中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 特殊三角形 期末复习（1）
轴对称图形的概念与性质
下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
下列选项中，对称轴有且只有3条的是（ ）
A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
第3题图 第4题图
如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2＋
等腰三角形
已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，则该等腰三角形的周长为__________．
等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分．求等腰三角形的底边长．
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连结BD，DE，则∠BDE的度数为__________．
第8题图 第9题图 第11题图 第12题图
如图所示，a∥b，∠ABC＝50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α＝__________．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．40°或140°
等腰三角形中的中垂线问题
如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是__________．
如图所示，等腰三角形ABC的周长为19，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
如图所示△ABC中，DM与EN分别是边AB，AC的垂直平分线，MD与NE的延长线交于点G，连结AD，AE，已知∠DAE＝x°，则①AD＝BD，AE＝CE；②∠B＋∠C＝；③∠BAC＝；
④∠DGE＝∠B＋∠C四个结论中，正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
第13题图 第14题图
等腰三角形内的角度、线段、面积问题
一张长方形纸片长10cm，宽3cm，将其按如图方式折叠，A′E与BC交于F，若BF︰CF＝2︰3，则线段EF的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__________．
第15题图 第17题图
在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为__________．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为16，则△ACF与△BDE的面积之和为__________．
等腰三角形内的证明问题
如图所示，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE．
求证：MD＝ME．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
三线合一定理
如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB＝∠DBA，又知AC ＝18 cm，△CDB的周长为28 cm，则DB的长为（ ）
A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高，
求证：∠BCD＝∠A．
等边三角形的性质与判定
如图①，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为__________．
第22题图 第23题图
将正方形纸片ABCD按如图（1）对折再展开，折线为EF，P为CD上一点，将△BCP沿BP折叠，C的对称点C′恰好落在EF上，则∠CBC′＝__________．
如图所示，A，B，C三点在同一直线上，分别以AB，BC为边，在直线AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连结AE交BD于点M，连结CD交BE于点N，连结MN得△BMN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 特殊三角形 期末复习（1）
轴对称图形的概念与性质
下列交通标志图案是轴对称图形的是（ B ）
A． B． C． D．
下列选项中，对称轴有且只有3条的是（ B ）
A．菱形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ B ）
A．2 B．4 C．8 D．10
如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ A ）
A．4 B．3 C．2 D．2＋
如图，作点A关于直线BC′的对称点A1，连结A1C交直线BC′于点D． 由图可知当点D在C′B的延长线上时，AD＋CD最小，而点D为线段BC′上一动点，∴当点D与点B重合时AD＋CD值最小，此时AD＋CD＝AB＋CB＝2＋2＝4．故选A．
等腰三角形
已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有（ C ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，则该等腰三角形的周长为8.5或9．
等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分．求等腰三角形的底边长．
解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为x(cm)，y(cm)，由题意，
得或解得或(不合题意，舍去)
∴等腰三角形的底边长为1cm．
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连结BD，DE，则∠BDE的度数为 67.5° ．
第8题图 第9题图 第11题图 第12题图
如图所示，a∥b，∠ABC＝50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α＝ 100°或130°或115° ．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ C ）
A．50° B．130° C．50°或130° D．40°或140°
等腰三角形中的中垂线问题
如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° ．
如图所示，等腰三角形ABC的周长为19，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ D ）
A．9 B．10 C．11 D．12
如图所示△ABC中，DM与EN分别是边AB，AC的垂直平分线，MD与NE的延长线交于点G，连结AD，AE，已知∠DAE＝x°，则①AD＝BD，AE＝CE；②∠B＋∠C＝；③∠BAC＝；
④∠DGE＝∠B＋∠C四个结论中，正确的有（ D ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
