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第二章 一元二次方程 单元测试
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ C ）
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
2． 一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是（ A ）
A．x1＝1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝4
3． 方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（ B ）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2
4． 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ C ）
A．10.8(1＋x)＝16.8 B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8 D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
5． 方程x2－2x＋1＝2的解是（ A ）
A．x1＝1＋，x2＝1－ B．x1＝1－，x2＝－1－
C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝1＋，x2＝－1－
6． 不解方程判断下列方程中无实数根的是（ B ）
A．－x2＝2x－1 B．4x2＋4x＋＝0 C．x2－x－＝0 D．(x＋2)(x－3)＝－5
7． 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋4m－5＝0的一个根为0，则m的值为（ B ）
A．1 B．－5 C．1或－5 D．m≠1的任意实数
8． 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9． 若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ C ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，－x}＝的解为（ D ）
A．1－ B．2－ C．1－或1＋ D．1＋或－1
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．已知一个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为1，常数项为－2，则这个一元二次方程是 eq \o(,x2＋x－2＝0,____________________)．
12．方程x2－4x＝0的解是．
13．已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝．
14．一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝．
15．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是．
16．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为．
17．关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解是x1＝－4，x2＝2，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解是．
18．关于x的两个方程x2－x－2＝0与＝有一个解相同，则a＝．
三、解答题（本题有7题，共46分）
19．(4分)解方程：(2x－1)2＝16．
解：x1＝，x2＝－．
20．(4分)解方程：x(x＋6)＝16．
解：解法一：原方程可化为x2＋6x＝16，
∴x2＋6x－16＝0，
∴(x＋8)(x－2)＝0，
则x＋8＝0或x－2＝0，解得x1＝－8，x2＝2；
解法二：原方程可化为x2＋6x＝16，
∴x2＋6x－16＝0．
∵a＝1，b＝6，c＝－16，∴b2－4ac＝36＋64＝100，
∴x＝，解得x1＝－8，x2＝2；
解法三：原方程可化为x2＋6x＝16，
∴x2＋6x＋＝16＋，
∴(x＋3)2＝25，则x＋3＝±5，解得x1＝－8，x2＝2．
21．(6分)已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式÷的值．
解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1．
∴原式＝÷＝·＝．
当x1＝x2＝1时，原式＝．
22．(6分)若关于x的一元二次方程x2－3x＋a－2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－3x＋a－2＝0有实数根，
∴Δ≥0，即(－3)2－4(a－2)≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2．
23．(8分)对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n．
（1）求m，n的值；
（2）当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．
解：（1）∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，
∴2m＝4，m2＋n＝9，
解得m＝2，n＝5；
（2）∵m＝2，n＝5，
∴x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5，
∴当x＝－2时，x2＋4x＋9有最小值是5．
24．(8分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍．问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．
解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元，由题意，
得30000－x≥3x，解得，x≤7500．
答：最多花7500元资金购买书桌、书架等设施；
（2）由题意，得200·150＝20000，
设x＝a%，则3＝2，
整理得10x2＋x－3＝0，解得x1＝－0.6(舍去)，x2＝0.5．
∴a%＝0.5，∴a＝50．
25．(10分)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1 cm的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t s．
（1）求AD的长；
（2）当P，C两点的距离为时，求t的值；
（3）如图②，动点M从点C出发以每秒2 cm的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在时刻t，使得S△PMD＝S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）AD＝12 cm；
（2）∵AP＝t，∴PD＝12－t，
在Rt△PDC中，PC＝，CD＝5，
根据勾股定理，得PC2＝CD2＋PD2，
∴29＝52＋(12－t)2，解得t＝10或t＝14(舍去)，
即t的值为10；
（3）假设存在t，使得S△PMD＝S△ABC，
∵BC＝10，AD＝12，∴S△ABC＝BC·AD＝60．
①若点M在线段CD上，即0≤t＜时，PD＝12－t，DM＝5－2t，
由S△PMD＝S△ABC，得(12－t)(5－2t)＝，
2t2－29t＋43＝0，解得t1＝(舍去)，t2＝．
②若点M在射线DB上，即＜t＜12，
由S△PMD＝S△ABC，得(12－t)(2t－5)＝，2t2－29t＋77＝0，解得t＝11或．
综上，存在t的值为或11或，使得S△PMD＝S△ABC．
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第二章 一元二次方程 单元测试
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
2． 一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4 C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝4
3． 方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2
4． 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10.8(1＋x)＝16.8 B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8 D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
5． 方程x2－2x＋1＝2的解是（ ）
A．x1＝1＋，x2＝1－ B．x1＝1－，x2＝－1－
C．x1＝3，x2＝－1 D．x1＝1＋，x2＝－1－
6． 不解方程判断下列方程中无实数根的是（ ）
A．－x2＝2x－1 B．4x2＋4x＋＝0 C．x2－x－＝0 D．(x＋2)(x－3)＝－5
7． 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋4m－5＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．1 B．－5 C．1或－5 D．m≠1的任意实数
8． 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9． 若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，－x}＝的解为（ ）
A．1－ B．2－ C．1－或1＋ D．1＋或－1
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．已知一个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为1，常数项为－2，则这个一元二次方程是__________．
12．方程x2－4x＝0的解是__________．
13．已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝__________．
14．一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝__________．
15．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab的值是__________．
16．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为__________．
17．关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解是x1＝－4，x2＝2，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解是__________．
18．关于x的两个方程x2－x－2＝0与＝有一个解相同，则a＝__________．
三、解答题（本题有7题，共46分）
19．(4分)解方程：(2x－1)2＝16． 20．(4分)解方程：x(x＋6)＝16．
21．(6分)已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式÷的值．
22．(6分)若关于x的一元二次方程x2－3x＋a－2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
23．(8分)对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n．
（1）求m，n的值；
（2）当x为何值时x2＋4x＋9有最小值？并求最小值．
24．(8分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍．问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．
25．(10分)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1 cm的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t s．
（1）求AD的长；
（2）当P，C两点的距离为时，求t的值；
（3）如图②，动点M从点C出发以每秒2 cm的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在时刻t，使得S△PMD＝S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
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