4)2的图象沿y轴对折后得到图象对应的函数表达式是什么？
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”．
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂小结】
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师强调：①函数的图象特征，并与其他函数的图象相比较；②函数图象的平移规律；③函数的值的变化情况．
布置作业：教材P13练习第1题．
课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
新课导入环节中，引导学生在观察函数图象上下功夫，同时给学生设置有悬念的问题，使学生积极思考问题；在探究新知过程中，让学生经历类比联想、归纳总结的过程，应用由特殊到一般的思想，增强学生的观察、分析、归纳和表达能力．
②[讲授效果反思]
引导学生注意三点：(1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质．
③[师生互动反思]
教学过程中，教师对学生进行引导，使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来，养成探索的好习惯．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象及其性质.
2.理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与二次函数y＝ax2的图象的位置关系．
数学思考
重视学生的画图和归纳，让学生在画图、交流、质疑中加强对数学思想的感悟和体会，有助于降低知识的难度．
问题解决
通过作图、观察、分析、合作、归纳等探究方式，理解二次函数顶点式的图象和性质．
情感态度
向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，培养学生数形结合、类比的思想．
教学
重点
掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
教学
难点
掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与抛物线y＝ax2之间的平移规律．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1.二次函数y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2的图象各有什么特征？
(从开口方向、对称轴和顶点坐标考虑)
2.函数y＝－x2－1的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
3.函数y＝－(x＋1)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
(从平移规律进行说明)
学生进行解答，教师做好指导和点评．
运用类比的教学方法，降低起点，复习旧知，为学生顺利进入新知识的学习做好准备.
(续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
现代运动学研究发现：一名优秀的运动员除了具有先天的身体素质，扎实的基本技术，良好的战术素养之外，我们还可以借助电子技术来帮助分析数据，以提高运动员的成绩．我国女子铅球运动员刘相蓉的教练在一次训练中通过电子技术发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此教练员根据电子技术捕获的信息迅速推断出铅球推出的距离是10 m．同学们想知道这是为什么吗？当我们探索了形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数就可解决以上问题．
通过铅球的飞行轨迹的探索引入，增长了学生的见识，体会到数学在实际生活中的广泛应用，由此激发学生的学习兴趣，从而顺利导入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象
在同一直角坐标系中画出y＝x2，y＝x2＋1，y＝(x－2)2＋1的函数图象．
让学生自己画图象，并在观察思考的基础上回答问题：
它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标有何异同？
学生观察，小组合作交流得出函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同而已．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h，当a>0时，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点．
【探究2】 二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的图象平移关系
提出问题：结合探究1思考抛物线y＝x2经过怎样的变换可以得到抛物线y＝(x－2)2＋1?
教师运用数码展台播放平移过程．
学生小组讨论得出一般性结论，再由师生一起探究得出平移规律：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象向上或向下平移|k|个单位，再向左或向右平移|h|个单位而得．
【探究3】 二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质
提出问题：你能发现函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？
师生活动：学生分组讨论，互相交流，发表见解后，达成共识：
图象开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．
当x＝－1时，y有最大值是－1；
当x<－1时，y随x的增大而增大；当x>－1时，y随x的增大而减小．
教师对于学生的发现进行鼓励，对于二次函数的图象引导学生从开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、函数值的变化情况等方面进行分析．
1．通过学生动手画图象，给学生创设活动的时间和空间，让学生经历知识的发生、发展的过程．
2．利用课件演示抛物线的平移，激发学生的学习兴趣，让学生体验、感受函数的图象和性质取决于各项系数的性质．
3．通过归纳、小组合作探究，引导学生完成对知识从特殊到一般的归纳，符合学生的认知规律，从而培养学生分析问题、解决问题和归纳总结的能力.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
提出问题：你能根据上述探究，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质吗？
师生活动：学生讨论、交流，积极发言，师生共同提示、补充、总结：
(1)若a>0，当xh时，函数值y随x的增大而增大；x＝h时，函数y有最小值，最小值为y＝k；
(2)若a<0时，当xh时，函数值y随x的增大而减小；x＝h时，函数y有最大值，最大值为y＝k.