第13题图 第14题图
等腰三角形内的角度、线段、面积问题
一张长方形纸片长10cm，宽3cm，将其按如图方式折叠，A′E与BC交于F，若BF︰CF＝2︰3，则线段EF的长为（ B ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 12° ．
设∠A＝x， ∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A， ∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x， ∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x， ∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，……，∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x， ∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x． 在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°， 即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°．
在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为7秒或17秒．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为16，则△ACF与△BDE的面积之和为 4 ．
解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠2＝∠FCA＋∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ∵ ∴△ABE≌△CAF(ASA)； ∴S△ACF＋S△BDE＝S△ABD ∵△ABC的面积为16，CD＝3BD， ∴△ABD的面积是：×16＝4， ∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是4， 故答案为：4．
等腰三角形内的证明问题
如图所示，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE．
求证：MD＝ME．
证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM． 在△BDM和△CEM中， ∵ ∴△BDM≌△CEM． ∴MD＝ME．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：（1）①∵ t＝1秒，∴ BP＝CQ＝3×1＝3厘米， ∵ AB＝10厘米，点D为AB的中点，∴ BD＝5厘米． 又∵ BC＝8厘米， ∴ PC＝8－3＝5厘米， ∴ PC＝BD． 又∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C， ∴ △BPD≌△CQP． ②∵ vP≠vQ，∴ BP≠CQ， 又∵ △BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则CP＝PB， ∴ 点P，点Q运动的时间t＝＝秒， ∴ vQ＝＝＝厘米/秒． （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得x＝3x＋2×10，解得x＝秒． ∴ 点P共运动了×3＝80厘米． ∵ 80＝2×28＋24， ∴ 点P、点Q在AB边上相遇， ∴ 经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．
三线合一定理
如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于E，∠DAB＝∠DBA，又知AC ＝18 cm，△CDB的周长为28 cm，则DB的长为（ B ）
A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD＝∠A．
证明：过点A作AE⊥BC于点E，交CD于点F，如图． ∴∠BAE＋∠B＝90°． ∵AB＝AC， ∴∠BAE＝∠BAC． 又∵CD⊥AB， ∴∠BCD＋∠B＝90°． ∴∠BAE＝∠BCD． ∴∠BCD＝∠A．
等边三角形的性质与判定
如图①，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为 2 ．
将正方形纸片ABCD按如图（1）对折再展开，折线为EF，P为CD上一点，将△BCP沿BP折叠，C的对称点C′恰好落在EF上，则∠CBC′＝ 60° ．
如图所示，A，B，C三点在同一直线上，分别以AB，BC为边，在直线AC的同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，连结AE交BD于点M，连结CD交BE于点N，连结MN得△BMN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．
【答案】（1）∵△ABD和△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°．
∴∠ABE＝∠DBC．
在△ABE和△DBC中，
∵
∴△ABE≌△DBC(SAS)．
（2）△BMN为等边三角形．理由如下：
∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．
∵∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠MBE＝180°－60°－60°＝60°．
∴∠MBE＝∠NBC＝60°．
在△MBE和△NBC中，
∵
∴△MBE≌△NBC(ASA)．∴BM＝BN．
∵∠MBE＝60°，
∴△BMN为等边三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 特殊三角形 期末复习（2）
逆命题与逆定理
已知下列命题：
①如果a＞b，那么a2＞b2； ②如果a＞1，那么(a－1)0＝1；
③两个全等的三角形的面积相等； ④等边三角形的三条边都相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
（1）写出此命题的逆命题；
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
直角三角形的性质
将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
第3题图 第4题图
如图，在△ABC中，∠B＝90°，四边形EBFD是正方形，AD＝4，DC＝6，则阴影部分面积为__________．
如图，BE，CF是△ABC的高，P是BE上一点，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：AP⊥AQ．
直角三角形斜边上的中线
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
第6题图 第7题图
著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20 cm，则画出的圆的半径为__________cm．
如图，∠CAD＝90°，∠ABD＝2∠EBC，AD∥BC．求证：DE＝2AB．
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC且AD等于BC的一半，则△ABC底角的度数为（ ）
A．45° B．75°
C．45°或15°或75° D．60°
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD＝8 cm，则AC的长为__________cm．
有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积．
等腰直角三角形的性质与判定
如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2.5 D．2
已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD，AG和AE分别为△ADC的高线和中线，延长AG交BC于点H，延长AE交BC于点F．
求证：AH＝AF．
如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，D，E分别是AB，BC上的动点，且BD＝CE，M是AC的中点．试探究在点D，E的运动过程中，△DEM的形状是否发生改变，试说明你的结论．
勾股定理
一个直角三角形的两边分别为3和5，则第三边为__________．
用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm．
在△ABC中，AC＝AB＝5，一边上的高线为3，求底边BC的长(注意：请画出图形)．
如图，在△ABC中AB＝10，BC＝13，AD，CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF⊥CE，则AC等于__________．
第18题图 第19题图
如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，
BC＝12，则AD的长为__________．
图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在 Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是__________．
图甲 图乙 第20题图 第21题图 第22题图
如图是小章为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积为__________．
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为__________cm2．
如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点，若AD＝5，BD＝12．求DE的长度．
直角三角形的判定
如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边AD上，连接BE，将△EAB沿BE翻折得到△EA′B，延长EA′交BC于点F，若四边形EFCD的周长为9，则AE的长为__________．
如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 特殊三角形 期末复习（2）
逆命题与逆定理
已知下列命题：
①如果a＞b，那么a2＞b2；
②如果a＞1，那么(a－1)0＝1；
③两个全等的三角形的面积相等；
④等边三角形的三条边都相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的有（ D ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
（1）写出此命题的逆命题；
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
【答案】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．
（2）真命题．
已知△ABC的两边AB，AC上的高CE，BD相等，如图．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB，BD⊥AD，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°．
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
直角三角形的性质
将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是（ C ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
如图，在△ABC中，∠B＝90°，四边形EBFD是正方形，AD＝4，DC＝6，则阴影部分面积为．
如图，BE，CF是△ABC的高，P是BE上一点，且BP＝AC，CQ＝AB．求证：AP⊥AQ．
证明：因为BE⊥AC，CF⊥AB， 所以∠ABP＋∠BAC＝90°，∠ACF＋∠BAC＝90°， 所以∠ABP＝∠ACF． 在△ABP和△QCA中， 所以△ABP≌△QCA(SAS)，所以∠BAP＝∠Q． 因为QF⊥FA，所以∠Q＋∠QAF＝90°， 所以∠BAP＋∠QAF＝90°，即∠QAP＝90°， 所以AP⊥AQ．
直角三角形斜边上的中线
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，若AC＝6，BC＝8，则CD的长是（ B ）
A．6 B．5 C．4 D．3
第6题图 第7题图
著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20 cm，则画出的圆的半径为cm．
如图，∠CAD＝90°，∠ABD＝2∠EBC，AD∥BC．求证：DE＝2AB．
证明：取ED的中点O，连结AO． ∵∠CAD＝90°， ∴OD＝AO＝OE， ∴∠AOE＝2∠D． ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠D， ∴∠AOE＝2∠EBC． ∵∠ABD＝2∠EBC， ∴∠ABD＝∠AOB， ∴AB＝OA， ∴DE＝2OA＝2AB．
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC且AD等于BC的一半，则△ABC底角的度数为（ C ）
A．45° B．75° C．45°或15°或75° D．60°
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD＝8 cm，则AC的长为cm．
有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积．
解：如图1中，当∠A＝30°，AB＝AC时， 设AB＝AC＝a，作BD⊥AC于D， ∵∠A＝30°， ∴BD＝AB＝a，∴·a·a＝5， ∴a2＝20， ∴以△ABC的腰长为边的正方形的面积为20． 如图2中，当∠ABC＝30°，AB＝AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D， 设AB＝AC＝a， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°，∠BAD＝60°， 在Rt△ABD中， ∵∠D＝90°，∠BAD＝60°， ∴BD＝a， ∴·a·a＝5， ∴a2＝20， ∴以△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