教师做好补充说明：形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数表达式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 关于二次函数y＝－2(x－1)2＋2，下列说法正确的是( )
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是(－1，2)
C．当x>1时，y随x的增大而增大
D．图象与y轴的交点坐标为(0，2)
例2 将二次函数y＝5x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得的图象对应的函数表达式为( )
A．y＝5(x－1)2＋3 B．y＝5(x＋1)2＋3
C．y＝5(x－1)2－3 D．y＝5(x＋1)2－3
变式训练
1．[牡丹江中考] 将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，3)
C．(0，4) D．(0，7)
2．已知抛物线y＝(x－1)2－3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴；
(2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值．
师生活动：学生自主进行解答问题后，学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论．
学生在掌握基础知识和基本技能的基础上，怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程，提高了思维能力．
【拓展提升】
例3 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图
26－2－35所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图
象可能是( )
图26－2－35
图26－2－36
培养学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论的这一认知过程．
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多高？
教师为学生理解问题，顺利解答问题， 图26－2－37
进行分层次设问：
(1)分析该题的突破口是什么？
(2)如何建立平面直角坐标系？
(3)你能求出该抛物线的函数表达式吗？
(4)根据函数表达式你能求出水管的长度吗？
学生思考讨论，小组合作探究，教师进适时行点拨指导，并板书过程解题．
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．抛物线y＝2(x－3)2－1的顶点坐标是________，对称轴是________．
2．将抛物线y＝3x2沿y轴向下平移5个单位，向左沿x轴平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为____________．
3．由二次函数y＝6(x－2)2＋1可知( )
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝－2
C．函数的最小值为1
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【课堂小结】
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师总结：比较二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k之间的联系和区别，总结二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质以及平移规律．
布置作业：教材P16练习第1，2，3，4题．
课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境环节中，让学生自己动手画函数图象，自己去思考探究二次函数的图象和性质，有利于培养学生的自学能力；学生在发现新知的过程中，体验到了成功的喜悦，会激发学生继续学习、继续探究的欲望，使学习不断深入．
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下几点：(1)不同类型的二次函数的图象的平移变换规律；(2)函数的性质是建立在函数的图象基础上探究而得的；(3)同一知识点可以运用不同方式进行考查，但运用的知识点始终不变．
③[师生互动反思]
教学过程中，师生之间、生生之间把探索中发现的问题和获得的感悟进行交流，课堂气氛活跃．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.能熟练地用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象.
2.经历求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴和顶点坐标的过程.
3.能通过配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式来确定其图象特征及函数性质．
数学思考
通过学生作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法．
问题解决
经历二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质的探究过程，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想以及研究函数的一般思路．
情感态度
在教学中渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索发现的喜悦．
教学
重点
用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标．
教学
难点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
我们知道二次函数y＝2(x－1)2＋2的图象可由二次函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此可以得出函数y＝2(x－1)2＋2的图象特征和性质．那么对于任意一个二次函数，如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，你能把它化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？你能再利用y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标来探究二次函数y＝－x2＋x－的图象特征吗？
通过复习二次函数y＝a(x－h)2＋k与二次函数y＝ax2图象的平移规律及其性质，引导学生思考二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的联系，从而通过顶点式来研究一般式的二次函数的图象和性质.
(续表)
活动
一：
创设
情境
导入
新课
多媒体演示：桥梁的两根钢缆的实物情景，如图26－2－49所示．
图26－2－49
若告诉大家，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，其表达式为y＝0.0225x2－0.9x＋10，你能求出钢缆最低点到桥面的距离吗？(只谈思路，不谈计算)从而引出新课．
通过桥梁的钢索抛物线的实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能进一步了解和认识抛物线.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
提出问题1：如何运用描点法画二次函数y＝x2－6x＋21的图象？并说出这个图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
提出问题2：你能把y＝x2－6x＋21化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？由y＝a(x－h)2＋k来确定这条抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴是不是更简单呢？
说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识，最后教师给出解答．
教师指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫做配方法，并指出与用配方法解一元二次方程的异同点．
教师归纳：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过配方可得函数y＝a＋，因此我们可以利用二次函数y＝a＋来探讨y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．即：
(1)当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为，当x<－时，函数值y随x的增大而减小；当x>－，函数值y随x的增大而增大；当x＝－时，函数y有最小值，最小值为y＝，即顶点是图象的最低点．
(2)当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为，当x<－时，函数值y随x的增大而增大；当x>－时，函数值y随x的增大而减小；当x＝－时，函数y有最大值，最大值为y＝，即顶点是图象的最高点．
1．体现教师主导、学生主体的合作学习关系，利用函数图象的直观性说出函数的性质，体现数形结合的思想．
2．通过从特殊到一般，总结出求函数图象的顶点坐标的一般方法：配方法、公式法．
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究2】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2的图象的平移关系
提出问题：画出二次函数y＝(x－6)2＋3的图象，并指出它是由抛物线y＝x2怎样平移得到的？
师生活动：给予学生充分的时间和空间，让学生进行尝试配方，教师强调配方法的同时进行板书．
师生活动：学生口答，教师点评．
教师归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以由y＝ax2的图象向上或向下平移个单位，再向左或向右平移个单位而得．
3.通过二次函数图象之间的平移规律让学生懂得函数图象之间的内在联系.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
变式训练
1．求下列抛物线的对称轴和顶点坐标．
(1)y＝－3x2＋12x－3；(2)y＝2x2－3x－5.