等腰直角三角形的性质与判定
如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ C ）
A．6 B．3 C．2.5 D．2
如图，以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－×4×4－×3×6－×3×3＝2.5，故选C．
已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD，AG和AE分别为△ADC的高线和中线，延长AG交BC于点H，延长AE交BC于点F．
求证：AH＝AF．
证明：∵ ∠BAC＝90°，E为CD的中点， ∴ EC＝EA， ∴ ∠EAC＝∠ECA． ∵ ∠BAC＝90°，且AG⊥CD， ∴ ∠DAG＋∠GAC＝90°，∠ECA＋∠GAC＝90°， ∴ ∠DAG＝∠ECA， ∴ ∠DAG＝∠EAC． ∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠ACB， ∴ ∠B＋∠DAG＝∠ACB＋∠EAC， 即∠AHF＝∠AFH， ∴ AH＝AF．
如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，D，E分别是AB，BC上的动点，且BD＝CE，M是AC的中点．试探究在点D，E的运动过程中，△DEM的形状是否发生改变，试说明你的结论．
【答案】解： 如图所示，连结BM． ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，M为AC的中点， ∴BM⊥AC，即∠BMC＝90°，且∠ABM＝∠CBM＝45°． 又∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝×(180°－90°)＝45°， ∴∠ABM＝∠CBM＝∠C，∴BM＝CM． 在△BDM和△CEM中． ∴△BDM≌△CEM(SAS)， ∴∠1＝∠2，DM＝EM． ∵∠DME＝∠1＋∠BME＝∠2＋∠BME＝∠BMC＝90°， ∴DM⊥EM，∴△DEM为等腰直角三角形．
勾股定理
一个直角三角形的两边分别为3和5，则第三边为．
用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm．
解：如图．
在△ABC中，AC＝AB＝5，一边上的高线为3，求底边BC的长(注意：请画出图形)．
【答案】解：分三种情况：
①如答图1所示，当底边BC边上的高线为3时，
∵在△ACD中，AB＝AC＝5，高线AD＝3，
∴BD＝CD＝4．
∴BC＝2BD＝8．
②如答图2所示，当腰上的高线BD＝3时，则AD＝＝4，
∴CD＝5－4＝1．
∴ BC＝＝＝．
③如答图3所示，当腰上的高线在△ABC的外部时，
∵AB＝AC＝5，高线BD＝3，
∴AD＝＝4，CD＝4＋5＝9．
∴BC＝＝＝3．
综上所述，底边BC的长是8或或3．
图1 图2图3
如图，在△ABC中AB＝10，BC＝13，AD，CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF⊥CE，则AC等于．
如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为 ．
图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在 Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是．
图甲 图乙
如图是小章为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积为．
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为cm2．
如图所示，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点，若AD＝5，BD＝12．求DE的长度．
解： ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形， ∴CD＝CE，CB＝CA，∠B＝∠CAB＝45°， ∠ACB＝∠ECD＝90°， 即∠ACE＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD． 在△ACE和△BCD中， ∵ ∴△ACE≌△BCD， ∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD＝12， ∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°． 在Rt△EAD中，DE2＝AE2＋AD2＝52＋122＝169， ∴DE＝13．
直角三角形的判定
如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边AD上，连接BE，将△EAB沿BE翻折得到△EA′B，延长EA′交BC于点F，若四边形EFCD的周长为9，则AE的长为．
如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，
FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．
【答案】解：CE＝CF＝GB．
理由：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°．
∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠CAD＝90°．
∴∠ACD＝∠ABC．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE．
∵∠CEF＝∠BAE＋∠ABC，
∠CEF＝∠CAE＋∠ACD，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF(等角对等边)．
（2）如答图，过E作EH⊥AB于H．
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC．
∴EH＝EC(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
∴EH＝EC，∴EH＝CF．
∵EG∥AB，∴∠CGF＝∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CFG＝∠EHB＝90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中，
∠CGF＝∠EBH，∠CFG＝∠EHB，CF＝EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB．
∴CG＝EB，∴CE＝GB．
∴CE＝CF＝GB．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