2．已知二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋8.
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；
(2)当x的取值范围是________时，y随x的增大而减小．
解：(1)y＝x2＋6x＋8＝(x＋3)2－1，所以该函数图象的顶点坐标为(－3，－1)．(2)由(1)知此二次函数图象的对称轴为直线x＝－3，∵a＝1＞0，∴当x＜－3时，y随x的增大而减小．
学生独立完成，互相评价，学生可能出现用配方法或公式法来解决问题，教师做好练习的检查和展示，并进行鼓励性评价．
问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键．
【拓展提升】
(课件展示)
例2 二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是(C)
图26－2－50
例3 已知二次函数y＝ax2－2x＋2(a＞0)，那么它的图象一定不经过(C)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，对学有困难的学生适当引导、点拨．
让学生加深对配方法和公式法的理解和运用，培养学生思维的灵活性、开放性，并让学生感受到解决问题的多样化.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．二次函数y＝ax2－4x－6的图象的顶点横坐标是－2，则a＝__－1__．
2．二次函数y＝x2＋3x＋的图象是由函数y＝x2的图象，先向__左__平移__3__个单位，再向__下__平移__2__个单位得到的．
3.已知函数y＝x2＋6x＋10，用配方法把它化成y＝a(x－h)2＋k的形式，说出其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，画出草图后思考x为何值时，y随x的增大而减小？
解：将y＝x2＋6x＋10写成y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝(x＋6)2－8，其图象 图26－2－51
开口向上，对称轴为直线x＝－6，顶点坐标是(－6，－8)；草图如图26－2－52.
由图可知：当x＜－6时，y随x的增大而减小．
4．已知抛物线y＝x2＋(m＋1)x－m2－1(m为实数)，若该抛物线的对称轴在y轴的右侧，求m的取值范围．
解：原抛物线的表达式化为y＝－，∴对称轴x＝－＞0，∴m＜－1.
5．先阅读以下材料，然后解答问题：
材料 将抛物线y＝－x2＋2x＋3向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的函数表达式(平移后抛物线的形状不变)．
解：在抛物线y＝－x2＋2x＋3上任取两点A(0，3)，B(1，4)，由题意知：点A向左平移1个单位得到A′(－1，3)，再向下平移2个单位得到A″(－1，1)；点B向左平移1个单位得到B′(0，4)，再向下平移2个单位得到B″(0，2)．
设平移后的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋bx＋c.则点A″(－1，1)，B″(0，2)在抛物线上．可得解得
所以平移后的抛物线的函数表达式为：y＝－x2＋2.
根据以上信息解答下列问题：
将直线y＝2x－3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的函数表达式．
从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
解：在直线y＝2x－3上任取一点A(0，－3)，由题意知点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点A′(3，－2)，设平移后的直线的函数表达式为y＝2x＋b，则A′(3，－2)在直线y＝2x＋b上，所以－2＝2×3＋b，解得b＝－8.
所以平移后的直线的函数表达式为y＝2x－8.
学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．
【课堂小结】
谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？
教师给学生列出表格，指导学生比较各种函数图象之间的区别和联系．
布置作业：教材P18练习第1，2，3题．
让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在教学过程中，主要采用问题引领、小组学习的教学模式，关注每一个学生，鼓励学生自主学习、合作交流，锻炼各方面的能力．
②[讲授效果反思]
引导学生注意以下几点：(1)一般式化为顶点式的步骤及方法；(2)熟记一般式的对称轴和顶点坐标公式．
③[师生互动反思]
从教学过程来看，教师与学生一起学习新知，有张有弛地进行课堂调控，及时鼓励，增强学生的自信心和学习兴趣．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
第5课时 二次函数最值的应用
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.通过图形之间的关系列出函数表达式.
2.用二次函数的知识分析解决有关面积问题的最值．
数学思考
对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题的意义．
问题解决
通过实际问题与二次函数的关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标公式解决最大值(或最小值)的方法．
情感态度
体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学
重点
用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题．
教学
难点
通过图形之间的关系列出函数表达式．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1．请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.
2．以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少？
师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评．
提示：求解二次函数的最值可以选择两种方法：
一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解．
(1)y＝6(x＋1)2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－6)，当x＝－1时，y有最小值－6.
(2)y＝－4(x－1)2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－6)，当x＝1时，y有最大值－6.
通过回顾二次函数的最值问题，为新课讲解提供铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
师生活动：
1．教师引导学生分析与矩形面积相关的量．
2．教师设问，若设矩形一边长为l，则如何表示与其相邻的边的长度．
3．学生自主列函数表达式，并进行整理，讨论问题解答的正确性．
4．学生针对问题要求进行求解，并回答问题．
教师关注：
1．学生能否根据矩形的面积公式列函数表达式．
2．学生能否根据以前所学准确求出函数的最大值．
通过典型实际问题，激发学生解答问题的欲望，让学生在合作中学习，共同解答问题，培养学生的探究能力和合作意识.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.新知探究
活动：针对课堂引入的问题进行探究，教师总结解题过程．
师生活动：
(1)确定解题的步骤：先表示矩形的相邻两边长，再利用面积公式列关系式，最后求最值．
(2)解答过程：矩形的一边长为l m，则与其相邻的一边长为(30－l)m，
所以场地的面积S＝l(30－l)＝－l 2＋30l(0当l＝－＝15时，S有最大值＝225.
也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．
2．师生总结
教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：
①表示与面积相关的量；
②利用面积公式列关系式，并进行整理；
③确定自变量的取值范围；
④利用公式求出最值．
通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的完善性.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图26－2－65，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为____________ 图26－2－65
(不要求写出自变量x的取值范围)．
师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评.
应用举例是对于课题学习的针对性练习.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例2 如图26－2－66，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路． 图26－2－66
教师做好总结和展示：
设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为S，列表达式得：y＝1－2x(1－x)，
整理得y＝2x2－2x＋1，
所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小，为0.5，
即点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小．
例3 已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2.
(1)当a＝时，求函数在0≤x≤1时的最小值；
(2)若函数在0≤x≤1时的最大值是－5，求a的值．
解：(1)二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝，当a＝时，x＝＝，
∵0≤x≤1，∴当x＝1时，函数有最小值，
最小值＝－4×12＋4××1－4×－
＝－4＋－－＝－.
(2)当≤0时，a≤0，x＝0时函数有最大值，
最大值＝－4a－a2＝－5，
整理得a2＋4a－5＝0，
解得a1＝1(舍去)，a2＝－5；
当0<<1时，0最大值＝＝－5，
拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养学生的实际应用能力、提升学生的思维能力.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
解得a＝；
当≥1时，a≥2，x＝1时，函数有最大值，
此时－4＋4a－4a－a2＝－5，
整理得a2＝1，
解得a1＝－1(舍去)，a2＝1(舍去)，
综上所述，a＝－5或时，在0≤x≤1时的最大值是－5.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1．给你一根长为8 m的铁丝，用它围成一个矩形方框，当这个矩形的长为__________时，矩形的面积最大．
2．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围成，若设花园与墙垂直的一边长为x米，花园的面积为y米2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断，当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
图26－2－67
3.如图26－2－67所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为x米．
(1)要使养鸡场面积最大，隔墙的长度应为多少米？
(2)如果中间有n道篱笆隔墙，要使养鸡场的面积最大，隔墙的长应为多少米？
比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
学生进行达标测评，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的．
【课堂小结】
谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？
教师强调：利用面积公式列函数关系式是解答问题的主要方法．
布置作业：教材P20练习第1，2，3题．
课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索．
②[讲授效果反思]
教师提醒学生注意：(1)一般的面积问题是把面积作为函数，边长作为自变量；(2)确定自变量的取值范围是解答问题的注意点；(3)求最值问题可选用公式或由一般式化为顶点式．
③[师生互动反思]
从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
